I». HL = « = AC, 2". LK = 6 = BH

tirant BK , puis menant IL parallèlement à BK , le point I, pour lequel on aura

HK I HL • l BH I IH >

appartiendra au côté DE du carré DEGF.

67. On peut atteindre de la même manière à des questions d'un degré supérieur au premier.

On sait que diviser une ligne en moyenne et extrême raison , c'est la partager de manière que Fun des segments soit moyen proportionnel entre la ligne entière et l'autre segment -, pour résoudre algébriquement ce problème , on désignera la ligne entière par a , le segment inconnu par X ; Tautre segment sera a — x^ et Ton aura

d'où Ton conclura

fl' — ajc = x'^

en résolvant cette équation, on en tirera

Les opérations indiquées dans cette solution peuvent s'effectuer sur les lignes, au moyen du triangle rectangle; car, a^ -h \a^ étant la somme des carrés des lignes a et |a,

le radical v^a* -f- 7 «* est l'hypoténuse AC [fig* îiS ) du triangle rectangle construit sur les côtés AB = a , BC = -ja. Il ne s'agit, pour obtenir les deux valeurs de x^ que de combiner, par soustraction et par addition, la ligne AC avec la ligne BC = j a , ce qui s'effectuera en portant BC de C en D sur AC , et de C en D' sur son prolongement ; car on aura

AD = AC — CD— V^'-^-T"' — 7«> d'où a:=:AD, AD' = AC 4- CD = sla-" -|- | a' -f- J- /7 , d'où a: = — AD'.

DE TRIGONOMÉTRIE. yS

la droite AD rapportée en E , sur AB , par un aix de cercle, est la solution donnée dans le n" 132 des Éléments ^fe Géométrie^ et en mettant Téquation

a^ — ax = x'^

soxis la forme

«* = fia? -+- :p% *^^^ en tire la proportion

*ï^i revient à

AD' : AB :: ab : ad,

I^Xaisque

AD' = AD -h 2BC = AD -4- AB.

Il suit de là que la ligne AIV est aussi partagée en

■^^oyenne et extrême raison au point D, et que le plus

^Tand segment DD' est égal à la ligne donnée AB. On verra

X^lus loin (77) l'énoncé auquel répondent en même temps

les deux valeurs de a: , et ce que signifie le signe — qui

aflfecte la seconde.

Les exemples précédents suffisent pour montrer que la résolution algébrique des problèmes déterminés de Géométrie présente des circonstances analogues à celle des problèmes relatifs aux nombres. Il faut d'abord mettre la question en équation , et tirer l'expression de l'inconnue ; mais, au lieu d'employer le calcul arithmétique pour évaluer cette expression , il faut eflFectuer sur les lignes connues , des opérations graphiques correspondantes à celles qui sont indiquées par les signes algébriques. Dans la question du n° 66 , dont l'équation n'était que du premier degré, c'est par les lignes proportionnelles qu'on a déterminé l'inconnue, et pour la question ci-dessus, dont Féquation montait au second degré, on a eu recours à la propriété du triangle rectangle. Ces déterminations sont ce qu'on appelle la construction des valeurs de l'inconnue :

96 TRAITÉ ÉLÉMKNTAIRK

et je vais en exposer les prineipes, qui sont communs à toutes les questions de ces deux degrés.

68. C'est une remarque générale, et qu'on aura souvent occasion de vérifier, que lorsqu'il n'entre que des lignes dans l'énoncé d'une question où la quantité cherchée est elle-même une ligne, l'expression de celle-ci renferme toujours un facteur de plus dans le numérateur que dans le dénominateur, et chacune de ces quantités est composée de termes homogènes entre eux. L'expression de f , trouvée dans le n*^ 64 , remplit cette condition : les termes de son numérateur ont deux facteurs, et ceux de son dénominateur un seul .

Il suit de là que lorsque l'expression d'une ligne quelconque ne contient point de radicaux, on peut, en représentant par des lignes toutes les quantités qu'elle renferme, obtenir la longueur de la première sans recourir aux nombres , et seulement en cherchant avec la règle et le compas des quatrièmes proportionnelles à des lignes données : pour le prouver, il suffira de l'exemple suivant.

