MT

valeur qui ne diffère de PM qu'au treizième chiffre : on

gente DE, cette tangente sera plus courte que Tare DMË, et Ton aura

ADEB<AMB.

Tirant ensuite par les points H et L placés entre A et C, entre C et B, les tangentes FG , IK, on formera une nouvelle ligne brisée AFGIKB, qui sera moindre que la première, puisque FG <FD-i-DG, IK <IE-t-EK. Il est évident que l'on construira de la même manière une suite indéfinie de lignes brisées qui iront sans cesse en diminuant à mesure qu'elles approcheront de se confondre avec la courbe ABC, qui sera donc non-seulement plus petite que AMB, mais encore que toutes les lignes brisées dont on vient de parler.

DE TRIGONOMÉTRIE. l5

peut donc prendre ce nombre pour la valeur de l'arc AM exprime en parties du rayon (*).

18. Pour appliquer les formules des n^^ 10, H et 12, il faut connaître au moins le sinus de l'un des arcs compris dans le quart de la circonférence ; or il y a deux de ces arcs dont le sinus est facilement connu , savoir, ce quart et son tiers. En effet , le sinus du quart de la circonférence n'est autre chose que le rayon, et le sinus du tiers de cet arc est égal à la moitié du rayon.

La première de ces valeurs est évidente par \aifig. 2 ; et la seconde résulte de ce que le côté de l'hexagone inscrit est égal au rayon (Géom,^ 146). Ce côté [fig^ 8) étant la corde du tiers de la demi-circonférence, donne par sa moitié le sinus du tiers du quart de cette circonférence (14-).

En partant du quart même , la formule

sin -j û' = Y ^2 R' — 2 R cos «'

donne le sinus de la moitié de cet arc, puis celui de la moitié de cette moitié ou du quart, et conduit à toutes les

(*} La même chose se prouve en réduisant en série l'expression de la tangente. En effet, on a

sin a sin a

cos a y/i — sina»

ueR — i; mais

sin a . ,

V I — sin a}

développant la dernière quantité par la formule du binôme , on trouvera

tang a = sin a -+- Y sin a' -t- f sin «*-+-....

Il est évident que tant que sin a sera une petite fraction décimale, le terme { sin a" ne pourra influer que sur les derniers chiffres de l'expression de tang a , et que , dans les premiers , on aura

tang a = sin a.

Pour sin a = 0,0001, on a

\ sin a' = 0,000 000 000 000 5, résultat qui ne peut changer que le treizième chiffre.

l6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

fractions comprises dans la suite

"a) 45 8? 16» aar**"*

La même formule, lorsqu'on fait d'abord a' égal au tiers du quart de la circonférence, détermine successivement les sinus des fractions

de ce quart.

On voit par là que s'il était d^ivisé en un nombre de parties égales à quelqu'un des dénominateurs des fractions ci-dessus, on trouverait directement le sinus de chacune de ses parties, et l'on en formerait une Table, en les inscrivant à côté des arcs auxquels ils appartiennent ; mais il n'en est pas ainsi : les astronomes indiens seuls paraissent avoir divisé le quart de la circonférence en 24 parties , pour en calculer les sinus (*). Un usage très- ancien, et ensuite d'autres raisons ont fait adopter des divisions différentes des progressions indiquées ci-dessus.

19. On divisait autrefois la circonférence entière en 36o parties qu'on appelait degrés^ on subdivisait ensuite chacun de ces degrés en 60 parties appelées minutes^ chacune de ces minutes en 60 parties appelées secondes ^ chacune de ces secondes en 60 parties appelées tierces, etc. La marque des degrés est le caractère ^ placé à la droite du nombre et au-dessus , celle des minutes ', celle des secondes ", celle des tierces '", etc. , en sorte que 4 2*^ 3 1' i4" 5'" signifie 4^ degrés 3i minutes i4 secondes 5 tierces.

Puisque dans la mesure des angles on n'a aucun égard à la valeur absolue des arcs , mais seulement à leur rapport avec la circonférence entière, il semblerait fort naturel de la prendre pour l'unité, et d'exprimer les arcs par des

(*) Voyez V Histoire de l'Astronomie ancienne, par Delambre, tome I, page /|5G.

