CHAPITRE
le rap|^ic»ti*B de l*JiJlsèbre à la CSMUtétrle.
63. L^application de T Algèbre à la Géométrie a d^abord pour but de faire servir les opérations algébriques à combiner ensemble plusieurs théorèmes de Géométrie pour en déduire des conséquences . CVst ainsi que, dans les deux chapitres précédents , je suis parvenu aux principales formules de la Trigonométrie rectiligne et de la Trigonométrie sphérique. Un théorème qui établit une relation entre plusieurs lignes dune grandeur définie, peut toujours s'exprimer par une équation ; et toutes les transformations qu'on opère sur cette équation, étant traduites en langage ordinaire, donnent des ^OODcés qui sont des conséquences du théorème duquel ^ti est parti; mais ce point de vue n'oHrc qu^une trèspetite partie de ce que doit embrasser l'application de l'Algèbre à la Géométrie. Cette branche des Mathématiques, <^onsidérée en général , ne se borne pas à la recherche des propriétés de l'étendue par le moyen des procédés algé- *>riques; on y voit encore comment on peut représenter t>ar ces propriétés tout ce que signifie une expression al- S^rique quelconque , ramener sans cesse la construc- 1 ion des figures aux opérations du calcul, et revenir de Celles-ci à la première : c'est ce que montreront successivement les diverses questions traitées dans ce chapitre.
L'écriture algébrique, si utile pour exprimer les conditions des problèmes qui regardent les nombres, n'est pas moins commode pour ceux qui ont rapport h la i iéométrie. Ces derniers peuvent se mettre en équation comme les premiers, dès qu'on est parvenu à trouver ^'ans leur énoncé la relation des inconnues et des don-
nées ; mais il faut pour cela appeler à son secours quelques-unes des propriétés de Tespèce de grandeur que l'on considère.
64. Par exemple, puisqu'un triangle est déterminé par la connaissance de ses trois cotés , son aire doit l'être aussi par ce moyen , et Ton peut se proposer cette question :
Connaissant les trois côtés d*un triangle , tromper V expression de son aire.
L'aire d'un triangle étant égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur, on voit d'abord que la question se réduit à déterminer la hauteur ; et en abaissant dans le triangle ABC (fig- i4) ^^^ perpendiculaire sur le côté AC , pris pour base , on forme deux triangles rectangles qui fournissent des relations entre les côtés AB, BC, la perpendiculaire BD et les s^ments AD et DC , faits par cette perpendiculaire.
En effet, si l'on désigne par c, r', c", les côtés AB, BC , AC du triangle , par t le segment AD et par u la perpendiculaire BD , les triangles rectangles ABD , BDC donneront
ÂB = ÊDH- Âd', BC ~ BdV DC ;
on observera , en outre , que , dans le premier triangle de
la figure ,
DC = AC — AD = c" — r,
et , dans le second ,
DC = AD — AC = ^ — c" .
En mettant, au lieu des lignes, les lettres qui les représentent, et faisant attention que (c" — r)*=(e — c'')', on formera , pour Tun et l'autre triangle , les équations
qui , ne renfermant que deux inconnues / et // , en déterminent les valeurs.
Ik wvBMÀe <t?&iâkM . M <;m 0(1 Ia r>!^
foin
et. leqaaligB r* = ■* — H «knout
de
par U soksdtntion de U \ilour Je r « ^tlio
pour l'expression de la hauteur BD, au moyen de$ Iix^în c^ du triangle ABC.
U ne reste plus qu'à la multiplier par la moitié de la l^se AC, ou yc", pour obtenir Taire du triangle pn>iHW, ^ï Ton aura
^^ mettant pour u la valeur tix>uvée ci-ilessus.
X^elle est l'expression de Taire d'un triangle jwr se> ^'^is côtés. Lorsqu'on développe la quantité sounùso au ''^^îcal , on trouve , après les réductions ,
v^) Je ferai remarquer que celle équalion, mise sous la l'orme
*iente, par rapport au rôté r' ou }\C, le ihéon^uie du u" 7{\ »les /C/fmom éomvirif.
