cos 4 ( c — i*) = cot - A ^-i
= rot -B-v— r^ x'
2 siny^<i-t-c)
= cot - B ^ • .
2 COSy(fl -{-r]
Des douze dernières formules on déduit les suivantes , qui servent à trouver le troisième angle ou le troisième côté d'un triangle dans lequel on connaît deux ciNtés (*t les angles opposés :
I I tang - c = tang -
^* "^sin^B-A)'
tang - c = tang - i
tang - a = tang -
sini(C4-B) ^ ^ini(C-H)'
tang - « = tang -
2 Jrt
^ ^ \:osi.(C-IJ)
tang - = tang -
. . sin4.(A-t-C)
tang - h •= tang -
cot - c tang -
sin V A ' // ,
8o TRAITÉ ÉLÉMKlNTAIUK
cot - C = tan^' - B -4- A) '■}-. ,
cot - A =: tang- C - B) -^f- ^ ■ ^ cot - A =: tang - C + B ; ,S
2 ° 2 ^ ^ COSy (c — é»)
cot - B ~ tang - ( A — C) -r-ri ■ ,
2 2 ^ ' sin}(a — c)
2 ^ 2 ^ ' COS y ( a — C ) ^ '
Si l'on joint à ces équations , celles qui sont désignées par (A) (47) , et qui serviront dans le cas où l'on connaîtra deux côtés et l'un des angles opposés à ces côtés , ou bien deux angles et l'un des côtés opposés à ces angles , on aura tout ce qu'il faut pour résoudre un triangle sphérique : ce qui précède peut donc être regardé comme formant un Traité complet de Trigonométrie sphérique. En combinant entre elles les diverses formules obtenues successivement, on en pourrait déduire beaucoup d'autres d'un usage très-fréquent dans les calculs astronomiques : on doit, dans ce genre, à Delambre des résultats très-élégants et très-nombreux, et des applications importantes des méthodes approximatives, ou des séries, aux cas qui en sont susceptibles.
Récapitulation des formules nécessaires pour résoudre un triangle sphérique quelconque.
61 . En négligeant les variations que peut présenter un même cas, on n'a que les six suivants :
(*) Ces formules elles précédentes sont connues sous le nom d'analogies de Néper, parce qu'elles se déduisent des règles données par ce géomètre pour résoudre les triangles sphériques. {Logarithnwrum canonis descriplio.)
DE TRIGONOMÉTRIE. 8l
i*^. Connaissant les trois côtés (a , b, c), trouver un des angles (A).
tang 1 A = 1 /si°i(^ + ^--c)sini(^-l-c-^r ) ^ ^2 V sini(/>-4-c — «)sin|(« + ^-f-^)
a^. Connaissant les trois angles (A, B, C), trouv^er un des côtés (a).
laiîfi - « = i / ~cos|(B-+-C-A)cosi(A + B-f C) , ^2 V cos^(A-t-B — C)cos|(A-4-C — B) ^ '
3**. Connaissant deux côtés (b, c) ef V angle compris ( A ) 5 troui^er les autres angles ( B , C ) .
tang- B-i-C = J4i ■ cot- A,
I /« x^x sin M6 — c) I tang - (B — C) = . ]). cot - A.
Pour trouver ensuite le troisième côté (a), voyez la formule du sixième cas.
4^. Connaissant deux angles (B, C) et le côté compris (a) , trouver les autres côtés (b, c).
I,, , cos|(B — C) I
tang - ( 6 -h c) = . ' ' ' ■ tang - a ,
^2^ ^ cosj(B-f-C) P2 '
I ,, . sin|(B — C) I ^
tang-(^-0=-|jB:pc)^^"S5^-
(*) Au lieu de cette formule et de la précédente, on emploie souvent celles-ci :
. 1 ^ . /sin • (fl-l-ô-— c)sin|(a-hc— fc)
sin - A ^ V : — t—. >
2 ▼ sin h sm c
. I . /— cosi(A-+-B-+-C)cosi(B-+-C — A)
sin - rt = 1/ . — ^^—. — ,-. >
2 T sin B sin C
obtenues dans la note de la page 7H , et qui sont analogues à celle dont on fait usage pour le cas semblable de la Trigonométrie rectiligne (08). La même note contient aussi les valeurs de cos ^ A et de cos | a.
