EXPUGATION DE LA RÉFRACTION

quand on aura ae = r-^ r—r • On voit que ae est d'autant plus petit,

^ n . sin p — 81D f ^ r r >

que le rapport sin i : sin p diffère davantage de n, et qu*il devient infini quand le rayon suivant la loi de Descaries, on a n sin p = sin t.

SS88. La Yiteose est moliidre dans le mlllea le plas réfrlmgeat. —

Il résulte de Texplication précédente, que la vitessse de la lumière doit être nioindre dans le second milieu que dans le premier, quand les rayons se rapprochent de la normale, c'est-à-dire quand le second milieu est le plus réfringent; et que la vitesse doit augmenter au moment de Feutrée dans le second milieu, quand il est le moins réfringent.

Angle ilmlce. -- Dans ce dernier cas, Tangle d'incidence peut être tel que l'ébranlement produit au point b par la surface de l'onde be (flg, 1650), se soit propagé dans le second milieu, jusqu'à une distance plus grande que ab, quand la surface d'onde bc arrive en a. Alors il n'est plus possible de mener un plan tangent, du point a à la surface de l'onde sphérique produite par le point b, et la surface de l'onde réfractée n'existant pas, il n'y a plus de faisceau réfracté. Le dernier rayon réfracté sera couché sur la surface de séparation et correspondra au cas où l'ébranlement produit en b arrivera en a en même temps que la surface de l'onde incidente ; c'est-à-dire au cas où l'on aura bd = ab. Or, on a b(/ = a6 • sin r = ob . n sin i, r étant ici plus grand que i (1947). On aura donc bdoviab^ab.nàn i, d'où sin i=1 : n, expression déjà trouvée pour le sinus de l'angle limite (1949).'

Expérlenee dn déplaeemeat des franges. — Une expérience curieuse, de Fresnel et Ârago, montre bien que, dans la théorie des ondulations, la vitesse de la lumière est la plus petite dans le milieu le plus réfringent. Si, dans l'expérience des miroirs (2222 ), on place une lame transparente très mince dans le trajet des rayons qui partent du point s' (fig. 1647), tout le système des franges est transporté du côté de la lame, et d'autant plus qu'elle est plus épaisse et plus réfringente. C'est que la frange centrale doit toujours correspondre à des distances sa, s'a contenant le même nombre de longueurs d'ondulation. Or, ces longueurs étant moindres dans la lame que dans l'air, la distance absolue de la frange centrale au point s' devra être plus petite que la dislance au point s, pour que ces distances contiennent autant de ces longueurs.

Si la lame n'est pas extrêmement mince, les franges disparaissent comme si on interposait un écran opaque, ce qui tient à ce qu'elles sont alors transportées jusque dans l'espace où il ne parvient que des rayons réfléchis par un seul des miroirs. Car l'espace où se rencontrent les deux systèmes d'ondes est évidemment limité par deux droites passant par les points «, «' et par le point I (/i^. 1647). Ces droites représentent les derniers rayons réfléchis par les miroirs du côté de Âa.

H|SS84. indiee de réfHieiion relatif. — L'expérience prouve qu'un rayon qui traverse plusieurs lames à faces parallèles, émerge sans éprouver de déviation, et nous en avons conclu que Yindice de réfraction relatif entre deux

milieux est égal au rapport de leurs indices <d>solus (4966). La théorie Ta nous expliquer ces résultats. Considérons un rayon {fig. 1651) traversant de part en part deux lames juxta-posées terminées par des surfaces parallèles ; et soient v, v\ v" les vitesses de la lumière dans le vide et dans les deux lames, nous aurons

sin t t» sin r «' gin r' c"

sin r V sin r t sm e o

sis i Multipliant ces égalités terme à terme, il vient — : s= i ; et par conséquent

yl t z= tf ; le rayon émergent est donc parallèle au rayon i ,y^ incident. Si l 'on divise la dernière égalité par la première,

^^^M^^^ il vient -r— r = : — = — ; » eln étant les

^^^^^^^^^8 indices absolus des deux milieux.

