I -h cos A ~ — > -— r
sm à sin c
d'où , à cause de
i + cos A il suit
I — cos A I , , . ,,
= tang -A' (27),
1 cos (b — c) — cos a tang - A^ rr ^ ^-- .
2 cos a — cos (0 'h c)
DK TRIGONOMÉTRIE. 73
mais
cosp — cos </ = — 2 sin !(/? -f- 7 ) sin 7 (/? — rj) (27 ) : donc
I ^ /sin I ( b
tang-A = 1/ . ''
— c -h a) sin Y {à — c — a) -\- b -^ c)sin\{a — b — c)
En opérant ainsi sur les autres expressions du même n° 53, on parviendra à des résultats semblables. 2^. Prenant, dans le n° 54, l'expression
CCS A 4- cQS B cos C siQ B sin C
on en déduit
cos(B-l-C)-f-cosA
1 — cos a = —
1 4- cosû =
sin B sin C
cos A -+- cos (B — C) sin B sin C
d'où
I ^ cos (B H-C) -f- cos A
'^"g 2 ^ "" """ cos(B — C) H- cos A '
mais
cosp 4- cos 7 = 2coS7(/^ H- 7) coSj{p—'q) (27) : donc
__ cos-^(B-t-CH- Ajcos-j-(B + C — A) .
formule que le signe — du numérateur ne rend pas imaginaire, parce que l'arc j (A H- B 4- C) , surpassant le quadrant, a un cosinus négatif (*).
(*) Euler, pour donner plus d'uniformité à ses résultats, emploie toujours les tangentes des arcs à déterminer; mais on peut, dans ce qui précède, arriver un peu plus simplement au sinus.
lO. On a
I — cos A = 2 sin ' A* ( 27 ), ot par la formule
cos^; — ros // = — .> sin { {p H- 7) siu^(/; — y).
74 TUAITÉ KLKMKNTAïaE
3*^. Les expressions dn n** 53 donnent aussi
cos a — cos b cos c = sin è sin c ces A ,
CCS h — cos a cos c = sin a sin c cos B ;
et divisant la première de ces équations par la seconde ; en observant que , d'après les équations ( A) , on a
sin b sin B
sm a sm A
on trouve
cos ( & — c) — cos az=z — asinKô — c-ha)sin{(& — c— a), ou , en changeant le signe de l'arc \{b — c — a) et de son sinus,
C08(ô — c) — cosa = 3sin-j(rt-i-fc — c)sin \{a'\'C — i);
mettant ces valeurs dans celle de i — cos A, et prenant la racine carrée de chaque membre , il vient
.:„ 1 A — 4/ sini(fl-H& — c)sini(flH-c — fc) ▼ sin 6 sm c
3°. Si Von observe de même que
I — cos û = 2 sin Y a*,
pt que l'expression de cos ;; -f- cos q donne
cos (B4-C) -h cos A = 2 cos|(B-i- C -+- A) cos|(B -h C — A) , on trouvera
sin^fl= Y '
— cosj(A-+-B-hC)cob1(B + C~A) sin B sin G
En divisant l'expression de sin ^ A par celle de tang { A , observant que
8in|(ô — c — a) = — sin j(a4-c — ô),
sin j(a — h — c)=: — sin j ( ^ -H c — a ) ,
et réduisant, on obtient
jA=y/±iii^
cosi-A= V ^ ' i ' '
sm b sm c
formule qui peut être utile quand l'angle A est très-près de deux droits, parce qu'alors | A approchant de l'angle droit, son sinus varie peu. ÇyojreM la note B.)
En traitant de même les expressions de sin ^a et de tang ^ a, on trouvera
ia = y/^^
,i(A-t-B — C)sinA(A + C — B) sm nsm (.
on trouvera
cos a — cos b cos c sin B cos A Gos b — COS a cos c sin A cos B
Si Ton ajoute ensuite Tunité aux deux membres de cette dernière , elle deviendra
cos a — cos b cos c sin B cos A
cos — cos a cos c sin A cos B
et on la changera facilement en
(cosa + cos^) (i — cosc) sin (A 4- B)
cos b — cos a cos c sin A cos B
par la réduction des termes de chaque membre au même dénominateur.
En retranchant Tunité au lieu de Tajouter, on aura
cos a — cos b cos c sin B cos A
cos b — cos a cos c sin A cos B '
d'où l'on tirera
(cos a — cos 6) (i -f-cosc) sin(B — A) cos b — cos a cos c sin A cos B
Divisant ce résultat par le précédent , il viendra
cos« — cos b I -f- cos c sin (B — A) cos a + cos b I — cos c sin ( B + A ) '
et comme, d'après le tableau de la page 33 ,
cos a — cos b I / f . \ * ' / f V = tang -(^-f-fljtang- (6 — «),
COSfl + COS^ '^ 2 ^ ' ®2^ "
1 -h cos c I ., . . , , =: cot - c% sin p = 2 sin ^ » cos ^ p ,
