I --II. , ■ — • ^ »■■— ■ I ^ I
ab Mais il est facile de voir que
si donc on fait c -h a -^ b z=z J\ on aura , en prenant la
DK TRIGONOMÉTRIE. 4^
racine carrée
iini.Cr=i/(i
sm T ^ = i / -^-^ -^T-^ ' ?
ab
formule qui conduit à la règle suivante :
Pour trouver un angle d'un tiiangle , lorsque les trois côtés sont connus y de la demi-somme des trois côtés rc-tranchez successii^ement chacun de ceux qui comprennent V angle cherché^ multipliez les deux restes entre eux; diuisez ce produit par celui des côtés qui comprennent l'angle cherché , et prenez la racine carrée du quotient , vous aurez le sinus de la moitié de cet angle, [Ployez , à la fin de l'ouvrage, la note B.)
39. La solution de tous les cas des triangles obliquangles ne dépend , comme on voit , que des trois règles énoncées dans les n°* 32, 35, 38, et repose sur le principe dont on a tiré la solution des triangles rectangles dans le n^ 30 : il sera donc facile , avec un peu d'attention , de retenir ces règles, dont l'application sera suffisamment préparée par les exemples que je vais donner.
Exemples de la résolution des triangles rectangles,
i*^"". Connaissant, dans le triangle rectangle BAC (/îg:. i3), l'hypoténuse a et un côté c, trouver l'angle opposé C à ce côté-, et soient l'hypoténuse a = i3"',i78, le côté c = 7'", 357. On aura (31 ) , pour déterminer C, la proportion
âf : c : : R : sin C ,
d'où
. n RXc
sin C = î
et , prenant les logarithmes ,
log sin C = logR + loge — log a .
Pour plus de simplicité , on fait presque toujours le
46 TRAITÉ ÉLÉMIîNTAIRE
rayon égal à T unité : son logarithme est alors zéro; cen^t des sinus sont des compléments arithmétiques dont la théorie est exposée h la fin de mes Eléments d* Algèbre y et leur caractéristique est trop forte de lo unités, qu'il faut supprimer dans le résultat quand elles s'y trouvent.
Voici l'opération :
loge = log 7,357 = 0,8667008 comp. arith. loga = comp. arith. log 13,178 = 8,88oi5o5
somme ou log sin C = 9,746861 3
qui, dans les Tables, répond à 0*^,377 = C.
1^. Connaissant l'angle C = 0*^,5 83 7, l'hypoténuse a = 33™, 253 5 trouver le côté b. On aura (31)
R : sin B ou ces C \\ a ', by d'où
, a X cos C
*=— R— ' log^ = logfl -H log cos C — log R = log« -h log cos C;
or,
loga = log33,a53 = i,52i83o8 log cos C == log cos 0^,6887 = 9,7841210
somme ou log ^ = i , 80695 1 8
qui répond, dans les Tables, à 20*^,228 = &, à moins d'un 1000® près.
3^ Connaissant le côté c = 5^,39 1, rangleB=o%35o2, trouver le côté i. On aura
R : tangB :: c: b, ou
log bz=z\ogc-h log tatig B — log R ;
logc = log5,39i =0,7316693 log tang B = log lang o?, 35o9. = 9, 7876255
somme ou log c ==0,5192948 qui répond , dans les Tables , à 3"^, 3o6 = c.
or.
Exemples de la résolution des triangles obliguangles .
1®'. Connaissant, dans le triangle ABC (fig< i6), le côté c , les angles A et B , trouver le côté b. Soient
l'angle C sera
2* — (A4- B) = 2î—iî, 8684 = 0^1 3i6,
et Ton aura (32)
sin C : sin B : : c : ^ , d'où
, c X sin B sinC
log ^ = log c -h log sin B — log sin C ; or,
log c = log 27, 348 = 1 ,4369256
log sin B = log sin 0^,5879 ^^ 9 > 9^^8394
omp. arith. log sin C = comp. arith. log sin oî,i3i6 = 0,6877217
somme ou log £> = 2 , 0264867
qui répond , dans les Tables , à 106"*, 289 = b,
2*^. Connaissant, dans le triangle ABC, les deux côtés
a , i, et l'angle compris C, trouver le troisième côté c. Soient
on conunencera d'abord par trouver les autres angles. On aura (35)
, , Ah-B a — b
a -\- b : a — b :\ tang : tang ,
d'où
tang
■^ riiAiTi.: kf.emil.n tairl:
lo- tant' ^-^ — log tang —^ h log (« — Z»^ - log ( a 4- ^^ ) ;
or,
A -I- K = a? — C = aï — o7,84:>.6 = i^ 1674 ,
rt
——rr 0^5787,
log tang = tang o?, 6787 = o , 1 084874
log ( /'i — ^ ) lo|; I o , 639 = I , 0269008
von»|). aritlî. log (a + ^) = comp. arith. log 46,245 = 8,3349352
somme ou log tang = 9,4708234
((ui répond à o'',i828.