DE TRIGONOMÉTRIE. l-y

fractions, soit quelconques, soit décimales. Cependant quelques considérations particulières ont déterminé les savants chaînés de la réforme des poids et mesures, à prendre Tangle droit pour l'unité des angles, et par conséquent le quart de la circonférence, ou le quadrant, pour l'unité des arcs. Ils l'ont divisé en loo parties égales, qu'ils ont nommées grades^ et qu'ils ont substituées aux anciens degrés^ puis chacun de ces grades en loo parties égales. Ces dernières divisions remplacent les minutes et peuvent être subdivisées autant qu'on le voudra, suivant la progression décimale.

En employant dans le cours de cet ouvrage la nouvelle division du cercle, j'exprimerai les arcs par des nombres décimaux écrits à l'ordinaire; mais je placerai au-dessus du chiffre des unités , et à droite , la lettre "y, pour désigner que l'unité est le quart de la circonférence et pour empêcher que l'on ne confonde les mesures d'arc avec les autres nombres : 0*^,435, par exemple, représentera Tare égal ^ jih ^^ TTvh ^^ quadrant, et sera, par conséquent, composé de 43 grades et 5o minutes (*).

20. Le rayon du cercle pour lequel on se propose de construire les Tables étant i, et sa circonférence étant désignée ordinairement par 2 tt, le sinus de AB [fig- 9) , ou sin -j TT = I ^ on a d'ailleurs cos ^ tt = o : posant donc a' = { TT , la formule

sin^fl' = |\/2R'— aRcosa' (tS)

(*) Il parait que les principales raisons qui ont fait choisir Vanglc droit pour unité , sont i^ que le cercle entier, à proprement parler, ne mesure point un angle, puisque alors le rayon mobile CM {fy. a) est revenu s'appliquer sur le rayon CA ; 2® que le sinus , auquel on rapporte toutes les autres lignes trigonométriques , prend dans retendue du quart de cercle, ou de l'angle droit, toutes les valeurs dont il est susceptible.

TRIGONOMÉTRIE, lO® édît, 2

l8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

fait voir que le sinus de la moitié du quart de la circonférence, ou de 7 TT, est ^ sl*i (*).

L'arc AB = ^-tt étant pris pour unité, AM sera de o'^jS 5 on aura donc

sin oî,5 = CCS o5',5 = ^ ^ = 0,707106781 186.

Maintenant, si l'on fait 0*^,5 = a\ on trouvera

sin j fl' = sin 0^,25 = o ,382683432365 , ces y «' = cos 0^,25 = o ,9238795325 1 1 ;

mais en continuant ainsi de partager chaque arc en deux parties égales, on ne tombera sur aucune des aliquotes décimales du quadrant : on parviendra seulement à des arcs de plus en plus petits , et qui , par cette raison , approcheront sans cesse d'être égaux à leurs sinus (17). A la quatorzième division , par exemple , on arrive à un arc qui n'est que 7~j-j du quadrant, et dont le sinus est 0,000 095 873 799, moindre, par conséquent, que 0,0001: la petitesse de cet arc est donc telle, qu'il ne diflérera point de son sinus dans les douze premiers chiffres décimaux. A plus forte raison en sera-t-il de même pour les arcs moindres 5 or il est visible que tous les arcs qui se confondent avec leurs sinus et leurs tangentes sont proportionnels à ces lignes : il vient donc

sin-TTTZw • sin : : ■ n^of • ^^^ * • looooo : i6384,

io3o4 I 00000 io3o4 ï 00000 ^*

d'où

1 6384 sin

sm 0^,00001 = -^ = 0,000 oi5 707 q63,

1 00000 i i XJ •*

(*) On peut aussi s'en convaincre à priori, puisque le triangle CMP ^fi%' 9) ®s* alors isocèle, et que l'on a, par conséquent,

2PM* = CM' = i,

d'où

PM**=:4, et PM=VïX=v/2X|t=.;v^.

DE TRIGONOMÉTIUE. I9

au moins dans les douze premières décimales. On trouve par la même raison

sin 0^,00002 = 2 sin 0^,0000 1 , sin oï,oooo3 = 3 sin 0^,00001 , sin 0^,00004 = 4 ^^^ 0^,00001 ,

et ayant soin de calculer en même temps le cosinus et la tangente de chacun de ces arcs , on peut suivre cette voie tant que le sinus et la tangente correspondante se confondent encore dans les douze premières décimales.