Soit

abc -^ d^ — e'/

gk-hi'

cette expression, dont le numérateur est composé de termes contenant chacun trois facteurs , tandis que les termes du dénominateur n'en ont que deux , appartient , d'après la remarque ci-dessus, à une ligne. Si l'on fait

abc = kd\ c-'f— k'd\

ghz=ik"d, i^=zk"'d,

on aura

on obtiendra donc t en cherchant une quatrième proportionnelle aux trois lignes k" -i-V\ h -\- d — h' et rf,

lorsque les lignes inconnues, représentées par h , A', ^', K"\ seront déterminées. Or les équations posées ci-dessus conduisent à

, abc fib c e^f ef e

"" - d' *-rf'

valeurs qui se forment par les proportions

, .. , û^ , ab abc

d d il' '

d : e ::/: ^, ./: ^:: ^: tf =^ k\

cherchant donc le quatrième terme de chacune , par les lignes proportionnelles, on aura successivement les longueurs des lignes représentées par

ab abc ef é^f gh i' T' "rf^' "d' d^' 'd' d'

qui donneront

/, /', X" et A'%

et avec celles-ci on trouvera t.

On reconnaît sans peine que l'esprit de la méthode dont je viens de faire usage pour construire une expression algébrique, consiste à transformer le numérateur et le dénominateur de cette expression , en produits d'un certain nombre de facteurs simples ou du premier degré , ce qui est toujours possible par les moyens que j'ai employés.

Il y a des cas où la tranformation peut s'effectuer immédiatement, sans qu'il soit besoin d'y introduire des indéterminées : tel est celui de l'expression

ia' — b') a' -f- h'

TRIGONOMETRIE, 1 O" édit. 7

()8 TRAITÉ ÉLÊMENTAIUK

dont le numérateur équivaut à

et dont le dénominateur peut s'écrire ainsi

sja^ + b' X sjo} + b^ ;

il vient alors

ce qui s'obtient par les proportions

si à' -f- b"" sja'' -\- b' SI à" -|- b^

Le radical employé dans ce calcul se construit facilement, car il exprime l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont a et t. ( Voyez ^ à la fin de roi\vrage, la noteD.)

69. Le triangle rectangle et le cercle fournissent les moyens de construire la racine carrée d'une quantité quelconque exprimée en lignes. L'usage du premier est évident , lorsque la quantité comprise sous le radical est la somme ou la différence de deux carrés. En effet , on a , dans ce cas ,

sl~a'' -4- b^ ou sla"" — b^ ;

Tune de ces expressions peut être regardée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont a et £, et l'autre comme l'un des côtés adjacents à l'angle droit, dans un triangle de même nature , dont l'hypoténuse serait a , et le troisième côté b.

On construira, par une suite de ces triangles, l'expression \/a * -j- è * -j- c ' -h <i* -, ayant obtenu d'abord v/a*-H i'i

DE TniGONOMÉTHIE. gg

on représentera celle ligne par a , ce qui donnera

et la quantité proposée deviendra

On construira le radical v'a* -f- c* comme le précédent, et nommant (3 le résultat de cette opération, on aura

il ne restera plus qu'à trouver y/jS* -f-.^*, ce qui se fera en prenant l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés sont j3 et d. Il est facile d'étendre ce procédé au cas où le radical à construire contiendrait un nombre quelconque de carrés.

70. Je passe maintenant à l'emploi du cercle dans l'extraction des racines carrées. On sait que la perpendiculaire élevée sur un diamètre est moyenne proportionnelleentreles deux segments dece diamètre {Géom., 130) :

on obtiendrait donc ^ab en faisant (fig^ 26)

et décrivant un cercle sur la somme AB de ces deux lignes prise pour diamètre ^ la perpendiculaire PM , élevée par le point P, étant moyenne proportionnelle entre AP et BP,

sera ^ab.

On peut encore trouver une moyenne proportionnelle entre deux lignes quelconques a et A , en prenant la plus grande des deux pour le diamètre AB du cercle, et portant l'autre de A en P 5 élevant ensuite l'ordonnée PM, et tirant la corde AM , ce sera la moyenne proportionnelle demandée. (Géom., 131.)

