Je vais examiner maintenant ce qui résulte de Tex
, ,, . sin a pression algébrique tang a =
Il est visible que sa valeur sera positive dans tous les cas où le sinus et le cosinus seront de même signe , ce qui a lieu depuis o jusqu'à -jTT, et depuis t: jusqu'à | 715 elle sera par conséquent négative depuis ^ tt jusqu'à tt, et depuis ■} 71 jusqu'à 2 77; d'où il suit que, pour les tangentes comme pour les sinus et les cosinus, les changements de signe correspondent aussi aux changements de situation. On trouverait de même que les cotangentes sont positives depuis o jusqu'à \ tt, depuis 7r jusqu'à 1 7r, et négatives depuis j7r jusqu'à tt, depuis |7r jusqu'à 2 tt.
26. Dans le calcul, on rencontre quelquefois des arcs négatifs : leur sinus et leur cosinus peuvent aussi se déterminer par les formules du n° H. L'expression de sin (a — i) 5 changeant de signe quand on y change aenb et b en a, fait voir que sin [a — b) = — sin [b — ■ à) : ainsi, quand a<^b ^ l'arc négatif a — b a un sinus négatif, le même que celui de ft — «, au signe près.
Si l'on construisait Isijig. 4* dans cette hypothèse , en prenant AM = a , MN = fe , et portant ce dernier arc audessous du point M , pour opérer comme il a été dit dans le n° H, l'arc AN' se trouverait au-dessous de AC au lieu d'être au-dessus : le sinus Q'N' changerait donc de côté, ainsi que l'arc. Quant au cosinus, il demeurerait du même côté ; et , par les formules , on trouve aussi que cos [a — b) = cos (b — a).
27. La proposition démontrée dans le n° H a encore de nombreuses conséquences , dont quelques-unes seront nécessaires dans la suite ^ c'est pourquoi je les placerai
1°. En ajoutant entre elles les deux équations
sin a CCS h -f- sin b ces a
. , , . sin a CCS b — sin ^ ces a sin (û — ô) == ^
on aura
. 2 sin «CCS ^
sm(a 4- o) -f- sm (rt — b)z=. ,
d'où
sin a ces ^ =: - sin ( rt -f- ^ ) H — sin ( « — ^ V
1^, En retranchant la seconde équation de la première,
on aura
2 sin ô CCS a
sm ( a -f- «> ) — sin ( fl — «> ) z= -,
d'où
sin ^ cos fl = - sin ( « H- ^) sin f a — b).
Lorsque a^= b^ cette formule et la précédente donnent
cos a sin a = - sin 2 a.
3*^. En ajoutant entre elles les deux équations
cos (a -{- b) =
cos a cos b — sin « sin b R
cos a cos ^ -f- sin fl sin b
cos{a — b)= ^
on aura
, , . , , , 2 cos a cos b
cos (a -h 6) -h cos (a — b) z= 5
d'où
cos a cos b = - cos ( «r -h ^ ) H cos (a — b).
Lorsque a=:b^ cette formule donne
cos a^ z=: — cos 2 rt H 5
28 TRAITÉ ÉLKMENTAIUE
en observant que le cosinus est égal au rayon, lorsque l'arc est nul.
4*^. En retranchant la première équation de la seconde , il viendra
d'où
/ / \ / L^ 2 sin a sin ^
CCS (a — b) — cos (rt -f- 6 ) = ^ f
sin a sin b = — cos (a — b) cos (a -h b).
Lorsque a=: b^ cette formule donne
sm «^ = COS 2 (i .
5". Si l'on fait a-\- b = a\ a — b = b', on trouvera , en ajoutant ces deux équations,
2« = rt' H- 6',
et, en retranchant la seconde de la première .
!ib = a'^b''y
il suit de là que
Mettant ces valeurs de a et de i , dans les expressions de sin a cos b , sin b cos a y cos a cos b , sin a sin b , obtenues précédemment, on trouvera
sin - («' -+- b') cos -(«' — b') = — (sin^' + sin b'),
COS - {a^ -+- b') sin - [a' — ^') =r — (sin a' — sin b') ,
cos - [a' -\- b') cos -- («' — b') = — (cos «' -h cos b' ) ,
sin - (a' + b') sin - («' — b') = — (cos b' — cos^').
•£ ^ Ji
Divisant la seconde des formules précédentes par la
DE TIUGC»OMÉTRIE. 39
première, on aura
cosjffl'-f b') sin ■-(«'— b' ) s\n \ [a' -h b') cos ^{a ^ b' )
s\n i {a' --^ b') cos {{a' -h b') sinn^ — sin/ ^' Observant ensuite que
sin A tanj; A cos A R
et que, par conséquent,
cos A R
sin A taDg A on obtiendra
tang j{a' — b') sin a' — sin b'
tang \ (a' -h b' ) "^ sin a' -+- sin b''
On conclura de même des deux dernières formules rapportées ci-dessus , que
tant: t ( «' -f- //' ) tang y ( a' — b' ) ___ cos b' — cos a'
R^ cos a' -f- cos b'
6°. En divisant l'expression de sin {a±b) par celle de cos (a ih i) , on aura
sin ( a db i ) sin /ï cos b^dzsinb cos /?
COS [adbb) cos û cos ^ ip sin a sin b
Divisant ensuite le numérateur et le dénominateur de la fraction du second membre par cos a cos b , elle deviendra
sin a , sin b
cos a cos b sin a sin b
cos a cos ^ et comme en général
sin A tang A . .
cos A "' R ^ ^
3o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
on obtiendra par ce moyen
tan(j a j tang b
tang(fl±l^) __ R R R(tanggdbtangZ>J
R tang a tang^ ""R'qitangrt tang^
et enfin
/ , , V RVtangarttanc^)
tang «±:^ == -^ — ^•
^ ' ^ R^" zp tang a tang h
En se rappelant que
COtA=: (9)
tang A ^ ^
on trouvera
, , , R' R' zn tang a tang b
colia±b)= , . ,, = — =i= — ^ V-
^ ' tang [a ± «>) tang a zh tang ^
R'riz
cot a cet ^
cotû cot b
et, en réduisant, on parvient à
, , , , cot fl cot ^ rr: R^ cot(a±:^) = 7- ^ ^ . ^
COt6>±COt«