TRIGONOMÉTRIE, lO® édit. 6
8a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Pour tromper ensuite le troisième angle, voyez la formule du cinquième cas.
5*^. Connaissant deux côtés (a, c) et un angle opposé (C), trouv^er Vautre angle opposé (A).
sin a sin C
sin A =
sin €
6^, Connaissant deux angles (A,C) e^ un côté opposé (c) , trouver l' autre côté opposé (a).
sin c sin A
sin (i =z
sin C
Pour troui^er ensuite^ dans ces deux derniers cas^ l'angle (B) et le côté (b) compris Vun entre les côtés ^ Vautre entre les angles donnés ou calculés, on changera , dans les formules du troisième et du quatrièmiî cas , ft en a , B en A , et réciproquement \ il viendra
' / . ^\ COS-r fû — c) I ^
tang- A4-C)~ ^4 (cot-B,
1 , , cos|(A--C) I ,
tani^ -ia -i- r ) = f^- --f tang - by
^2^ ^ cos|(A-hC) ^^2 '
d'où Ton tirera les valeurs de cot ^ B et de tang^ b , qui sont maintenant les inconnues.
Au moyen de cette récapitulation et de celle qui se trouve sur la page 7 1 , rien n'est plus aisé que de résoudre un triangle sphérique quelconque, en appliquant , d'après les énoncés ci-dessus , les lettres A, B , C, a, i, c, aux angles et aux côtés donnés et cherchés. Le calcul arithmétique s'effectue par l'addition et la soustraction des logarithmes, de la manière indiquée dans les exemples rapportés au n° 39 5 seulement on n'y emploie que la Table des logarithmes des lignes trigonométriques, puisqu'il ne s'agit que d'arcs de cercle. .
Lorsque, dans 1rs quatre premiers ras, les circon-
IIE miOOSOMÉTRIE. 83
stances de Im question laisseront douter si les arcs ou les iD^es diercbés sont plus grands ou moindres qu*un quadrant oa qa^nn angle droit , on lèvera la difficulté en recourant aux expressions des cosinus « des tangentes ou des ootangentes des inconnues (57). Mais y dans les deux der* niai cas, il peut arriver que la question proposée soit sueepdble de deux solutions , et Ton s*en assurera aisément en étudiant la manière de construire un angle trièdre lorsque l'on connaît deux de ses faces et l'inclinaison de Tune déciles sur la troisième , ou bien lorsque Ton connaît les inclinaisons de deux faces sur la troisième, et Fangle des arêtes qui déterminent Tune des premières. Je ne saurais entrer ici dans ces détails {*) ; mais en voici dn moins les résultats.
i^. Le triangle sphérique ne peut exister que d'une seule manière avec les données a , c et C ,
lorsque G =r i7,
C<if, «<^^ ^>«»
C<i^ rt>i^ c>2»— «,
C>I^ «<i^ r<îif — /T,
et il est susceptible de deux formes ,
lorsqiteC<i^ fl<i^ ^<«>
C<ou>i^ rt=i^.
a**. Avec les données A, C et c, il ne peut avoir
(*) U (kut consulter le Développement nouveau de la partie élémentaire ^Mathématiques de Bertrand, t. II; Trigonométrie, section V, ou ses Été- •"«ito de Géométrie. 3« partie.
qu'uîifi forme ,
lorsque c= i?,
C>IÏ,
A>iï, C>2î— A,
et il eu a deux quand
A>iv, C>A,
r>lî,
A<iS C<A,