^™^P^^^^^^ !MSS. P«lM«ace rélk^etlve. — Pour savoir ce

^ } que représente la puissance réfractiven^ — 1, dans le

Fig. 4 651. système des ondulations, appelons « et d, t' et à\ Fêlas-

ticité et la densité de Téther dans deux milieux contigus ;

on aura , d'après la formule de Newton , t?^ = « : d, v'^ ^e' \ d' ;

d'où -— = n^ = -— , et, par conséquent, n^ — 1 = — "^ — . Divisant

les deux termes par ee\ il vient n^ — i = T -; j : — ; ce qui montre que la puissance réfractive représente l'accroissement du rapport de la densité à l'élasticité de l'éther, quand on passe du vide dans un milieu» divisé par ce rapport dans le vide.

SM6. APPucAnoir BBS iimiFimcag a l4 mudu un onncu, irc. — Le déplacement des franges dans l'expérience de Fresnel, a fourni à Arago un moyen très délicat de mesurer les indices de réfraction *. Une lame mioce de la substance est placée sur le trajet des rayons réfléchis par l'un des miroirs. On observe de combien de rangs est déplacée la frange centrale, et pour cela, on interpose cette lame dans une partie seulement de la largeur du faisceau fourni par le trait lumineux, de manière à pouvoir comparer la partie déplacée des franges à celle qui ne l'est pas. Désignons par R le nombre de rangs qai correspond au déplacement, par e l'épaisseur de la lame, et par m et m' les nombres de longueur d'ondulation \ et V comprises dans l'épaisseur e, d'air et de la lame, nous aurons

(il e 5= m> = JîiT ; d'où = -— - ss — ;- = n.

^ * tu A 0

1 (havres de F. Arago, Ménmrti sci«fi(«/lgues, t. I, p. 342.

RÉFRACTEURS INTERFÉRENTIELS 401

Or, la frange du milieu s^étant déplaeée de R rangs, on a, aussi, m'=m+R, chaque ondulation de plus dans la lame, déplaçant la frange du milieu d'un rang. On a donc

rai ^ *»' w + R e+RX

* ^ mm e

en remplaçant m par sa valeur tirée de [1]. Quand on connaîtra e et>, on obtiendra ainsi, suivant l'expression de Laplace, l'indice de réfraction, au moyen de rayons qui n'auront pas été réfractés.

La formule [2J peut aussi servir à calculer ^, ou l'épaisseur e de la lame, qnand son indice est connu, ainsi que e on ^.

Arago et Fresnel ont appliqué cette méthode, vers 1818, à la comparaison de l'indice de l'air sec, à celui de l'air humide. Deux tubes de cuivre de i métré de longueur, fermés par des glaces à faces bien parallèles, étaient placés sur le chemin des deux faisceaux qui devaient interférer ; l'un était rempli d'air sec, et l'autre, d'air saturé d'humidité. Le déplacement était d'une bande et un quart du côté du tube sec, ce qui indique que la vapeur est moins réfringente que l'air. Mais la différence est très petite, car un excès de pression de I millimètre sur 50, dans un des tubes, tous les deux étant remplis d'air sec, produit le même déplacement. Des expériences faites avec des tubes de quelques centimètres seulement de longueur, n'ayant pas donné de déplacement, celui qu'on observait dans les longs tubes ne pouvait être attribué à un dép6t de vapeur sur les glaces.