Donc
1 = A = oî, 7615,
et
A-f-B A — B=Bz=
(Maintenant, pour déterminer le côté c, on aura la
proportion
sin B ; sin C : : /> : c , d'où
^ X sin C
C rrr
sinB et
log c = log /; + log sin C — log sin B ; or,
log /> = log 1 7 , 8o3 = 1 , 2504982
log sin C = log sin oî, 8426 = 9 , 9865885 comp. arith. log sin B = comp. arith. log sin oî, 8959 =: o ,2846572
somme ou log c = i ,47 1 7889 qui répond , dans les Tables , à 29"*, 63o = c.
3^. Connaissant, dans le triangle ÂBC, les trois côtés a^b^ c^ trouver l'angle A.
Soient
Suivant le n** 38, on ajoutera les trois côtés a^ b^ c entre eux, ce qui donnera 61, 562, et de la moitié 30,781 on retranchera successivement A , c ; il viendra pour restes i2,o38 et 16,999 : on aura ensuite
log 16,999= 1,2804234
log 1 2 , o38 = 1 , 0805543
comp. arith. log 18,743 = 8,7271609
comp. arith. log 18,782 = 8,8606878
somme .... 19, 8988264 dont la moitié ou log sin 7 A = 9,9494182
qui, dans la Table, répond à o'^jôgSy == 7 A. Donc
40. Un ouvrage de la nature de celui-ci ne saurait comporter le détail des applications dont la Trigonométrie rectiligne est susceptible^ je me bornerai à indiquer la solution de trois questions que l'on peut regarder comme la base de l'art de lever les plans.
Voici l'énoncé de la première :
Étant donnée de grandeur et de position y sur un plan, une ligne AB (fig. 17), déterminer, par rapport à cette ligne, la position d^un point C , situé dans le même plan , ou, ce qui revient au même, trouv^er les distances AC e«BC.
Pour la résoudre, il faut mesurer la ligne AB, qui est la base de l'opération , et les angles C AB et CBA compris entre cette base et les lignes qui en joignent les extrémités avec le point inconnu C *, les distances cherchées AC et BC se calculeront alors d'après la règle énoncée dans le
TRlGOirOMÉTRlE , lO*' édit, 4
5o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
n*^ 34; et lorsqu'on les aura trouvées, on construira, au moyen d'une échelle de parties égales, sur les trois côtés donnés , le triangle ABC , qui fera connaître la position respective des trois points A, B et C (*).
On pourra ensuite , par la résolution du triangle rectangle ACP, dans lequel on connaîtra le côté AC et l'angle CAP, trouver la longueur de la perpendiculaire CP, abaissée sur AB , ou de la plus courte distance du point C à la ligne AB, et la grandeur du segment AP. Ces données serviront aussi à marquer la position du point C à l'égard de la ligne AB. On trouverait de même la situation d'un point D , qu'on pourrait apercevoir en même temps de deux quelconques des trois points A , B , C.
41 . Lorsqu'on a déterminé immédiatement le point D par rapport à la ligne AB, en mesurant les angles DAB, DBA , on a tout ce qu'il faut pour connaître la distance des points C et D-, car, ayant résolu le triangle ABD, de même que le triangle ABC , et retranché ensuite Tan^ DAB de l'angle CAB, on connaît alors, dans le triangle CAD, les deux eètés AC et AD, et l'angle CAD qu'ils comprennent : l'application des règles du n° 35 donne les deux autres angles DCA, CD A et le troisième côté CD, qui est la distance cherchée. L'angle DCA donne la posi-
(*) Je n'insiste point sur l'opération de la mesure des angles, parce que la vue des instruments que Ton y emploie en apprend plus que tout ce qu'on peut dire à cet égard , et que , pour concevoir la possibilité de cette mesure» il suffit d'imaginer que l'on ait placé sur le point A le centre d'un secteur de cercle dont les rayons soient dirigés suivant les cdtés AB et AC de Tangle qu'on se propose de connaître. Ceux qui voudront se livrer à la pratique de la levée des plans , pourront consulter le Traité de Trigonométrie de Cagnoli , l'article Levée des plans, dans le Dictionnaire de mathématiques de V Encyclopédie méthodique, le Traité d'Arpentage de M. Lefèvre, et enfin les Traités de Géodésie et de Topographie de M. Paissant, dans lesquels se trouvent les méthodes les plus exactes et les plus propres aux grandes opérations trigonomélriques, ainsi qu'aux opérationt> de détail.
DE THIGOINOMÊTRIE. j l
lion de la droite CD; et, en considérant AC comme sécante, la (Comparaison des angles DCA et CAB fait voir quelle est l'inclinaison de CD à l'égard de AB.
En partant des points C et D, et considérant alors la droite CD comme une nouvelle base , on pourra déterminer de nouveaux points , que l'on n'apercevait pas des deux premiers , A et B ; et continuant ainsi , de proche en proche , on fixera la position respective de tous les points d'un pays : c'est d'une manière semblable qu'a été levée la carte de France, dirigée par Cassini.