Si l'on ne voidait avoir les valeurs approchées que jusqu'à la huitième décimale , on pourrait pousser ainsi jusqu'à Tare de o'',ooi.

Pour s'élever ensuite à des arcs plus grands , on se servira, des équations

sio 2 ei = 2 sin a cos a ,

ces 2 rt = cos a^ — sm a',

sin {azhb) = sîn a cos ^ ± sin ^ cos a , cos (adob) = ços « cos bzfzsina sin b.

Faisant successivement

a = o?,oo I , fl = 0^,002 , . . . ,

dans les deux premières , on en déduira

sin o?,oo2 , cos 0^,002 , sin 0^,004 y cos o?,oo4 9 • • • 9

et prenant ensuite

fl = OÎ,OOI, ^ =OÎ,002, <at = 0Î,002, ^ = o^'jOoS,. . . ,

on obtiendra , par le moyen des deux dernières ,

sin oî,oo3, coso^,oo3 , sin oî,oo5, cos oî,oo5 , . . . .

Cet exposé suffit pour faire concevoir comment on a pu former les Tables trigonométriques. Il existe d'ailleurs des méthodes plus expéditives pour calculer les siiïtis des angles quelconques , par le moyen de séries con-

20 TRAITÉ I^:LKME1NTA1RE

vergentcs qui se dédiiiscnl des équations du n° 11. Ou les trouvera dans les deux Traités que j'ai publiés sur le Calcul diirérentiel et le Calcul intégral.

21 . Pour faciliter les calculs , on a substitué depuis longtemps aux valeurs des sinus, cosinus, tangentes et co tangentes, leurs logarithmes-, et dans la plupart des Tables , on ne trouve plus que ces derniers , en sorte que, par leur moyen , on résout toujours l'une ou Tautre de ces questions :

1*^. Un arc étant donnée trousser le logarithme de son sinus, ou de son cosinus^ ou de sa tangente, ou de sa cotangente ;

2*^. Connaissant le logarithme du sinus, ou du cosinus, ou de la tangente , ou de la cotangente d'un arc, trou\>er cet arc.

La solution de ces questions tient à la disposition des Tables, disposition qui n'est pas la même dans toutes, et qui se trouve toujours expliquée eu tête de chacune d'elles 5 c'est pourquoi je n'en parlerai point ici. Je me bornerai à indiquer les Tables de Callet comme les meilleures , relativement à l'ancienne division , et celles de Borda, ou celles de MM. Hobert et Ideler, par rapport à la nouvelle.

Les Tables trigonométriques n'embrassent que Tétendue du quart de cercle \ mais elles donnent malgré cela les sinus et les cosinus, les tangentes et les co tangentes, pour tous les arcs, quelque grands qu'ils soient, ainsi que je vais le faire voir en examinant la marche des lignes trigonométriques, par rapport aux divers degrés de grandeur par lesquels peut passer un arc de cercle.

22. Pour bien comprendre ce qui va suivre , il faut se pénétrer d'avance de la continuité qui règne toujours entre les différents résultats qu'on déduit d'une même expression algébrique, ou d'une même construction géo-

DE TUIGONOMKTHli:. Si I

métrique, et qui consiste en ce que chaque >alcur que prend l'expression dont il s'agit, est toujours précédée ou suivie de valeurs qui diiîêrenl aussi peu qu'on voudra de la première, et en ce que, dans quelque partie que ce soit d'une ligne, on peut toujours concevoir deux points qui soient aussi voisins l'un de l'autre qu'on voudra.

Cela posé , si Ton conçoit que le rayon CM [fig* lo) , d'abord couché sur AC , tourne autour du point C , comme sur une charnière, ce rayon formera successivement, avec AC, tous les angles possibles 5 et le point M, situé à son extrémité , passera sur tous les points de la circonférence du cercle ABA'B'A, ou, ce qui est la même chose, la décrira. En suivant avec attention le mouvement que je viens d'indiquer, on voit d'abord qu'au point A , où l'arc est nul , le sinus est nul aussi , et le cosinus ne diffère pas du rayon AC. Lorsque le rayon CM s'est détaché de AC , le sinus PM augmente à mesure que h» point M, que j'appellerai désormais le point dcciwant ^ s'avance vers B; et quand il y est parvenu, PM devient égal à CB , ou au rayon. Dans les mêmes circonstances, le cosmus CP diminue sans cesse, et devient nul lorsque le point M est en B-, l'angle ACB est alors droit, et l'arc AB = -j TT. Le point M continuant son mouvement au delà du point B, le sinus décroît, et le cosinus, qui tombe maintenant entre C et A', du côté opposé à celui où il était avant le point B , augmente. C'est ce que prouve la seule inspection de la figure : P'M', vsinus de ABM', est moindre que CB, sinus de AB, et CP', cosinus du premier de ces arcs, surpasse le cosinus du second, qui est nul.

