Û TRAITE ELEMENT AI IIE
56. Le cinquième système, enfin, conduit aux six formules suivantes :
(OS A sin B -4- cos c sin A ces B
cet a =
cet/» =3
sin c sin A
sin A cos B -f- cos c cos A sin B sin c sin B
cos A sin C + cos h sin A cos C
cot a = : — t — \ — >
sm b sin A
sin A cos C + cos h cos A sin i\
cot c = : — r— : — 9
sm o sm (.
, cos B sin C -f cos a sin B cos C
cot b = : : 5
sin a sm B sin B cos C -f- cos a cos B sin C
cot c =: : t-t; 9
sm a sm C
qui serviront à déterminer deux des côtés d'un triangle , lorsque l'on connaîtra le troisième et les deux angles entre lesquels il est compris.
57. Les formules conclues des systèmes (B) , (B'), (D) et (D') (53-56), méritent la plus grande attention, tant par leur élégance que par la propriété qu'elles ont de faire connaître si l'arc ou l'angle qu'elles expriment est moindre ou plus grand qu'un quadrant ou qu'un angle droit, propriété que n'auraient point les expressions des sinus des mêmes arcs. En effet, le sinus d'un arc étant le même que celui du supplément de cet arc, tant par sa valeur que par son signe , toutes les fois que Ton ne connaît que le sinus d^un arc , il n'est pas possible de savoir si cet arc doit être plus petit ou plus grand qu'un quadrant ^ mais lorsqu'on a le cosinus , ou la tangente, ou la cotangente. et qu'on sait d'ailleurs que cet arc ne peut être égal à la dcmi-cîr conférence, ce qui est le cas des côtés des triangles sphériqucs et des arcs qui
DE TUIGONOMÉTRIE. 7I
mesurent leurs angles , on voit par le signe du résultat, si l'arc cherché surpasse ou non i'' : le cosinus, la tangente et la cotangente ont le signe — dans le premier cas , et< le signe + dans le second. Si donc on a soin de donner aux quantités connues qui entrent dans les formules rapportées ci-dessus , les signes qui doivent les affecter, d'après la valeur des arcs auxquels elles appartiennent , le signe du résultat fera connaître V espèce du côté ou de l'angle cherché, c'est-à-dire s'il est plus petit ou plus grand qu'un quadrant, s'il est aigu ou obtus.
58. Ces mêmes formules se simplifient beaucoup lorsque le triangle proposé est rectangle , c'est-à-dire lorsqu'un de ses angles est droit. En effet , si l'on suppose que C = i', on aura
sin G = I , ces G = o , et il viendra
ces c = CCS a ces b (tf5) , CCS A ces B ^ ^ ,^.,
COSC=-: ; — : — - = COtAcOtB (o4),
sin A sm B \ / »
CCS A = sin B ces a \ CCS B = sm A CCS c> ;
sin ^2 = sine sin A, sin ^ = sin c sin B (47),
, cosB \ ( , .
col = -: T-r=r 1 lanc b = sm a tang B
sm a sm B J i
ces A ■ 1
cota = -; — j— : — r I 1 tanga = sin b tangA
sm^smAI ,^^. ^ °
) (ô6), d'où ( ces b cos A I j ,
cot c = : — 7 — I 1 tant; b = cos A tance
smô I I
cosa cosB I f
col c = : I lanc a = cos B tance
sma \ \
et en ne prenant, parmi ces formules, que celles qui dif-
rj2, TRAITE ÉLÉMENTAIKE
fèrent essenlielleincnt, on aura les six que voici :
cos c z= cos a cos b ,
cos c = cet A cot B ,
sinfl = sine sin A,
tanga = sin b tang A ,
tang a = cos B tang c ,
cos A = sin B cos a ,
qui , par les renversements dont elles sont susceptibles , suffiront pour résoudre les triangles sphériques rectangles en C 5 et dans lesquels le côté c , opposé à l'angle droit, se nomme hypoténuse , aussi bien que dans les triangles rectilignes. On obtiendrait des formules analogues pour le cas où le triangle sphérîque proposé aurait un de ses côtés égal au quadrant; mais je ne m'y arrêterai pas.
59. Pour pouvoir appliquer commodément les logarithmes aux calculs des triangles sphériques , il faut transformer les formules des n°^ 53 et 54 , en d'autres dont le numérateur et le dénominateur soient décomposés en fac-. teurs ; et c'est ce qu'Euler a fait d'une manière aussi simple
qu'élégante.
„ Tx ,, . . cos« — cos6cosc
1°. De 1 expression cosA= -. — ; — -. 5 com-
^ sin o sin c
prise parmi celles du n° 53, on tire
cos(^ — c) — cos« ...
I — COSA= —. — ; — : (li),
sin o sm c
cos a — cos( b -^ c)