4t2. La seconde question dont j'ai à m'occuper n'est que la première rendue plus générale , en supposant que le point à déterminer soit situé hors du plan sur lequel se trouve la ligne AB. Soient C (fig- i8) ce point , et ABC' le plan qui contient la ligne AB ; la position du point C sera connue, si l'on a celle du pied C de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan ABC, et la longueur de la perpendiculaire CC qui marque de combien le point C est élevé au-dessus de C qu'on nomme sa projection. Dans ce cas, les angles CAB et C'BA ne sont plus ceux qu'on mesure, mais on prend à leur place les angles CAB et CBA , situés dans le plan ABC , passant par les lignes AC et BC, menées des points donnés A et B, au point demandé; et pour fixer la position de ce plan , on mesure en outre l'angle DBC que fait la ligne BC avec la ligne BD, perpendiculaire au plan ABC, et par conséquent parallèle à la droite CC (*). On résout le triangle ABC comme dans le numéro précédent , puisqu'on y a encore les mêmes données*, ensuite , dans le triangle BCC, rectangle en C,
( *) Lorsqu'il s'agit des points placés sur la surface de la terre, on choisit pour le plan ABC' un plan horizontal; les lignes CC et BD sont alors ver- Ucales : leur direction est donnée par celle du Jil à plomb. Le plan BCC qui passe par ces lignes est vertical , et se trouve déterminé par le point C qu'on aperçoit du point B, et par la ligne BD. La ligne BC est une ligne horizontale comprise dans ce plan.
on connaît Thypolénuse BC et l'angle CBC qui est la différence entre l'angle droit DEC et l'angle mesuré DBC: on calcule les côtés CC et BC. Le premier est la hauteur du point C au-dessus du plan ABC, et sert, conjointement avec le côté AC , à déterminer AC par le moyen du triangle ACC, rectangle en C. Cela fait , on a les trois côtés du triangle ABC, et le point C est par conséquent donné.
43. C'est pour plus de simplicité que j'ai supposé la ligne AB dans le plan auquel on rapporte les points à déterminer; lorsqu'elle ne s'y trouve pas, il faut observer de plus l'angle DBA (Jig- 19) qu'elle fait dans ce cas avec la ligne BD perpendiculaire au plan A'BC, sur lequel on veut rapporter le point C. Cela fait, on calcule d'abord, comme ci-dessus , les côtés AC et BC du triangle ABC , les côtés CC et BC du triangle rectangle BCC ; puis, dans le triangle BAA', rectangle en A', où l'on connaît AB et l'angle ABA', complément de l'angle observé DBA, on calcule BA' et AA'.
Maintenant, si l'on conçoit AC' parallèle à A'C, il en résultera le triangle ACC', rectangle en C', dans lequel on connaîtra AC, côté calculé du triangle ABC, et CC^j différence entre les lignes CC et CC' ou AA', calculées précédemment : on pourra , par conséquent, calculer AC*. ou A'C. Voilà donc le triangle A'BC déterminé par ses trois côtés, comme l'est le triangle ABC, dans le numéro précédent.
44. En prenant arbitrairement les côtés BC et BA, et suivant la marche que je viens de tracer, on peut calculer le triangle A'BC, dans la vue de connaître l'angle C'BA', formé par les lignes BC et BA'qui sont, sur le plan A'BC, les projections des rayons visuels BC et BA menés du point B aux points A et C.
L'angle C BA' compris entre ces projections , est l'angle
DE TRIGONOMÉTBIE. 53
CBA réduit^ du plan incliné dans lequel il se trouve, au plan A'BC' sur lequel on rapporte les objets , et que Von cboisit communément horizontal. Je donnerai dans la suite (6â) une seconde manière de réduire un angle d'un plan à un autre; mais le plus souvent, comme les deux plans que l'on considère sont peu inclinés entre eux, on fait cette réduction par des méthodes approximatives beaucoup plus courtes : on en a même dressé des Tables.
Pour le présent , je me bornerai à faire remarquer que si l'on observait aussi au point A les angles EAC, EAB, et que l'on réduisit par leur moyen Tangle CAB à l'angle C'A'B, puis que Ton calculât A'B, en multipliant AB par le cosinus de l'angle ABA' ou le sinus de Tangle DBA, connaissant alors immédiatement les angles C'BA', C'A'B et la droite A'B, la détermination du point C rentrerait dans ce qui a été dît au n** 40.
La réduction au plan horizontal n'est pas la seule qu'on ait à faire aux angles observés : il arrive rarement qu'on puisse se placer aux points remarquables qu'on choisit pour sommets des angles , et qui sont ordinairement des pointes de clochers , des tours , il naît de là une nouvelle réduction qu'on appelle réduction des angles au centre de la station. Il faut consulter sur ce sujet, comme sur toutes les attentions minutieuses qu'exigent les grandes opérations trîgonométriques , Touvrage de Dclambre , intitulé Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien^ et les Traités de M. Puissant, déjà cités.
