L équation sin2a= ^ conduit aussi du

sinus d'un arc a à l'expression du sinus de sa moitié. Si

l'on remplace cos a par sa valeur ^R* — sin a* (^j^îl vient alors

2 sin a i/R*' — sin a}

sm 2fl = ;; 5

R et , en élevant au carré , on trouve

R' sin 2 a' = 4 R" sin a} — 4 sin «^ ;

prenant sin a pour l'inconnue dans cette équation qui peut se résoudre à la manière de celles du second degré,

les formules ci'-dessus que des changements de signes, conformément aux lois qui seront reconnues ci-après (22 et suiv.). Cependant, afin de ne rien laisser à désirer sur ce sujet, j'ai rapporté à la fin de l'ouvrage, dans la Note A , un procédé pour obtenir les mêmes formules d'une manière moins dépendante des circonstances de la figure.

( * ) Le lecteur est prévenu que dorénavant je désignerai le carré du sinus de l'arc a par sin a*, expression qu'il ne faut pas prendre pour le sinus du carré de l'arc a; ainsi sin «' = (sin «)'.

on obtient

Si l'on fait aa = a', on aura

et , par conséquent ,

sin -i «' = ±: V/| R' ±1 R y^R» — sin a'\ ou

sin \a' =z±\ v/2 R' ±: 2 R ces «',

en mettant cos a'^ au lieu de R* — sin a'^ (^O)? en multipliant les quantités sous le radical par 4 ? et en divisant au dehors par 2 , ce qui ne change rien à l'expression. Telle est la formule qui donne le sinus de la moitié d'un arc lorsqu'on a celui de cet arc.

13. On peut arriver à ce résultat par une construction très-simple.

Si l'on mène le rayon CN qui divise l'arc AM [fig- 5) en deux parties égales, la corde AQM se trouvera également divisée en deux parties égales, et QM sera le sinus de MN ou de la moitié de AM ^ le triangle AMP, rectangle en P, donnera

AM= VPmVÂp'; et comme

AP = AC — CP = R — cos AM = R — cos «',

que d'ailleurs

PM = sin AM = sin a', on aura

AM = ^sin a'» 4- R^ — 2 R cos a' -h ces a'^ = \/2R'— 2Rcosfl%

à cause que sin a'* -f- cos a'* = R* (10) , et Ton en déduira

QM = I AQM = I SI2.K- — 2R cos a'.

On ne trouve de cette manière que la deuxième valeur de sini-a': l'autre est MQ'^ car l'arc MJS'A', qui compose, avec Tare AM, la demi circonférence, a aussi pour sinus PM puisque cette ligne est bien en effet la perpendiculaire abaissée de l'extrémité M sur le rayon CA' qui passe par l'autre extrémité (5)-, et rien dans l'équation d'où Ton est parti , ne faisant connaître lequel de ces deux arcs on se propose de diviser, on doit trouver en même temps le sinus de la moitié du premier et celui de la moitié du second. Suivant la construction, on aurait

A' M = v/pmV Â^'= V/PM-+-(A'C + CP)-^ = y/sin a"" + (R + cos a! Y

= \/sin fl'' -h R' -I- 2 R cos a' -h cos a

= yaR^-i- 2Rcos«% et, par conséquent.

MQ' = sin I a' = i y/^R' 4- 2 R cos-rt',

résultat qui est la première valeur de sin -^a' .

Il faut bien observer que, quoique sin a' soit le même dans les deux valeurs de sin- a', l'arc a' est différent : pour l'une d'elles, cet arc est AM, et pour l'autre A' M, qui est le supplément de AM: car on entend par le supplément d'un angle ou d*un arc ce quil faut ajouter à cet angle ou à cet arc pour en faire deux droits ou la demi-circonférence. On conclura aussi de ce qui précède que le sinus du supplément d*un arc est le même que celui de cet arc. Je donnerai plus loin des notions générales sur les différents arcs qui peuvent avoir le même sinus, la même tangente, etc.

14. 11 suit encore de ce qui précède, que le sinus d'un arc quelconque AN est la moitié de la corde AM de l'arc

DE TRIGONOMÉTRIE. l3

double ANM , et que la corde AM est le double du sinus de Parc AN, moitié de ANM 5 de manière que lorsque les sinus sont connus , on en déduit les cordes , et réciproquement.

15. Ce ne sont pas les valeurs absolues des sinus que Ton a besoin de calculer, mais seulement leur rapport avec le rayon, puisqu'il suflSt de connaître dans tous les triangles CPM, CP'M', etc. (fig- 2) , les rapports que les côtés ont entre eux. On peut en conséquence, pour plus de simplicité, prendre le rayon pour unité, et exprimer les sinus PM, P'M', etc., en parties décimales de cette unité, ou, comme on le faisait autrefois, supposer ce rayon divisé en 100 000 parties.

16. Il est à propos d'observer que la longueur d'un arc est toujours moindre que celle de sa tangente, et plus grande que celle de son sinus. En elfet, si Ton prend audessous du rayon AC (Jig* 6) l'arc AM' = AM, que l'on tire la corde MM' et que l'on mène les tangentes MT, M'T, il est facile de voir que ces tangentes doivent rencontrer toutes deux le rayon AC dans un même point, puisque les triangles CMT et CM'T sont égaux. Les lignes MT et M'T étant égales aussi bien que les lignes PM et PM', et les arcs AM et AM', on aura

2AM<2MT et 2AM>2PM,

parce que la longueur d'un arc de cercle est comprise entre celles des portions correspondantes des polygones inscrit et circonscrit (Géom.^ 151) (*)•, et Ton en conclura