A l'aide de ces méthodes, on construira tous les radicaux du second degré, quelle que soit la quantité qu'ils

lOO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

renferment. Soit, par exemple,

on fera

def

(U'f oc z=. afi ^ — = ah \

l'expression proposée deviendra

y/ «2 -h ak — ak' = si {a -{- k — k')a^

et, pour l'obtenir, il suffira de prendre une moyenne pro- , portionnelle entre les lignes a -f- /r — À' et a : il est d'ailleurs évident que les quantités h et h' se détermineront par les lignes proportionnelles, d'après ce qui a été dit n** 68, puisque les équations dont elles dépendent donnent

k =— k' — — et conduisent, par conséquent, aux proportions

de ^ de def

a a ag

1\ , La quantité que l'on se propose de construire pourrait ne pas être homogène ^ mais cela n'arrivera que lorsqu'on aura fait quelques lignes égales à l'unité, ott que l'on aura représenté un nombre par une lettre, ou une ligne par un nombre , et les méthodes indiquées 01-* dessus ne seront pas arrêtées par cette circonstance ^ pourvu qu'on fasse reparaître, dans tous les termes oùelle devait se trouver, et avec des exposants convenables 9 la ligne prise pour unité.

Si Ton avait \/ ^ -^-Jif ^t que Ton sût, par l'énonce

DE TRIGONOMÉTUIK. lOI

de la question qui aurait conduit à cette expression,

qu'elle doit appartenir à une ligne , on verrait que chacun

des termes compris sous le radical devrait être du second

degré, et que par conséquent, en désignant Tunité par n,.

tictt^ oc

il faudrait écrire an au lieu de a, et —7^- au lieu de —9

ce qui ne change rien à la grandeur absolue de ces quantités , puisque n= i =. n^, et en général w"* = i , quelle que soit m. On aurait de celle manière

bcn"*

qui se construirait facilement.

J'observerai que, d'après ce qui précède, ou pourrait extraire, par une opération graphique, la racine carrée d'un nombre quelconque, en prenant une moyenne proportionnelle entre deux lignes, dont Tune représenterait l'unité, et l'autre aurait avec celle-ci le rapport marqué

par le nombre proposé, y-^ , par exemple , s'obtiendrait en prenant une moyenne proportionnelle entre deux lignes ,

dont une serait les \ de Tanire, puisque v| = v'i X {.

72. Rien n'est plus facile maintenant que de construire l'expression des racines de l'équation x* — ax = ilz 4*, qui comprend toutes celles du second degré. En ellel , en tirant la valeur de x , on a

lorsque 6' a le signe -h ^ il ne s'agit que de construire le

radical y^-J a' -h U^ (69) , et de prendre ensuite la somme et la différence du résultat et de la ligne ^ a, pour obtenir la grandeur de chacune des racines de la proposée. Quand t' a le signe — , on trouve

IOî2 TRxUTÉ ÉLÉMEISTAIRE

la construclion de ce cas ne diffère de celle du précédent, qu'en ce que le radical est exprimé par l'un des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle , au lieu de l'être par l'hypoténuse, et que ce triangle cesse d'exister si ^ a <^i, parce que si l'on prend alors sur l'un des côtés de l'angle droit ABC [fig* 27), une grandeur AB = i , le cercle DE, décrit du point A comme centre, avec un rayon moindre que AB, n'atteint pas l'autre côté BC. Cette circonstance s'accorde avec la théorie des équations du second degré, qui donne des racines imaginaires pour le cas dont il s'agit.

On pourra appliquer ce qui précède à la question suivante : Étant donnée la somme ou la différence de deux côtés contigus d'un rectangle et son aire, construire ce rectangle.

En effet, soient i* l'aire du rectangle demandé, a la somme ou la différence de ses côtés contigus, et x l'un d'eux ; l'autre sera exprimé par a — x dans le premier cas , et par a-\- x dans le second *, l'aire sera (a — x)3C pour le premier cas , et [a-{- x) x pour le second cas , en. sorte qu'on aura ces deux équations :

ax — x^zzz 6% ax -^ x^ zn 6%

lesquelles, étant résolues , donneront des valeurs de x constructibles par la méthode précédente.

73. Il n'est pas nécessaire de résoudre les équations du. second degré pour en trouver graphiquement les racines^ on les obtient immédiatement par les propriétés des lignes droites qui se coupent dans le cercle.

L'équation a:* -h ax = i*, étant mise sous la forme

se rapporte à la propriété des sécantes et des tangentes quipartent d'un même point (Géo/w., 128) 5 car, si l'on décrî *

\Jîg» a8i, *ui un ravon CR = 7 i-. ua itivK^, ijii on lui mène une tansente BA dont h lov^iuui 2kMt .'*. ci «]iic par les points A et C on tiie iin»^ ^ëcanto .\l\ «n nommant I la ligne AD . ou aura t \ iiiommont