COSC

on trouvera

I tang 1(0 — a) tang y (ô + n) cot-^r' __ sin|(B — A)cosHB — A) ~"sin-;-(B + A)cosi(B-h/

76 TRAITÉ ÉLÉMKINTAIRE

Mais en ajoulanl et en retranchant successivement Tuiii lé

, 1 j , j 1» / . sin 6 sin B

a chacun des membres de 1 équation -: — = -; — -9 puis

^ sin a sin A *

divisant les deux résultats l'un par l'autre, on parvient à

Téquation

sin b — sin « sin B — sin A

sin 6 -h sin « sin B -t- sin A

qui peut être transformée ainsi :

I,, , 1,, , sin|(B — A)cos7(B-h A)

^■•'"gi(^-")'^"^i(^ + '^)= sinX(B + A)cos;(B-Aj '

par les formules du tableau de la page 33. Multipliant alors entre elles , membre à membre , cette équation et l'équation (a) , en observant que

tang-^(è + âr)cot|(^> -+-«)= i (9),

on (obtiendra

r » /L \'V I , [sinHB — A)p

[tang-(^-.«)J cot-c-^ ^^.^j|3^^;j^ ,

extrayant la racine de chaque membre, il viendra

I , , , I sin KB — A)

tang-(6 — a)cot-c = -^ — 7-7- -;,

°2^ ^2 sin4-(B-hA)

et divisant l'équation [a) par cette dernière, ou aura

I , ,x I cos|(B — A)

tanc -{« -h 0) cot-c = *-y- —'.

^2^ ' 2 cos|(B-hA)

En se rappelant que = tang p (9) , on déduira

-des deux équations ci-dessus les expressions

I ,, . , I sin|(B — A)

tang-(6-a)=:tang-.^j^^^3-p^j,

i ,, , 1 cos-j(B — A)

tang-(c> + «) = tang-c }-^ (,

^^2^ ^ ^2 cos4(B + A)

qui feront connaître deux côtés d'un triangle sphérique,

nt TRIGONOMIiTKIF.

dont on aura le troisième c\»tê et les Vieux an;:Io> t^iitix' lesquels il est compris . puisqueit ilôsigiunt par /' of .> les YaleuTS des arcs /> -t- « et h — «î , il ou rt^suho

4®. En prenant encore, dans le n*^ 51, les (H]uanous

ces A -4- ces B ces C = sin B sin oos a , cos B -+- ces A ces C = sin A sin C ces h ,

et divisant la première par la seconde, ou tix>u\ora

cos A -f- cos B cos C sin B cos n sin h oos n

cos H H- cos A cos C sin A cos b sin a oos h

Ajoutant et retranchant successivement Tunité à clincuii des membres de celle-ci, puis divisant les résultais Tuii par l'autre, on en conclura comme ci -dessus ,

cos A — cos B 1 — cos C sin (h — n) COS A -h cos B I -f- cos C sin (h ~\- a)

itang |(B — A) tang { (B 4- A ^ lang ^ iV ~ sin f (ô -h û) COS 7 ( />» + r/ j ' et comme l'équation

sin b — sin « sin B — sin A

sin b + sin « sin B -f- sin A

employée dans la transformation pnWîdentr! , peut H'érrinainsi :

tang-(B— A col-^B + A — . ^\ \ t^^.U.,

en multipliant et divisant par cette dernière IVff|M;j tion (6), on trouve enfin

1 , , I ,. sili , ^ /y -- ■ n , tang- -B — A, = rot - C . ,, ' -.

2 ' S! Sin , b ^ /J

Une- B — A .= <ot ^> - ' ,

78 TRAITÉ ÉLÉMEISTAIRE

formules qui remplaceront les précédentes, lorsqu'on connaîtra deux côtés et l'angle qu'ils comprennent.

60. En prenant toutes les variations dont les formules trouvées-ci dessus sont susceptibles , on aura

^2 y sin4-(«-t-c — fl)sin|(rt

**'^2 y sini.(«+c-^)sin|(«

tang

— b)s\ïi\[b -{- c — a)

c) sin \[a-\- b-{-c)

— cos|(B+C--Ajcosj(A-|-B4-C) cos|(A-hB— C)cos|(A-|-C— B)

tan^ifc- i / ~cosi(A+C~B)cosi(A+B+C) ^2 V cos|(B-hC— A)cosj(A-hB— C)

b — a I sin-^fB — A)

^^"g--^=^^^"g2 %iu|(B + A) -

tang

1 cosy(B — A)

— ^»g ~ ^ cosl(B-l-A)'

tang

c—b I sini(C — B)

tang = tang - a , , /^ . p '

2 ° 2 sm|(C-hB)

b I cosIfC — B)

— = tanc - a , ;^ —r ?

^2 cos|(C + B)

I , sin i: ( A — C )

= tang - ù -, — f-7-7 TT^ 9

^2 sm|(A + C)

(*) Pour tirer ces formules de leurs analo£[ucs du numéro précédent , il faut observer que

a /3 — y = a — ( ;3 -f- •/) , et que

8iii(;; — y)r= — sin(<7— /^), cos(/>- r/) = c<.s(7 — /?).

uiu:

tane

tang

TRIOO.NOMKrRU:.

1 , 1 os - A — iV = tanc - -

2 Ci>i-^ A

1 , sin -r r — M .

= cot -L , : ■ ^^,

I , COS-. h — «r

= cot - c =-r r .

1 cos T .^ -ho