Lorsque le point M' est parvenu en A', le sinus est nul comme au point A , et le cosinus est encore une fois égal au rayon. Au point A', l'arc ABA' est égal à la demicirconférence, ou à 71^ l'angle ACM a atteint sa plus grande limite, mais rien ne s'oppose à ce que le rayon

CM et le point décrivant ne continuent leur mouvement en passant au-dessous du diamètre AÂ'. Le sinus, qui devient alors P"M^', tombe aussi au-dessous du diamètre, et augmente à mesure que le point M"*s'approclie de B', tandis que le cosinus CP'' diminue. Au point B', où l'arc ABA'B'est les | de la circonférence, ou I-tt, Fim est égal au rayon CB', et l'autre est nul. Enfin, depuis B' jusqu'en A, le sinus P^^M'^^, toujours au-dessous de A A', diminue sans cesse, et le cosinus CP"', qui se trouve alors du même côté où il était dans le premier quart de cercle AB, augmente, et en A devient égal au rayon.

On voit en même temps que si les arcs A' M', A' M", AM'^^, étaient égaux à Tare AM, les sinus et les cosinus des arcs ABM', AA'M'', AB'M''' ne différeraient des sinus et des cosinus de l'arc AM que par leur position .

Revenu au point A , le point décrivant a achevé une révolution, mais il en peut recommencer une autre 5 et considérant toujours comme un seul arc la totalité du chemin parcouru par ce point, depuis le commencement du mouvement, il eu résultera des arcs plus grands que la circonférence , et qui auront les mêmes sinus , cosinus,' tangentes , cotangentes , que ceux qui ont été décrits dans la première révolution. Ces considérations mènent à des conséquences très-importantes pour l'analyse, et que j'ai développées dans mes Traités de Calcul différentiel et de Calcul intégral.

23. Il faut chercher maintenant comment les exprès* sions algébriques des sinus et des cosinus répondent aux diverses circonstances que je viens d'exposer. Pour cela , on fait d'abord a = -j tt, dans les équations

. i siu (a -^ b) = sin a ces b -\-sinb ces a ,

I ces {a -{- b) = cos n ces b — sin a sin b ;

DE TRIGOINOMKTIUE. 'Ï5

et observant quo sin jTT = i , cl que cos ^ 7: = o , on trouve

sin (7 TT -h ^ ) =: cos ^ , .

COs(7 7r -h 6) rrr — sill ^ ;

expressions dans lesquelles on doit remarquer deux choses, savoir, leur valeur absolue et le signe dont elle est aiïiectée.

Celte valeur se vérifie sur la figure; car, AR étant ^tt, si l'on prend Tare BM' pour b , Tare AM' sera 7 tt -h i ; mais P' M', étant le sinus de A' M' aussi bien que de AïNI', sera le cosinus de BM' ou de i, tandis que CP' en sera le sinus.

Quant au signe — qui affecte cos (j-7r-hfe), il en résulte que, si Ton regarde comme positifs le sinus et le cosinus d'un arc moindre que le quart de la circonférence, le cosinus d'un arc plus grand sera négatif, tandis que son sinus sera positif. Si Ton fait aussi i = ^tt, on aura

sin TT =r o , cos Tt = — I .

Supposant ensuite que , dans les équations ( A ), « = tt , on obtiendia , d'après ce qui précède ,

sin (tt -f- è) =r — sin è ,

cos {n -h b) = — cos b,

La valeur absolue de ces formules peut se vérifier aussi facilement que celle des précédentes; leur signe montre que tout arc compris entre tt et |7r a son sinus et son cosinus négatifs; et lorsque ft = ^tt, on trouve

sin47r = — I, coS7 7r = o.