Arago, aidé de M. Laugier, a cherché si la vapeur précipitée dans l'air, en modifiait la réfraction. Les expériences furent faites en plein air, par un temps de brouillard ; les rayons lumineux d'une lampe traversaient, les uns l'atmosphère brumeuse, les autres un tube rempli d'air sec, dont les glaces se prolongeaient de manière à être traversées par les deux faisceaux. Les franges se déplacèrent de trois ou quatre bandes, et toujours du côté opposé au tube. Le brouillard augmente donc un peu la réfraction de l'air ; résultat singulier, car il est inverse de ce qu'il eût été pour des rayons traversant l'air simplement humide, et l'augmentation est trop faible pour qu'on puisse l'attribuer aux rayons qui auraient traversé les globules d'eau. L'augmentation produite par la vapeur précipitée est, du reste, extrêmement petite ; aussi, les astres ne paraissent-ils pas changer de position quand des brouillards ou des nuages passent devant eux.

SSSV. KéfMketenr iaterférentlel d'Ara^o. — Arago a fait construire en 1854, par MM. Soleil et Dubosc, un appareil nommé réfracteur ou réfractamètre interférentiel^ destiné à faire les expériences analogues à celles qui précèdent. La lumière d'une lampe passe par une fente verticale placée au foyer principal d'une lentille convergente, qui donne un faisceau de rayons parallèles. Chacun des deux tubes, disposés horizontalement l'un à côté de l'autre, est traversé par une partie de ce faisceau. Une pompe pneumatique sert à IV 2^

i02 SYSTÈME DES ONDULATIONS.

aspirer Tair de Tun d'eux, que d'autre air saturé d'humidité vient remplir. Les rayons, à leur sortie des tubes, passent par deux fentes verticales rapprochées, comme dans rexpérience d'Young (2^21), de manière à produire des franges, que l'on observe au moyen d'une lunette à réticule. On fait en sorte que le milieu de la frange centrale coïncide avec le fil vertical de la lunette, quand les deux tubes contiennent de l'air au même état. Au lieu d'observer le déplacement des franges, on interpose dans les faisceaux sortant des prismes, des lames de verre dites compensateurs, que l'on incline plus ou moins autour d'un axe vertical, de manière à faire varier l'épaisseur de verre traversée par les rayons, et à ramener la frange du milieu sur le fil du réticule. Des expériences préalables font connaître à combien de rangs correspond un mouvement angulaire de chaque lame. Un cercle horizontal gradué, ayant son centre sur l'axe de rotation des lames, permet de mesurer l'angle qu'elles font avec l'axe des tubes.

ApplteatloB h l'Indice des gas. — M. Jamin a appliqué la méthode précédente à la mesure de l'indice de réfraction des gaz i. Il a commencé par modifier l'appareil d'Arago, dans lequel la juxta-position des tubes empêche de les porter à des températures différentes, et rend le jeu du compensateur très difficile. M. Billet a trouvé moyen de séparer les tubes, mais la disposition imaginée par M. Jamin permet, en outre, d'écarter les franges à volonté. Voici comment est disposé l'appareil : un faisceau divergent, émanant d'une fente Verticale vivement éclairée, est partagé par un écran étroit parallèle i la fente, en deux faisceaux d'autant plus écartés l'un de l'autre, que l'écran est plus large. Chacun de ces faisceaux traverse les lames opposées d'un compensateur, puis les deux tubes, et vient rencontrer un miroir sphérique concave un peu incliné par rapport à l'axe de l'appareil. Ce miroir réfléchit les deux faisceaux et les réunit en un foyer semblable à la fente, en leur conservant la différence de marche qu'ils ont pu éprouver en traversant les tubes. Les deux faisceaux se séparent de nouveau au-delà du trait focal, et sont reçus par les miroirs de Fresnel placés à côté des tubes, le trait focal remplaçant la source lumineuse de l'expérience ordinaire. En faisant varier l'angle des miroirs, on modifie à volonté la largeij^r des franges. Quand les deux tubes contiennent des gaz identiques, on met le fil de la loupe micrométrique sur la frange centrale, et quand les gaz sont différents, on ramène cette frange sur le fil, au moyen du compensateur, dont la graduation fait connaître le déplacement correspondant des franges. Une formule permet ensuite de conclure de ce déplacement le retard des deux faisceaux, et par suite l'indice relatif des gaz contenus dans les tubes.