45. La troisième question que je dois résoudre ici a pour objet la détermination d'un point par l'obsen^a^ tien des angles compris entre les droites menées de ce point à trois points donnés^ et elle se présente comme un des moyens les plus commodes pour placer sur un plan ou sur une carte, un point qui ne s'y trouve pas marqué.
Lorsqu'on la considère dans le cas le plus général , elle se rapporte à la Géométrie dans Tespace , et j'en ai donné la solution graphique dans le Complément des Éléments de Géométrie ; mais quand les trois angles sont dans un même plan, il y en a toujours un qui est la somme ou la différence des deux autres , en sorte qu'il suffit d'observer ceux-ci pour en conclure le premier 5 et l'on peut ramener les autres cas à celui-là , en se servant de la réduction des angles au plan horizontal^ enseignée dans le n^ 62.
La solution graphique de ce cas consiste à décrire sur les lignes AB et AC (fig- 20) qui joignent les trois points donnés A , B , C , deux segments de cercle capables des angles BDA , CD A , observés au point cherché D , entre les points A et B , A et C. Les circonférences des cercles se couperont d'abord au point A , qui leur a été rendu commun par la construction , et ensuite au point D, qui sera évidemment le point demandé.
Je n'entrerai pas dans la discussion des différents cas que peut présenter le problème, relativement aux diverses situations respectives des points donnés A, B, C et du point cherché D ; je me bornerai à faire remarquer que la somme des angles observés BDA , CDA indique si l'on est placé dans le triangle ABC, ou en dehors. Dans le premier cas, elle surpasse deux droits; dans le second, elle est moindre \ et , si elle était précisément égale à deux droits, on serait placé sur la ligne BC. Cela est trop facile à prouver pour que je m'y arrête.
Voici une des manières d'appliquer à ce problème le calcul trigonomé trique. Les données sont les parties du triangle BAC, et les angles observés BDA et CDA 5 je ferai en conséquence
AB=:«, AC^r/», BDA=:a, CDA=:,Ô, BAC = 7,
et je prendrai pour inconnues
ABD = a7, ACD = j,
DE TlUCOiNOMKTHIE. 55
parce que ces angles étant trouvés , on en connaîtra deux avec un côté, dans chacun des triangles BAD etDAC dont on pourra alors calculer toutes les parties (34). Cela posé, les triangles BAD et DAC donneront
sin BDA : sin ABD : : AB : AD ,
sin CDA : sin ACD : : AC : AD ,
ou
, ^ rt sin ^
sm a : sm a: : : (7 : AD = — ; ?
sm a
« • / i^ bsinr
sm S : sm r : : 6 : AD = —7—;; ;
' sm p
on conclura de là l'équation
a sin X b siny
sm a sm p
qui revient à
a sin p sin j: — b sin a sin j =: o. Mais , dans le quadrilatère ABDC , on a
ACD = 4 angl. droits — BDA — CDA — BAC — ABD ;
d'où
j^ = 4 angl. droits — a — p — 7 — x.
Faisant, pour abréger,
4 angl . droits — a — p — 7 = ^, il viendra
et, par conséquent,
a sin p sin x — b sin a (sin ^ ces x — cos 'î sin a;) =: o ; divisant tout par sin a:, on obtiendra
(cos X \
sin S -. cos Ȕ I = o, sm X I
56 TttAITÉ ÉLÉMENTAIRE
d'où Ton conclura
cos X a sin ô 4- 6 sin a cos 5
''^, = COt :c = 7—: : — r
sm X sm a sin o
Si l'on partage cette expression en deux parties , on
aura
a sin B cos ^
COtX= — . \-^- 11
h sm a sm o sm o
ou bien
ou enfin
cos ^ / a sin S \
cot X = -: — - ( -r-, ^— -f- 1 1
sm o\h sin a cos o /
. / « sin B \
COt j; = COt 1 7—; !-— ^ -f- 1 I
\ e» sm a cos o /
Voilà la question résolue, puisque, avec Tangle o:, on a l'angle/.
Note sur le nivellement.
Il est utile de remarquer comment , par le moyen du triangle rectangle BAA' (fig- 19), on a déterminé, dans le n** 45 , la hauteur AA' du point A au-dessus du point A' qui lui correspond dans le plan A' BC, parce que , si ce dernier est horizontal^ la ligne AA' est alors la différence de niveau entre le point A et le même plan, et, par conséquent, aussi entre le point A et le point B.
