L'équation
tang -j («' — b') sin fl' — sin b'
tang y («' '-h ^' ) sin «' -f- sin b^ '
de laquelle il résulte que la somme des sinus de deux arcs est à leur différence ^ comme la tangente de la demisomme de ces arcs est à la tangente de leur demi^diffe' rencCy s'obtient immédiatement par une construction géométrique fort élégante.
AM et AN [fig* II) étant les deux arcs a' et b\ on aura MP*i= sin a\ NQ = sin b'-^ menant NC parallèle au diamètre AB, prolongeant MP jusqu'en M', il en résultera
MR — MP — NQ = sin a' — sin b' ,
M'R zrr M'P H- NQ = sin a' -h sin // .
DE TRIGONOMÉTRIE. 3l
delà fait , si du point C , comme ceutrc ^ et d'un ravoii CX), ^al à celui du cercle ACB, ou décrit un arc ElDG, que Ton mène au point D de cet arc une tangente terminée par les droites CM et CM', il est visible que DF et DH seront les tangentes des arcs DE et DG, qui mesurent les angles MCN et ]N'CM'^ et comme ces angles ont leur sommet à la circonférence du cercle ACB , ils auront pour mesure la moitié de
NM = AM — AN = a' — //, et celle de
NM' = AM' -h AN = fl' -h 6' ,
(i où il suit que
DF = tang I (a' — b'), DH = tang j («' -+- b') .
Mais, à cause des parallèles MM'etFH, on aura la
proportion
MR : M'R :: df: dh,
ou
sina' — sinft': sina'-f-sin^' :: tang|(a'— A') : tang -^(«i' 4-^');
ce qui revient à l'équation proposée.
D serait facile de modifier la construction ci-dessus de manière à en déduire les diverses équations analogues à celle qu'on vient de démontrer.
29^ Comme on a souvent occasion de faire usage des formules auxquelles je suis parvenu précédemment , je les ai réunies dans le tableau suivant, avec d'autres qui s'en déduisent par des procédés faciles à imaginer. Les numéros qu'on lit après chaque formule marquent les ar«ticles où elles ont été trouvées , ou desquels on peut les conclure.
Tableau des formules tri§:oiioinétriciues les plus usitées.
sin(a±h)z= sin ( « zh ^ ) =
sin a' -h cos «' = R'
sin fl cos ^ rt sin ^ cos a
R cos a cos biTZ sin a sin ^
sin a cos ^ = -5-R [sin {a 4- ^) -h sin {a — b)] cos fl sin ^ = Y R [sin [a -h b) — sin {a — b)] cos a cos ^ = ^R[cos(« -4- b) -f-cos(« — b)] sin « sin ^ = — 7 R [cos (a -h ^) — cos (a — b)]
sin fl -h sin ^ = -- sin -5- (â -H ô ) cos { {a — b)
2, sin a — sin ô = :^cos-5-(û + b)sin^(a — b)
cos a -h cos b = -— cos j{a-h b) cos 7 (« — b)
cos a — cos b =:^ sin -7 (« H- ^ ) sin y (« — b)
sin 2a =
2 sm a cos a R
cos 2 « =
(11) sin-^«=:^v^2R'— 2Rcos« (15)
cos a' — sm «* 2 cos a- — R^
sin âf' =r iR(R — cos2flf)
(27) cos û' = I R (R + cos 2flf) (27)
sinfl' — sin è*r:= cos è' — cosrt'^=sin(a-|-è)sin(âr — b) (II, iO) cos fl' — sin b^ = cos {a + ^)cos (« — b) (II, 10)
Rsina .-^.
tang a = (8),
cot « =
R cos a
cos a
tang a sm a
sec a = 9 cosec a =
cos A sin a
/ i 7N h.sin{a±b) R' ( tang rt ± tanff è ,
taniç (a±b)z=z / ^ , ^ = -— ^ 5 ^ ( 27 )
^^ ^ cos fl±^>j R' zp tang rt tang ^ ^ ^
DE TlUGOiNOMETIlIt.