90 TRAITÉ ÉLKMKNTAIKE
résultat symétrique par rapport à chacun des côtés Cy c\ c"] ce qui devait être , puisque si Ton change ces côtés les uns dans les autres , Taire du triangle proposé reste toujours la même. Mais on peut construire une formule beaucoup plus commode pour le calcul numérique , en observant que la quantité
étant la dillerence de deux carrés , se décompose dans les facteurs
2 ce'' + C' -f- C-"» — C'% 2 ce" — C' — C"^ -+- C'%
qui reviennent à
et se décomposent eux-mêmes dans les quatre suivants :
c -4- c' -+- c", c -h c" — c', c -f- c' — c", c' H- c" — c : on a , par ce moyen ,
Maintenant , si Ton fait attention que
et que Ton pose
on trouvera , enfin , que l'aire du triangle ABC est exprimée par
Xv/?,/.2(/-c).2(/-c').2(/-c"),
et se réduit à
formule aussi remarquable par Tulilité dont elle peut être
pov éralner Taire d*une tigure plane quelconque, que par M» avance : elle montre que Y aire d'un ttiangle est cxpnÊÊtêe par la racine carrée du produit de la denàsommedes trois côtés , multipliée par les différences entre cette dcBÛi s amme et chacun des côtés,
65. Le procédé indiqué dans les nP^ 234 et 268, dos Siments de Géométrie y pour trouver la hauteur euel dère d'une pyramide ou d*un cône tronqués par un plan parallèle à leur base , étant réduit en formule , conduit à Que expression remarquable du volume de ce corps.
Si l'on désigne par aelb les deux côtés homologues des Irises d*un tronc de pyramide, ou les rayons de celles i^vai tronc de cône , par g la hauteur de ce tronc , par A la hauteur de la pyramide ou du cône entier, on aura la proportion
a^ b:a :: ^ : /i^ d'où h = ' ^
La hauteur de la portion retranchée étant h — g^ sera exprimée par
M "fi
Cela posé, les bases du tronc étant semblables, seront ^tre elles comme les carrés de leurs lignes homologues, ^ sorte que , nommant S la base inférieure et s la base 'ïipérîeure, on aura
S:s::a':b\ ou s:a'::s:bK
lignant ensuite par m le rapport des grandeurs S et a*^ il viendra
'^wes volumes du corps entier ei du coi'ps retranché seront exprimés respccti\ émeut par
en mettant au lieu de S, 5, li et h — g^ les valeurs trouvées ci-dessus. Retranchant enGn la seconde expression de la première , on aura , pour le volume du tronc ,
Or, ma' et mb^ étant déjà les bases inférieure et supérieure du tronc, on fera ab = 0*^ aGn que le terme niab = me' exprime Taire d'une figure semblable a ces bases ; et conune
c = ^ôï, le côté , ou le rayon de cette figure , sera une moyenne proportionnelle entre les lignes aet b.
Il suit donc du résultat précédent, que le volume d'un tronc de pyramide ou de cône est égal au tiers de sa hauteur, multiplié par la somme des aires de ses deux bases et d^une figure semblable, construite sur un coté ou sur un rayon moyen proportionnel entre ceux de ces bases;
et comme mab = ^ma* . mb^^ on voit que Faire de cette figure est moyenne proportionnelle entre celle des bases. Si Ton élève sur ces trois figures des pyramides ou des cônes de même hauteur que le tronc proposé , la sonune de leurs volumes sera équivalente à celui de ce tronc.
66. Dans les questions précédentes , on avait en vue un résultat numérique^ quelquefois on cherche des lignes.
Qu'on se propose, par exemple, d'inscrire un carré DEGF dans un triangle ABC [fig- 24), il faudra supposer la question résolue, et chercher ensuite entre les lignes données immédiatement par le triangle et le côté du carré, une relation qui puisse s'exprimer algébriquement.
Pour cela, on abaissera la perpendiculaire BH, que I on regardera comme connue, puisqu'on sait la mener ^ et comparant les triangles semblables BAC et BDE, BAH vx BDI , on formera les proportions
AB : BD :: ac : de, AB : BD :: bh : bi,
1>E TRIGONOMÉTHIK. 9^
qui conduisent à
AC: DE :: Bff : Bi.
Cette dernière donne une relation entre les lignes connues AC, BH et les ligues inconnues BI, DE 5 mais BI dépend de DE , car BI = BH — IH , et , par la définition du carré, IH = DE: désignant donc par a et i les données AC et BH , et par x Tinconnue IH ou DE, on aura
d'où
hx ■=. ah — ax.
De celte équation du premier degré, on conclut
ah
Lorsque les droites a et h sont rapportées a luie commune mesure, ou exprimées en nombres, la formule cidessus donue , par des opérations arithmétiques, le nombre qui exprime la longueur de la droite IH5 prenant et» nombre sur la droite BH, on aura le point I, par lequel il faudra mener la droite DE.
Il n'est pas nécessaire, pour déterminer le point I, do
recourir aux nombres, parce que les opérations indiquées
dans l'expression de x peuvent s'ellectuer sur les ligues.
On voit en effet que cette inconnue est le quatrième termes
de la proportion
et que par conséquent tout se réduit à trouver une quatrième proportionnelle aux trois lignes
a -^ h, a et h.
On regarde en général comme élégant de lier avec la figure qui contient les données du problème, les opéralions qu'il faut effectuer pour en obtenir la solution ; on peut en conséquence, dans la question présente, emplover Vangle droit CHB à la détermination de la quatrième
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proportionnelle à trouver. On portera donc sur HC prolongée ,