L'opération qui fait connaître cette différence est nommée nivellement: elle s'exécute de plusieurs manières, suivant la nature des instruments qu'on y emploie, et l'étendue des espaces que Ton considère \ mais son but est toujours de déterminer de combien un point est plus élevé ou plus bas qu'un autre, dans le sens vertical, ou perpendiculairement à la surface terrestre. Il existe des Traités spéciaux de nivellement auxquels je renverrai le lecteur; mais je dois dire ici que depuis qu'on possède, dans le cercle répétiteur, un instrument portatif propre à mesurer les angles avec la plus grande exactitude, on peut, comme je l'ai indiqué n" 43, trouver immédiatement la différence de niveau
dedeax poînis, pu la mesare de l*aiigle que (ait, avec la verdak passant par Fan de ces points, la droite qui les joint.
J'ai sapposé dans le texte les deux droites BD et AA' parallèles entre elles; mais cette drconstance n'a lieu pour les verticalesqoe dans un espace assez petit , à cause de la convexité de la soffiioe terrestre. En la supposant sphérique , œ qui est à trèspeu près exact, les verticales concourent au centre C {fig» ai)» comme le marquent les lignes AC et BC ; la ligne BA', perpendiculaire à BD, sera seulement tangente au point B de la surface terrestre, et la différence de niveau , suivant la définition donnée ci-dessus, sera Ast et non pas AA', c'est-à-dire la différence entre les côtés BC et AC du triangle ABC, dans lequel on conosât le côté AB mesuré , le côté BC égal au rayon moyen de la terre et de 6366 ig8 mètres, enfin Tangle B compris entre ces côtés, et supplément de l'angle observé DBA. Cela posé, si Ton prend
BC = û, AC=>, AB = r,
on obtiendra (56)
b = ^a* + c' — aac cos B ;
et comme c est toujours fort petit à Tégard de a , je donne à cette expression la forme
, / r' — 2ûccosB\' r . 2c / f vy
Faisant ensuite, pour abréger, cos B = w, puis dcve-
loppant par la formule du binôme, ii viendra
- / iicm\^ I cm ï c^ni^
b = a(i-\ ) =flH r+---
et la ligne cherchée A a étant égale à b — a, je supposerai b^= a -i- Sy d'où il résultera, après la réduction ,
§ z= cm h
58 TRAITE ÉLKMENTAIIŒ
La ijuantité m et ses puissances se calculeront iacileiiient par
les logarithmes, en prenant — = cos B', parce qu^alors (27)
cosB = co8B' — cosB = î sin i(B-f-B') sin- (B— B').
Quand Tangle B est droit , la ligne BA se confond avec BA'; et si Ton considère alors le point a', intersection de BA' et du rayon AC, on a
c=z Ba',
et 5 devient olol' ^ c'est-à-dire la distance entre le point a' pris sur la tangente et le point a qui lui correspond sur la surface terrestre, ou la différence entre le niveau apparent et le niveau
réel. Dans ce cas , w = — ; ainsi
la
la TQa^
ce qui fait connaître la quantité dont la surface terrestre s'abaisse au-dessous de sa tangente, à une distance c du point de contact.
Le plus souvent, on rapporte d'abord le point A en A' sur la tangente BA^ puis, à cause de la petitesse de Tangle G, on rel^arde les droites A A' et A a' comme se confondant, et Ton prend pour A a la somme des droites A A' et aa'.
On peut se passer de mesurer la distance AB, pourvu qu'on observe Tangle EAB en même temps que Fangle DBA. On connaît alors, dans le triangle ABC, les deux angles B et A, suppléments des angles observés, et Ton a (5i$)
b —a tang|(A — B) b ^-a'" tangl(A-f-B)*
Faisant, pour abréger,
tang-i(A--B) tangi.{A + B)
= w, cl b =z a '\' Sy
DE TUIGONOMÉTniE. 69
un trouve
= /// , ou ù=.
Or
= I 4- /w -f. ,i|5 4- . . . (Éléments d'Jlgèbre, ft55) ;
donc
^ = 2 am ( 1 -f- 7/1 -H /w* + . . . ),
série très-convergente quand les angles A et B approchent d'être droits. Le premier terme 2,am suffira le plus souvent.
Quand on opère avec exactitude, il faut corriger les angles EAB et DBA de la réfraction que les rayons de lumière éprouvent en traversant Tair^ de A jusquVn B; mais j*ai principalement rapporté les deux questions précédentes pour servir d^exemplc de l'application des séries à la résolution approchée de certains cas des triangles.
6o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
caiAPiTRE n.