Enfin 5 quand a = | tu , les équations ( A ) se réduisent ,en vertu des valeurs précédentes , à

sin (I TT -h 6) = — cos ^ ,

cos(y7r -h b) = -h sin b,

et il s'ensuit que tout arc compris entre | tt et 7 tt , ou 2 7r , a son cosinus positif et son sinus négatif.

En récapitulant ces résultats , on verra :

1°. Que depuis le point A jusqu'au point A', où l'arc ABA'==7r, les sinus sont positifs 5

2^. Que depuis le point A' jusqu'au point A, où l'arc ABA'B'A= 2 7r, c'est-à-dire de tt jusqu'à stt, les sinus sont négatifs 5

3°. Que depuis le point A jusqu'au point B, où l'arc AB = 7 TT , les cosinus sont positifs -,

4°. Que depuis le point B jusqu'au point B', où Parc ABA'B' = |7r, c'est-à-dire de j7ràf7r,les cosinus sont négatifs ;

5°. Enfin, que depuis le point B' jusqu'au point A , où l'arc ABA'B'A = 2 71 , c'est-à-dire de | tt à 2 tt , les cosinus sont positifs.

Et l'on remarquera sans peine que les sinus changent de signe lorsqu'ils passent au-dessous du diamètre A A', et les cosinus , lorsqu'ils passent d'un côté à l'autre du point C, ou qu'ils tombent en deçà ou au delà du diamètre BB', perpendiculaire au premier.

Avec ces attentions, on étendra les formules du n° 11 à toutes les grandeurs possibles des arcs AM et MN (fig* 4) 7 ^t ïcs valeurs conclues de ces formules s'accorderont avec celles qu'on déduirait de la construction et des raisonnements du numéro cilé, si on les appliquait immédiatement aux arcs proposés , exercice qui peut être utile au lecteur (*).

24-. En suivant le cours des tangentes, on trouvera qu'elles augmentent sans cesse depuis le point A [fig' 10) jusqu'au point B , où l'arc AM est devenu égal à } tt. A ce

(*) Il m'a paru suffisant ici de considérer la correspondance des signes des lignes trigonométriques avec leur position , comme un fait d'observation; mais on trouvera au commencement de l'Application de l'Algèbre à la Géométrie, la théorie de cette correspondance et la preuve que toute ligne affectée du signe — doit être prise dans un sens opposé à celui qu'on |ui donne quand elle a le signe -H-

DE TRIGONOMÉTRIE. i5

point la sécante CN , se confondant avec CB , est parallèle à la tangente AN, et ne la rencontre par conséquent plus, en sorte que Tare AB n'a point, à proprement parler, de tangente trigonométrique. On dit cependant que sa tangente est infinie ] mais , par cette expression , il faut entendre qu'en prenant le point M aussi près du point B qu'il sera nécessaire, on trouvera une tangente AN plus grande que telle quantité qu'on voudra. C'est aussi ce que prouve Téquatîon

sin a

tang a = 5

CCS a

qui donne pour tang a une valeur d'autant plus grande, que cos a est plus petit , ou qu'on approche davantage du point B.

Lorsque a = o'',5o, il vient

cos a = sin a , et, par conséquent,

tang oî,5o = i .

On prouve la même chose par le triangle CAN (fig- g) qui devient isocèle dans ce cas, puisque l'angle ACN étant égal à la moitié d'un droit, il en est nécessairement de même de l'angle ANC : la tangente AN est donc égale au rayon.

Quand l'arc AM (fig- 10) est plus grand que { tt, le rayon CM ne rencontre plus la ligne AN au-dessus du diamètre, mais au-dessous 5 la véritable tangente est AN', égale, ainsi qu'il est facile de le voir, à A'/z' tangente de l'arc A'M', supplément de AM', mais se trouve placée dans un sens opposé. Dans le troisième quart. du cercle, la tangente^ qui a été nulle au point A', repasse au-dessus du diamètre AA', et AN est encore la tangente de l'arc A A' M". Le rayon devenant encore parallèle à AN, au point B', la tangente est encore infinie à ce point , passi^

26 TUAlTli ÉLÉMEISTAIUK

lequel elle revient au-dessous du diamètre^ en elVet , l'arc AB'M'", par exemple, a évidemment pour tangente AN'.