Suite du Tableau des formules trig^onométriques.
tang a -f- tanj; à = ^^ ; —
cos a cos t)
^ K'sm(a — b)
tanc a — tang à = ^ y—^
cos a cos
,R' sin ia -f b)
cot a -4- cet /; rr= : i— : — - — -
. sin a sin £>
*iR'sin(rt — b)
'. T "5 sin a sin ^
cot a — cot b = —
. R'sin (^/ -4- ^)sin ffl — ^)
inj; fl* — tang «?» =r ^ -^ /
cos /î' cos b^
. R' sin (fl + ^)sin(«— ^)
cot rt' — - cot 6- = ^-: k — T^ '
sin fl' sin o'
û -+- sin ^ tangj (« + ^;
/j — sin ^ tang \[a — b)
a -+- sin b tang \ [a -h b) sin a tang ^ a
a -f- cos b K R -i- cos a R
« -4- sin ^ cot -j [a — b) sin a
(8, il)
eot ~ a
a — cos b R R — cos a
a — sin /> tang \[a — b)
a -H cos b R
a — sin b cot \ [a -f- b)
a -.— cos b R
a H- cos ^ cotKrt — b)
a — cos b tang \ 'a R tang n
sin a
V'R'-h tangrt"
cos a =
séc a H- sec b séc a — séc b
v/R' -h tang a
= sin i?= cos oî= tang l'?^: col ~î ) , - ^
' . ' a y ' la ^ 7a\ {^^y ^^> *8
= sec 07 -=7. cosec i ? =rl sec ft = corde i<? J '
sin a == Y corde 2a 5in{iîdz^) = H- cos b, cos{ii±b) =ZfLS\n b jin ( ?// db ^ ) =:: Zfi sin b, cos ( 2vdz ^) = — cos b i\n{3^±b) = — cos b, cos ( S^zh ^ ) = ± sin b jin (4^±^) = ±:sin ^, cos(4^±^)=: +cos b
(ii)
JCONOMliTRIE , 10*^ édit.
30. Je vais parler maintenant de Tapplication des Tables trîgonométriques à la résolution des triangles, pour laquelle il faut se rappeler que , par le moyen de ces Tables, lorsqu'un angle est connu, la valeur de son sinus ^ celle de son cosinus , celle de sa tangente ^ et celle de sa cotangente , sont connues aussi , et que , réciproquement , quand la valeur de Fune de ces lignes est donnée, celle de l'arc doit être regardée comme donnée.
Soit CDE {fig* 12) un triangle rectangle en D^ de l'un des angles aigus C on décrit, avec un rayon égal à celui des Tables , l'arc AM , on abaisse PM perpendiculaire sur AC 5 enfin on élève la tangente AN pour former les deux triangles des Tables, savoir, CPM qui sera celui du sinu& et du cosinus , et CAN celui de la tangente et de la sécante. L'un et l'autre seront semblables au triangle proposé , et , en les comparant successivement avec celui-cî , on en tirera
CM : PM : : CE : DE i | R : sin c : : CE : de,
CM : CP :: CE : CD ) ^" ( R : ces c :: CE : CD, CA : AN : : CD : de ou r : tangC : : CD : de.
L'angle E étant complément de l'angle C, on aura
ços C = sin E ;
les deux premières propositions peuvent se réunir dans une seule et s'énoncer ainsi : Le rayon est au sinus de Fun des angles aigus d'u?i triangle rectangle, comme Vhypo^ ténuse est au côté opposé à cet angle.
La troisième montre que le rayon est à la tangente de- Vun des angles aigus d'un triangle rectangle, comme le côté de V angle droit, adjacent à cet angle aigu, est au côté opposé.
Le rayon étant toujours donné, il suffira de connaître deux des trois autres termes de chacune des proportions que je viens d'énoncer, pour trouver celui qui reste.
Ainsi , par la pi^mière , on déterminera toujours une de ces trois choses : l'hypoténuse, un côté et un angle aigu, lorsqu'on en connaîtra deux.
Je mets simplement un angle aigu, quoique la proportion exige que cet angle soit opposé au côté donné ou cherché, parce qu'un des angles aigus fait trouver Fautre sur-le-champ, et que, par conséquent, si celui qu*on connaît ou qu'on cherche ne remplit pas cette condition , on peut employer son complément.
Par la seconde proportion, on déterminera toujours une de ces trois choses : les deux côtés de l'angle droit et un angle aigu, lorsqu^on en connaîtra deux.
Il suit de là , i^ que, connaissant un côté et un angle d'un triangle rectangle , on peut calculer les deux autres côtés ; 2° que , connaissant deux quelconques des côtés , on peut calculer les angles aigus.
Ces deux cas ne comprennent pas celui où l'on a deux côtés quelconques d'un triangle, et où Ton cherche le troisième; mais ce cas se résout immédiatement par la propriété connue du triangle rectangle , qui donne
cdVde = cê',
et d'où l'on tire
= \/cD
CE = VCD -h DE.
Si Ton connaissait Thypoténuse CE et l'un des côtés de l'angle droit , DE par exemple , on aurait
CD = \/ce'— de!