De 1» Trlsonomëtrle epliërlque*
4f6. Les triangles sphériques que l'on calcule ordinairement sont ceux que forment , sur la surface de la sphère, trois grands cercles qui se coupent deux à deux. Un tel triangle détermine toujours un angle trièdre; et, réciproquement, d'un pareil angle on déduit aussi un triangle sphérique. En effet, soit ABC [fig^ 22) un triangle sphérique quelconque , et que l'on ait mené de chacun de ses angles, au centre de la sphère dont îl fait partie, les rayons AS, BS, CS; les plans ABS, ACS, BCS seront ceux des grands cercles sur lesquels sont pris les arcs AB, AC , BC , côtés du triangle proposé, et ces arcs mesurent les angles rectilîgnes compris sur chacune des faces de l'angle trièdre SABC entre ses arêtes SA et SB, SA et SC, SB etSC. L'inclinaison de deux plans se mesure, comme on sait, par l'angle rectilîgne que forment deux droites menées dans chacun de ces plans , par un même point de leur commune section, perpendiculairement à cette ligne : il suit de là que si , par le point A , on tire les droites AI et AK , perpendiculaires Tune et l'autre à AS , mais la première dans le plan ABS et la seconde dans le plan ACS, l'angle rectiligne IAK mesurera Tinclinaison de ces deux plans. Il est d'ailleurs aisé de voir que la ligne AI sera tangente à l'arc AB, et que AK sera tangente à l'arc AC 5 et comme on prend pour l'angle que forment deux lignes courbes, celui que comprennent les tangentes menées au point où elles se rencontrent , l'angle IAK sera donc aussi la mesure de l'angle fait par les arcs AB et AC. Il en serait de même de chacun des deux autres angles du triangle : les inclinaisons des faces de l'angle trièdre SABC
DE TRIGONOMÉTRIE. 6l
ont donc la même mesure que l'angle correspondant du triante sphérique ABC. Le triangle sphérique et Fangle trièdre sont composés, par conséquent ^ de six parties qui se correspondent, savoir : les trois côtés du triangle qui répondent aux augles des an^tes de l'angle trièdre, et les trois angles du triangle qui répondent aux inclinaisons réciproques des faces de l'angle trièdre.
Euler, qui s'est occupé à plusieurs reprises de la Trigonométrie sphérique , pour la présenter sous des points de vue nouveaux, a donné, en 1779, un Mémoire que Ton peut regarder comme un Traité complet de cette branche des Mathématiques. Sa forme, entièrement analytique, m'a engagé à le présenter à mes lecteurs, en y faisant les changements nécessaires pour ne l'appuyeique sur un seul principe, et simplifier quelques résultats (*).
47. Tout ce que j'ai à dire sur les triangles sphériques repose uniquement sur la construction suivante^ qu'il est , par conséquent , imporlant de bien saisir.
De l'angle C du triangle ABC on abaisse une perpendiculaire CD sur le plan ASB du côté BA opposé à cet angle; du point D on mène les lignes DE, DF, respectivement perpendiculaires sur SA et SB-, on tire les. lignes CE et CF, qui seront de même perpciidiculaîres aux lignes SA et SB [Géométricy 202). Il suit de là que les angles CED et CFD mesurent les inclinaisons des plans ACS et BCS sur le plan ABS, ou, ce qui est la même chose, donnent la valeur des angles A et B du triangle sphérique ABC. Je désignerai dorénavant les angles de ces triangles par la lettre placée h leur sommet, et les
(*) Âcta Âcademiœ Scientiarum PetropolUanœ, anno 1779, pars prior; voyez aussi le Développement de la partie élémentaire des Mathématiques, par Bertrand; Genève, 1778 (tome II, page 670);, et le Traité que M. J.-L. Hestermann a public à Vienne en 1830, sous lo titre de Trigonometriœ sphericœ loges et formula mclhodo merè analytica demonstratœ.
62 TRAITK ÉLÉMENTAIRE
côtés qui leur sont opposés, par une lettre semblable, maïs prise dans le petit alphabet; ici, comme dans le n" 31 , le côté BC opposé à l'angle A sera nommé a, et ainsi des autres. Le rayon SG de la sphère étant supposé égal à l'unité comme celui des Tables, on aura alors
CE = sin C A = sin 6 , SE = ces CA = ces b , CF r= sin CB = sin o , SF = cos CB ~ cos a .
Dans le triangle rectiligne CDE, rectangle en D, et dont Tangle CED = A , on trouvera
CD = CE sin CED =r sin ^> sin A , DE = CE cos CED c= sin 6 cos A .
Par le triangle rectiligne CDF pareillement rectangle en D , et dont Fangle CFD = B , on obtiendra
CD = CF sin CFD = sin a sin B, DF = CF cos CFD = sin a cos B .
Les deux expressions de la ligne CD, étant égalées entre elles , donnent d'abord
(A) sin ^ sin A = sin a sin B ,
résultat qui est, par rapport aux triangles sphériques, l'analogue de celui du n° 32.
Il est évident qu'on doit avoir de même les deux équations suivantes :
sin c sin A = sin ^ sin C ,
sin r sin B = sin ^ sin C .
Maintenant, par le point E je mène EG perpendiculaire sur SB, et par le point D je tire DH parallèle à SB^ je forme de cette manière un triangle rectangle HDE dans lequel HED =: ASB , puisque les angles SED et SGE étant droits par construction, HED et ASB ou ESG sont compléments du même angle GES. De la résolution du
DE TRIGOSOMKTKIE. 63
triangle HDE, on déduira, par conséquent y
HD = DE sin DEH = DE sin c = cos A sin b siii c .