M. Jamin a mesuré avec cet appareil les indices de l'air et des divers gaz, et il a trouvé sensiblement les mêmes nombres qu'avaient trouvés Biot et Arago, et Dulong (2018). L'appareil précédent ne semble donc pas capable de donner

Annalei de chimie et de phytiqiUy 3« série, t. XL1X, p. 382.

REFRACTEURS INTERFERENTIELS.

des résultats beauconp plus précis que le prisme de Borda. La méthode qui soit est, au contraire, tellement délicate, qu'elle permet, d'observer des effets qu'on n'aurait jamais crus susceptibles d'être appréciés.

iM38. Réfraetear imterféremtiel de H. Jamim ^ — La fig. 4652 représente l'ensemble de cet appareil. A'A, B'B sont deux tubes en zinc de 4 mètres de longueur, fermés par des glaces, et destinés à contenir les gaz que Ton veut comparer. Un faisceau de rayons partant d'une lampe, et rendu cylindrique par une lentille, est reçu par une glace à faces bien parallèles m, de 30 à AÙ^^ d'épaisseur, de manière que chaque rayon se partage en deux : Ton, réfléchi par la première surface, traverse le tube A'A ; l'autre, réfléchi par la seconde, traverse le tube B'B. Ces deux rayons sont reçus à leur sortie, sur une seconde glace n identique avec la première. Là, chacun des rayons se

.Fig. 4 652.

partage en deux, une partie se réfléchissant à la première surface, et l'autre à la seconde. Parmi les quatre rayons réfléchis, il y en a deux qui se superposent, comme on le voit à part en MN. Si les plaques sont exactement parallèles, et les tubes AA', BB' remplis du même gaz, les rayons superposés ont parcouru les mêmes épaisseurs de gaz, d'air et de verre, et, par conséquent, leurs intensités s'ajoutent. Mais si l'on incline peu à peu la glace N, le rayon réfléchi à sa seconde surface parcourt dans son épaisseur, plus ou moins de chemin que le rayon qui s'est réfléchi dans l'intérieur de la glace M ; ces rayons prennent des différences de marche, et il se forme des franges d'autant plus larges, que les glaces sont plus près du parallélisme.

Ces franges sont observées à travers une lunette à réticule, et le milieu de l'une d'elles coïncidant avec le fil vertical, on le ramène à la coïncidence, au moyen d'un compensateur; quand elle a été déplacée par l'inierposition de milieux différents sur le trajet des deux rayons. Le compensateur Gcc', consiste en deux lames de verre un peu inclinées l'une par rapport à l'autre, et fixées à l'axe d'un goniomètre de Wollaston G. Si les deux lames sont égale* ment inclinées sur les deux rayons, elles ne modifient pas les franges ; mais

1 AnnaUi de chimie ei de phy tique, S« série, t. LU, p. 4 63 et 174.

404 STSTÊHR DES ONDULATIONS.

si l'on fait tourner l'axe qui les porte, les espaces pareoums par les rayons dans ces lames, sont inégaux, et les franges se déplacent. Plus Tangie des lames est petit, plus il faut les faire tourner pour obtenir le même déplacement de franges. Pour conclure de la rotation des lames, le déplacement qu'elles ont compensé^ M. Jamîn a construit une courbe dont les abcisses représentent les angles de rotation, et les ordonnées, les nombres de rangs dont les franges sont déplacées. Cette courbe, très régulière, diffère peu d'une ligne droite. Dans diaque expérience, le .compensateur étant d'abord sans action, on le faisait tourner de manière à ramener sous le fil de la lunette la frange qui s'y trouvait quand les tubes étaient remplis du même fluide, et l'on déduisait de Tangle de rotation, au moyen de la courbe, le nombre de rangs dont celte frange avait été déplacée.