En observant que
CE — DE = (CE -h DE) (CE — DE),
et prenant les logarithmes des deux membres de Téquation
CD = v^(CE + DE) (CE — DE),
Mi TKAITI?: KJ.ÉMKNTAJftL'
OU irou\crait
logCD = -; Li«g (CE 4- DE) 4- log (CE — DE)].
Lorsque Ton construit des ibrmules qui doivent servir à des calculs numériques , il faut toujours tacher de les préparer de manière qu'on puisse y appliquer les logarithmes commodément, c'est-à-dire qu'on ne soit obligé de passer des logarithmes aux nombres , et de repasser de ceux-ci aux premiers, que le moins qu'il est possible. En appliquant les logarithmes à la recherche de CD, au moyen de sa première expression , on verra bien évidemment le but de cette remarque.
Je terminerai cet exposé des principes qui servent à résoudre les triangles rectangles, en observant que les deux cas traités en dernier lieu se résolvent aussi par les deux proportions rapportées au commencement de cet article. Car, i° si, connaissant CD et DE , on veut trouver CE, on calculera l'un des angles aigus, C par exemple, dans la proportion R : tangC :: CD : DE 5 ayant trouvé cet angle , on obtiendra Thypoténuse CE par la proportion R : sin C :: CE : DE , dans laquelle on connaîtra les trois termes R, sin C et DE. 2" Lorsque Ton connaîtra l'hypoténuse CE et l'un des autres côtés , CD par exemple, on calculera l'angle aigu opposé au côté cherché, par la proportion R : sin E ou cos C :: CE : CD *, puis on trouvera le côté DE par la proportion R: sin C :: CE:DE.
31 . Ce qui vient d'être dit sur les triangles rectangles peut se résumer d'une manière commode en désignant leurs angles par A , B, C, A étant l'angle droit, et nommant a , h et c les côtés qui sont respectivement opposés à chacun de ces angles, ainsi que le montre la fig. i3. On aura d'abord, par le premier principe,
u : sinC ;: « : (, k : sinii :: a : ù,
DK TRIGONOMKTRU:. 87
d'où l'on tirera
c sin C b sin R
rt~" R ' a'^ R
Chassaut a de ces deux équations , ce qui se fait en divisant chaque membre de la première par son correspondant dans la seconde , on trouvera
c sin C
h ~ shTb '
. T> r^ . sin C tangC .,
et comme sin n = cos C , cl que = — 2L-. , il en re-
' ces C R
sultera
c tang C
équation qui représente le second principe énoncé dans le numéro précédent.
Enfin, si l'on carre chaque membre des deux premières équations, et qu'on ajoute ensuite, membre à membre , les équations résultantes , en observant que
sin O -h sin R» = sin C + cos O = R» (10),
on aura
1 =1 ou 6' -f- r- = a\
a' fl'
Il suit de là que les deux équations
sin C b sin R
suffisent, conjointement avec la relation qui existe entre les angles B et C , pour résoudre tous les cas des triangles rectangles.
32. Le principe sur lequ(îl est fondée la résolution des triangles rectangles, conduit à celle des triangles quelr
38 TRAITÉ ÉLÉMENTAraE
conques. En abaissant de l'angle B du triangle ABC [fis- ^4)5 uiïe perpendiculaire BD, sur le côté AC, on formera deux triangles ABD , BDC , rectangles en D ; on aura , dans le premier,
R : sin A : : AB : BD ,
et, dans le second,
R : sin c : : bc : bd ,
ce qui donnera
R X BD = sin A X AB , R X BD = sin C X BC,
d'où il suit
sin A X AB = sin C X BC, ou sin A ; sin C : : BC : AB.
Lorsque la perpendiculaire tombe en dehors , Tangle C n'est pas commun au triangle ABC et au triangle BCD; mais l'angle BCD et l'angle BCA , valant ensemble deux angles droits , ont le même sinus ( 22 ) .
La proportion obtenue ci-dessus peut se convertir en principe général , et s'énoncer ainsi : Dans un triangle quelconque y les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés à ces angles.
33. La même proportion se démontre ainsi de la manière suivante, qui paraît plus analogue à l'idée que j'ai donnée de la Trigonométrie, dans les n*^* 1 et 2.
Ayant inscrit le triangle ABC [fig. i5) dans un cercle, si l'on décrit du centre O de ce cercle , et avec un rayon Oa égal à celui des Tables , un cercle abc , puis qu'on joigne , ..par des droites ab , bc et ûc, les points où les rayons AO, -BO, CO rencontrent le cercle des Tables , on formera un triangle abc semblable au triangle proposé, et dont les côtés ab , bc et ac se déduiront des Tables.