Mais
SF = cos fl = SG -+- GF = SG -f- HD ,
et
SG= SE cosESG = cosb cosc;
on aura donc
cos a = cos b cos c + cos A sin b sin c ,
équation qui exprime une relation entre le côté a, les deux autres côtés &, c et Tangle qu'ils comprennent.
Il est évideiù qu'en considérant en particulier chacun de ces derniers , on trouvera de même deux équations semblables à la précédente; et Ton formera de cette manière, entre les six parties du triangle ABC, les trois équations
icosfl = cos b cos c -\- cos A sin ^ sin r , cos b = cos a cos c -+- cos B sin a sin c, cos c = cos a cos b •+■ cos C sin a smb {*).
48. Ces trois équations renferment implicitement les équations (A). Pour s'en convaincre, il suffit de prendre les valeurs qu'elles donnent pour cos A , cos B , cos C , et de les substituer dans les équations
sin A' =r 1 — cos A% sin B* = I — cos B% sinC= = I — cosC^
On ii*ouve , par la première de celles-ci ,
. ^, cosfl' — 2 cos rt cos ^ cos c -4- cos //^ cos r ■
Sm A' = 1 :— r— 7
sm 0^ sm c^ __ sin b^ sin c- — cos a^ -h i cos a cos b cos c — cos 6' cos c'
sin b'* sin c^ ^ (i — cos3*)(i — cosc') — cos A Vos c^ — CO Srtt'H-?^0OS/3rCOS^ COSf
sin^^ sine' I — cosfl' — cos b^ — cos c' 4- 2 cos a cos b cos c
sin /)' sin c' '
(*) Ces équations sont par rapport aux trianf^los sphériqnos co i\\\o
multipliant les deux termes de cette fraction par sin a*, et prenant ensuite la racine carrée , on obtiendra
^i — CCS a' — cos^' — cosc^-H 2 ces a ces 6 cosc
sin A = sinû X
sin a sin b sin o
Si^ pour abréger, on représente par M la quantité qui
multiplie sin a dans le second membre de cette équation,
on aura
sin A = M sin a :
on trouvera de môme
sin B = M sin b, sin C == M sin c ;
et, par l'élimination de M, on retombera sur les équations (A). Il est à propos de remarquer que les trois côtés a^b^c entrent tous de la même manière dans rexpression de M , car c'est pour cela qu'elle est commune aux valeurs des sinus de chacun des angles (*).
Les équations (B) suffiront donc pour résoudre un triangle sphérique quelconque, lorsque l'on connaîtra trois de ses parties, en observant que le sinus et le cosinus ne doivent être regardés que comme une seule inconnue 9 puisqu'on peut toujours exprimer Tun par l'autre; mais pour appliquer plus facilement ces équations aux difTé-
sont par rapport aux triangles rectiligncs les équations dont fait partie celle du n^ 56 , qui expriment la relation d'un côté avec les deux autras et Tangle qu'ils comprennent, équations qui sont reprises et simplifiées dans le n° 100. On trouvera dans la note C, à la fin du livre, une autre manière d'obtenir cette relation.
( * ) En désignant par N le numérateur de la quantité M , par y , )9, a les trois arêtes contiguës d'un tétraèdre quelconque, et par «, 5, c les trois angles qu'elles forment, il résulte d'un Mémoire d'Euler que le Tolume de ce tétraèdre est égal à \ a/S-/ x i N , et que \ N revient à
\^sin|(a-hft-l-c)sin|(a-i-Z» — c) 8in^(a-t-c — 6jsin^(6 -hc — a).
Dans le tétraèdre SABC , a = /3 = •/ = 1 ; son volume est donc égal à|N. {Y oyez les Novi Commenlarii Acad. Petropolitanœ, t. IV, p. 160, et le VI® cahier du Journal de V École Polytechnique, p. yr^-K
DE TUIGONOMKTKIE. G:")
renis cas qui peuvent se présenter, on leur fait subir (juelqoes transformations que je vais exposer.
49. On peut y changer les angles dans les côtés qui leur sont opposés , et réciproquement, en observant de donner le signe — aux cosinus. Pour le prouver, il faut éliminer cosa des deux dernières, au moyen de la première; on
trouvera
cos6=: cos^ cosc'-l- cosA sin b sine cosc -H cosB sin/7 sinr, cosc = cos b"^ ces c 4- ces A sin /; sin c ces b -\- cos C sin a sin b.
En substituant dans ces i^sultats i — sine- à cosc*, 1 — sini' à cosi*, ils se réduisent; le premier devient divisible par sine, le second par sinft, et ils peuvent ensuite s'écrire ainsi :
/p, ( cosB sin a = cos ^ sin c — cos A sin b cos c , 1 cos C sin fl = sin ^ cos c — cos A cos b sin c .
Si Ton multiplie la seconde de ces équations par cos A, quonTajoute à la première, et que Ton substitue 1 — sin A" au lieu de cos A*, on obtiendra
sin a (cos B -+- cos A cos C) = sin A- cos b sin c.