SS89. Indiee de la Tapear d'ean. — H. Jamin a appliqué cet appareil i la mesure de l'indice de réfraction de la vapeur d'eau. Pour remplir le tube A' A d'air sec, et le tube B'B d*air humide, de l'air était aspiré par l'extrémité B du tube B'B, au moyen d'un vase aspirateur ajusté en BT. Cet air entrait en t, après avoir parcouru un appareil à dessiccation, traversait le tube AA', sortait en A', et pénétrait au fond d'une éprouvette D remplie de pierre ponce mouillée, soit avec de l'eau pure, soit avec des mélanges titrés d'eau et d'acide sulfurique destinés à donner àl'air un état hygrométrique déterminé (II, 1161). Cet air humide arrivait par le tuyau 6B', dans le tube B'B, et passait dans le vase aspirateur adapté en T. Après avoir attendu que les franges fussent bien fixes, on arrêtait le courant de gaz, et on les ramenait i leur position primitive, au moyen du compensateur. On répétait ensuite l'expérience, en faisant passer le gaz en sens inverse, de manière ^e les franges étaient déplacées du côté opposé, pois on faisait une nouvelle expérience en faisant passer le gaz comme la première fois, et ainsi de suite. Les rotations qu'il fallait imprimer au goniomètre n'étaient pas égales dans les différents cas, mais elles allaient en croissant assez régulièrement, ce qui tenait aai modifications qu'éprouvaient les gaz ou les diverses parties de l'appareil, sons l'influence des plus faibles variations de température, dues en partie à la présence de l'expérimentateur. En représentant par a, ft, a, 6'.... les rotatioos successives du compensateur alternativement dans un sens et dans l'autre, on prenait pour ces rotations, la moyenne entre 6 et { (a+n'), en appliquant la méthode des alternatives de Coulomb (III, 1301 ); puis la courbe donnait le déplacement correspondant des franges. Ce déplacement se faisait toujours du côté de l'air sec ; ce qui indique que rhnmidité diminue U pouvoir réfringent.

Il reste à conclure des expériences, l'indice de réfraction de la vapeur seule. Si N est l'indice de l'air humide sous la pression H et à la température r, s celui de la vapeur sous la tension f qu'elle possède dans le mélange, et enfin s l'indice de l'air sec sous la pression H — f, on aura (2018)

RÉriUCTEURS INTERFÉRENTIELS. 405

N^ — i se déduira de rexpérience , en partant de la formute (2236)

A = Jz! — , dans laquelle m est la vitesse de la lumière dans Tair sec sous

la pression H, V cette vitesse dans Tair humide, et e la longueur des tubes. Cette formule donne

e e RX eo eo RXv .. / n^ #

— — — = , ou — = , ou eN--«i'^RXii',

V U u V u tt

V désignant la vitesse dans le vide, et n' l'indice de l'air sëe i la pression H. On tire de là N^— i=n'2 fl+ -^)— ^» en négligeant le terme R^^ Egalant cette valeur de N^ — 1 à celle de l'équation [1], il vient

formule qui servira à calculer Tindice x de la vapeur sous la pression /* et à la température t , quand on connaîtra les indices n et n' de Tair sec aux pressions H — feiU,

Ces indices peuvent se calculer au moyen de celui de Tair, v= 1,000589, trouvé par Dulong (2018) pour la température 0* et la pression de 760"";

car on a (201 7) -^ — = -^-^ — = ^ 7 , d, d\ à étant les densités de

ado

Taîr à f© sous les pressions H — f, H et 760'"". Les deux premières, exprimées ett fonction de ^, sont d== , et d'= — -— -, en désignant par a le

coefficient de dilatation de l'air.