^La 'similitude des deu"x triangles ABC et abc devient éviflente quand on observe que les droites «O, AO et cQ
DE TIUGOJNOMKTBIE. Sg
élant égales comme rayons d'un même cercle, ainsi que les droites AO , BO , CO , les triangles AOB , BOC et AOC eut leurs côtes AO et BO , BO et CO , AO et CO , coupés proportionnellement , aux points a et i , i et c , a et c , et que, par conséquent, les droites AB et aft, BC et ftc, AC et ac sont respectivement parallèles \ on a donc
AB : BC : AC :: rt^» : ^c : ac,
ou
\\ \ab : \bc \ \ac.
Cela posé , les angles du triangle abc^ ayant leur sommet placé à la circonférence , sont mesurés par la moitié de l'arc que sous-tend le côté qui leur est opposé, et chacun de ces arcs a évidemment pour sinus la moitié de ce même côté (14) -, donc
-j z?^ = sin c := sin C,
I ôc =: sin a = sin A ,
\ ac = sm h -= sin B ,
et, par conséquent,
AB : BC : AC :: sin C : sin A : sin B.
La comparaison des triangles AOB et aOb montre de plus que
AB \ ah W kO \aO, ou que
AB : 2 sin C : : AO : /7 o ,
c'est-à-dire que chaque côté du triangle ABC est au double du sinus de V angle qui lui est opposé^ comme le rayon du cercle circonscrit est à celui des Tables (* ) .
r"(*) On pourrait considérer les lignes ah ^ bc et ac comme les sinus mêmes de ces angles A, B, C, en prenant pour unité le diamètre du cercle ahc'f c'est ainsi que Carnot les a présentées dans Touvrage intitulé Géométrie de position. On y trouve, d'après cette définition, une démonstration très-simple et très-élégante de la pr()position du n" 11 et de ses conséquences les plus importantes.
4îi TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
(le Fanglc connu C , le reste sera celle de A 4- B j prenant par conséquent la valeur de tang | (A — B) , il viendra
tangl ( A — B) = î^ X taog |( A + B).
Connaissant alors les angles
|(A4-B) et i(A-B), si on les a joute, on aura
i(A + B)-4-i(A-~B)==A, et si Ton retranche le second du premier, il viendra
i(A4-B)-HA-B)=B;
c'est-à-dire que le plus grand angle s^ obtiendra en ajoutant la moitié de la somme à la moitié de la différence , et Iç plus petit, en étant la moitié de la différence de la rnoitié de la somme.
Lorsqu'on aura calculé tous les angles, on trouvera le troisième côté par le principe du n** 32.
36. On peut aussi trouver immédiatement le troisième /côté, en abaissant une perpendiculaire sur l'un des côtés jdonnés, de l'angle B par exemple, sur le côté donné AC [fig* i4)« On aura, par la propriété connue des triangles obliquangles ,
Âb'= ÂC V Bc'zp 2 AC X DC,
le ;8igne' supérieur ayant lieu quand l'angle opposé au côté AB est aigu, et le signe inférieur dans le cas contraire \ de plus, dans le triangle rectangle BDC, on a (30)
DC = fiC X sin DBC = BC X cos C , en faisant R = i : on conclura de là
Ab'= Ac' -hic' — 2 AC X BC X cosC,
DE TRJGONOMÉTRIK. 43
et , par conséquenl ,
AB = VAc'h-Bc' — 2AC.BC.c0sC, formule qui , suivant la notation établie , revient à
c = \ja^ + A* — 2.ab cosC,
et donnera le côté c par le moyen des deux autres a , i et de l'angle C. Un seul signe suffit au terme *iab cosC, parce que quand Fangle C est obtus , son cosinus est négatif (23) et change par conséquent le — en -h , comme l'exige la construction géométrique.
37. Cette formule ne se prête pas coinmodément au calcul logarithmique^ mais comme on a
cos 2C = i — asinC (27),
on aura aussi
cosC =1 — 2 (sin \ C)%
en écrivant -j C à la place de C 5 et par cette transformation on obtiendra
c^^iyjà'-^- b' — 7.ab -h ^ab (sin \ C )'
z=zsj{a^bY^^ab{sm\C)\
Faisant ensuite
2sin4-C /-7-
a^b il en résultera
cz=z{a-^b) y/ 1 -H rang a' = ^
cos a
puisque
cosa= - - (29).
On trouvera facilement tang a par la première formule ; et lorsqu'on sera parvenu à l'angle a, on [aura, par la
44 TRAITE ELKMKNTAIRK
seconde ,
COSa
