CÂ

ce qui revient à

cotAM =

tuDg A M

Cette proportion et celle qui a été trouvée pour la sécante font voir que le rayon est moyen propoi*tionnel entre la sécante et le cosinus, entre la tangente et la cotangente, puisqu'on a

cos AM X séc AM = R% tang AM X cet AM = R'.

10. Avec ce qui précède , il ne manque plus , pour être en état de construire les Tables nécessaires à la Trigonométrie , que de connaître les moyens de calculer les sinus et les cosinus seulement. Le cosinus même se déduit immédiatement du sinus*, car le triangle rectangle CPM, qui les contient l'un et l'autre et qui a pour hypoténuse le

DE TRIGONOMÉTKIE. 7

rayon , donne

Pm' + CP'= cm', ou (sin AM)» + (cos AM)»= R%

c'est-à-dire que le carré du rayon est égal à la somme des carrés du sinus et du cosinus; d'où il suit

cosAMrr: v/r» — (sin AM)'.

La proposition suivante, qui donne l'expression du sinus et du cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs, mérite la plus grande attention, parce qu'elle renferme implicitement toutes les propriétés des sinus et des cosinus.

1 1 . Soient deux arcs quelconques a et b\ on aura

. , ... sin a ces bdcûnb ces a

sm(«±6)= ,

Jtv.

/ i » X ces a CCS b ir: sin a sin b

ces (a± 0]^=. -L- .

Pour le prouver, il faut prendre sur le cercle AMB [fis* 4) ï*2irc AM = a ; porter de chaque côté du point M, les arcs MN et MN', égaux à i; tirer la corde NN' ; des points N, M, N', abaisser sur le rayon AC les perpendiculaires NQ, MP, N'Q'^ par le point M, mener le rayon MC , et du point E , où il rencontre la corde NN', abaisser sur AC la perpendiculaire EF5 eniSn par les points E et N', mener les droites ED , N'G parallèles à AC.

Cela fait, on voit : i^ que NQ est le sinus de l'arc

AN = AM + MN = a -I- /> ,

et que CQ est le cosinus du même arc \ 2? que N'Q' est le sinus de l'arc

AN' = AM — MN' = a — ^,

et que CQ' en est le cosinus. Mais , la corde NN' étant nécessairement partagée en deux parties égales au point E,

puisque le rayon CM passe par le milieu de l'arc NN', d'après la construction , il suit de la similitude évidente des triangles NED, NN'G, que NG est aussi divisée en deux parties égales au point D , et que DN = DG. De

plus,

DQ = EF, GQ = N'Q', DE = FQ ,

à cause des parallèles *, et comme DE est la moitié de N'G , FQ sera la moitié de Q' Q ; en sorte que

Q'F = QF = DE; enfin

NQ = DQ + DN = EF + DN,

N'Q' = GQ = DQ — DG= EF - DN,

CQ = CF — FQ r= CF — DE,

CQ' = CF + FQ'= CF -H DE.

Mettant pour NQ, N'Q', CQ, CQ', leurs désignations respectives, savoir,

sin(a4-^)> s\n{a — b), cos(«-h6), cos(« — ^),

on a

sin(a + ^) = EF H-DN, cos(a+ ^)=:CF — DE, sin(« — ^) = EF — DN, ces (« ~ ^) = CF -H DE;

et il ne reste plus qu'à calculer les quatre lignes EF , CF, DN et DE.

Les deux premières s'obtiennent par les triangles semblables CMP et CEF, dont on tire

CM : PM :: CE : ef, cm : CP :: CE : cf. Or

AM = a , PM = sin û , CP = cos a ,

et il suit des définitions du sinus et du cosinus (5) que EN est le sinus de Tare MN , que CE en est le cosinus , et que, par conséquent,

EN = sin ^ , CE = cos b j

d'ailleurs CM= R : substituant ces valeurs dans les proportions ci-dessus , on trouve

__ PM X CE sin rt ces b

EF mis - •""* ■ %

CM R

CP X CE cos a ces b "" CM " R

Comparant ensuite les triangles GlilP, DEN, qui sont semblables parce que les côtés du second sont perpendiculaires à ceux du premier, on déduit de ces triangles ,

cm:en::cp:dn, cm:en::pm:de.

Substituant aux trois premiers termes de chacune de ces proportions, leur désignation rapportée ci-dessus, elles donnent

EN X CP sin b cos a