Quand on aura l'indice de la vapeur à la température t"^ et à la pression /*, on pourra en déduire sa valeur x' à une autre pression et à une autre température, en appliquant la formule — ^— = — ^—, qui peut être regardée comme vraie entre des limites suffisamment rapprochées. Les densités D et D' sont données par la formule D» -TT-r^TT — » ^^^^ laquelle 0,81 est U

'^ (i+ai) 760 ^

densité de la vapeur par rapport à l'air à la pression de 760"" et à la température de 0**. Si l'on suppose /'=760"" et t=0**, on aura une valeur de x' qui représentera l'indice de la vapeur dans des conditions où elle ne peut exister ; mais cette valeur fictive, une fois calculée, fournira une constante qui, égalée à (:i;^ — 1) : D servira à déterminer x dans les conditions correspondantes à la valeur de D. — Nous avons fait connaître plus haut (2019) les résultats trouvés par M. Jamin.

jM40. Imdiee de réfkaclioa de Tean eemprtaée. — H. Jamin a appli-

1 AnnaUi de chimie et de pkyeiqvs, 3« série, t. LU, p. 463.

que la même méthode à Tétude de la réfraction de Teau comprimée ^ Ce liquide était conteno dans deux tubes de 1 mètre de longueur, fermés par une même glace et plongés dans une auge terminée elle-même par deux glaces parallèles, et remplie d'eau. Dans Tun des tubes, Tean n'avait à supporter que la pression atmosphérique ; dans l'autre, elle était soumise à la pression d'une colonne de mercure. Pour cela, le tube était mis en communication avec la brandie fermée d'un manomètre à air libre et à deux branches, disposé comme celui de la figure 641 (11,866), seulement il y avait au haut de la branche fermée, un robinet à entonnoir destiné à la remplir complètement d'eau. Le déplaceaient des franges donnait l'indice de réfraction relatif, n' : n, de l'eau à la pression de 76«», et de l'eau sous la pression 76«"+P, au moyen de la formule

— = — — , qui donne n'* — i =n^ — IH n, [2]

en négligeant le terme qui contient l^.

Cette méthode est tellement délicate qu'une augmentation de pression de i millimètre de mercure, suffit pour déplacer les franges. De plus, la chaleur dégagée par la compression devient sensible ; car les franges sont déformées par les mouvements de l'eau, et il faut attendre 10 minutes environ pour qu'elles reprennent leur régularité. Or, nous avons vu qu'on n'a pu, avec les thermoscopes les plus sensibles, saisir le moindre échauffement dans Teau soumise aux compressions les plus énergiques (li,1039).

On pourrait craindre, dans ces expériences, l'influence de l'allongement du tube à eau comprimée; mais, ce tube étant plongé dans Teau, cet allongement n'a pour effet que de remplacer une tranche d'eau très mince par une tranche égale d'eau comprimée, ce qui ne peut avoir d'influence sensible.

Comprewlbilité de l*eaa. — M. Jamin a reconnu que le pouvoir réfringent de l'eau à diverses pressions , est constant ; c'est-à-dire qu'on a (n'* — i ) : d'= (n^ — 1) : d;[d' eid étant les densités de l'eau à deux pressions différentes. En effet, en appelant k le coefficient de compressibilité de Teau pour une pression de i"" de mercure, on a rf'= d (i +*P). Substituant dans la formule qui précède, on en tire n'^ — 1 = (n*— i) + AP (n^— i). Egalant cette valeur de n^ — i à celle que donne la formule [2], on trouve

Pour une pression de 760"", on aura K = kx 760. L'expérience a donné, pour l'eau ordinaire, ik = R : P = 0,0348 ; d'où K = 0,0000500 ; et pour l'eau privée d'air, R : P = 0,0356 ; d'où K = 0,0000514 . Or, M. Grassi a trouvé, pour le coefficient de compressibilité de l'eau à 0"" ( I, ^94), le nombre 0,0000503, qui diffère à peine de ceux qui précèdent. On en peut donc conclure que le pouvoir réfringent de l'eau, pour des accroissements de pression

i ÂMidkt de chimk ei «le physique, 3« série, t LII, p. 463.