Mais il suit des équations (A) que sin c sin A = sin a sin C ; faisant la substitution de celte valeur dans le second membre de l'équation ci-dessus , elle deviendra divisible par sin a, et l'on aura
cos B 4- cos A cos C = cos b sin A sin C ,
ou, ce qui est la même chose,
cos B = — cos A cos C 4- cos b sin A sin C.
En comparant ce résultat avec les équations (H), on voit quilse déduirait immédiatement de la seconde, eu changeant les grandes lettres en petites , et réciproquenienl • ri
TKIGONOUKTRIK , 10*^ écilt, 5
en affectant tous les cosinus du signe — . En effet , en opérant ainsi , il vient
— ces B = ces A cos C — ces b sin A sin C ,
équation qui rentre dans la précédente lorsqu'on en cbange tous les signes.
La relation qu'a l'angle B avec les deux angles A , C et le côté h qu'ils interceptent, existe nécessairement dans cbacune des combinaisons semblables d'angles et de côtés: on a donc en même temps les trois équations
icos A = — cos B cos C 4- cos a sin B sin G , cos B = — cos A cosC + cos b sin A sinC, cos C = — 'cos A cos B + cos c sin A sin B .
50. Il faut remarquer qu'en prenant les cosinus n^ativement, on passe des arcs a, i, c et des angles A, B, C, à leurs suppléments, puisque
— cos A = cos (2? — A), — cos« = cos(2î — a),
et ainsi des autres (23). Si l'on substitue ces valeurs dans les équations ci-dessus, en faisant, pour abréger,
29— A = A', 2Î~-fl[ =«', . ..,
elles prennent la forme
cos A' = cos B' coS C -\- cos a' sin B' sin C , cos B' == cos A' cos C -f- cos ô' sin A' sin C , cos C = cos A' cos B' ■+■ cos c' sin A' sin B' ,
parfaitement semblable à celle des équations (B) , et elle» appartiennent , par conséquent , à un triangle sphérique dont les côtés sont A', B', C, et les angles a', i', c' (*).
(*) M. J. Binet m'a fait remarquer qu'on rend encore les équations (B) et (B') parfaitement semblables, en substituant à la fois dans les unes el dans les autres , aux angles du triangle sphérique, leurs suppléments.
Un tel triangle a donc ses angles mesurés par les suppléments des c6tés du triangle ABC , et ses côtés mesurent les suppléments des angles du même triangle; il est désigné, dans les livres de Trigonométrie, sous le nom de triangle supplémentaire , et l'on prouve que les sommets de ces angles sont les pôles des côtés du premier, et vice versa (*).
51 . Les équations obtenues dans le n^ 49 , sous la désignation (C), qui renferment cinq parties du triangle sphérique ABC , peuvent se transformer en d'autres qui n'en contiennent plus que quatre. Il faut pour cela substi-
1. j . 1 1 ., sin 6 sin A tuer, au lieu de sm a, dans la première- ; j et
'^ sm B
j 1 j sincsinA,.-x ces/?
dans la seconde, — :— 7; — (4' ) i et comme -r-^^ = cot w,
' sm C ^ ^ ' sm p ' '
on trouvera alors
^ ces b sine — ces A sin b cos c
cot B = : — ;: — : — r 9
, , , sm A sm o
-, sin b cos c — cos A cos b sin c
cot C = : — , . •
sin A sin c
Il est facile de former, à Tinspection de ces valeurs ,
car les équations (B) deviennent
cos a = cos b cos c — cos A' sin b sin c , etc.,
et les équations (B' ) ,
cos A' = cos B' cos C — cos a sin B' sin C, etc.
(*) La considération de ce triangle donne les limites de la somme des angles des triangles sphcriques , qui n'est pas constante comme celle des angles des triangles rectilignes. En effet, la somme des angles d'un triangle sphérique quelconque et des côtés de son triangle supplémentaire, formant six angles droits , si l'on en retranche la somme dos côtés de celui-ci , qui est toujours moindre que quatre droits {Géométrie, 289), il restera plus de deux droits , et moins de six pour celle des angles du premier triangle.
68 TUAnii hiLÉMKNTAlKK
toutes cellos qui leur sont analogues, en y permulaul les lettres d'une manière convenable ; mais il importe surtout de remarquer que, puisqu'elles sont déduites des équations (B), on y pourra changer, de la même manière que dans celles-ci , les côtés en angles, et réciproquement, en allectant les cosinus et les cotangentes du signe contraire à celui qu'ils ont , et il viendra
, ces B sin C -h ces a sin B ces C
cet O =• : : — î
sm a sin B
^ ' * sin B ces C + ces a ces B sin C
cet c = : : — 7; •
SU) a sm c
52. Les cinq systènKîs d'équations (A), (B), (B'), (D), (D') donnent immédiatement la résolution de tous les cas que peut offrir un triangle spliérique quelconque. Le premier exprime la relation qui existe entre les angles el les côtés opposés. •
