AD' = AD — DH — VD ^ 2 CB
et la propriété citée plus haut, donnaut AD X Al> ~ \|>, il en résultera
ce qui est Téquatiou proposée.
Si Ton avait jc* — ax= h', il faudrait faîiv j = AD : il s^ensnivrait cpie
La construction présonlo nVtant sujciio à aucnuo r\ccptîon, montre que tant que />* sera positif dans le second membre, en niêmo temps quo .r* Test dans Ir prt»mier, les racines de léipialioii propo:Hv seront ton jours réeUes.
L'équation
se change en
fix — x-= h\
et peut alors s'écrire ainsi :
Sous cette dernière forme elle se rapporte à la proprit'té 'les cordes qui se coupent dans le cercle^ c^ar, si Ton décrit, sur un diamètre AB = « (.fig- ^9)^ i"* eerele qu'on élève au point A une perpendiculaire A(l - :A, qa on tire ensuite CM parallèle à AH, et cpie par les points M et M', où CM rencontre le cercle, on abaisse* sur AB les perpendiculaires PM et P'M', on aura
APX Bl>=: AP(AB- Al>) -: 1>M ,
Io4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
ou
AP(«--AP) = 6', puis
AP'XBP' = AP'(AB--AP') = P'M' ' ou
AP'(« — AP') = h\
En prenant donc successivement pour x les droites AP et AP', on retombera sur l'équation proposée
ax — x^ z=: b^-y
et, par conséquent, les droites AP et AP', obtenues par les procédés ci-dessus, sont les valeurs de l'inconnue x.
Il est visible que quand AC surpassera le rayon du cercle, ou -ja, la droite CM ne rencontrera plus le cercle et ne fournira, par conséquent, aucune détermination; mais alors les racines de l'équation proposée seront imaginaires.
Les racines de l'équation
x"^ -\- ax = — b^ ne diffèrent de celles de l'équation
x^ — ax =z — ^%
que parce qu'elles sont affectées du signe — ; mais leur grandeur s'obtiendra toujours par la construction que je viens d'indiquer.
74. Dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, le signe — s'interprète, en général, comme à l'égard des nombres , en renversant d'une certaine manière l'énoncé de la question, ou en prenant les lignes qui en sont affectées, dans un sens contraire à celui où on les avaîl supposées d'abord.
Avant d'aller plus loin , je dois rappeler que les quan-
DE TRIGONOMÉTRIE, îo5
tilés négatives tirent leur origine des soustractions qui ne peuvent s'effectuer dans Tordre où elles sont indiquées, parce que la quantité à retrancher se trouve plus grande que celle dont on doit la retrancher. On reconnaît par cette circonstance qu'il y avait erreur dans l'énoncé de la question , ou au moins dans son application au cas particulier que l'on a eu en vue 5 et en redressant cette erreur, c'est-à-dire en modifiant l'énoncé de manière à rendre possible la soustraction qui n'a pu s'exécuter, on parvient à un résultat positif: mais pour certaines questions, pour toutes celles qui mènent à des équations du premier degré par exemple , on n'a pas besoin de prendre cette peine. Le signe du résultat indique lui-même le renversement dont Ténoncé est susceptible ; et les valeurs négatives, employées conformément aux règles établies pour effectuer les opérations sur les quantités affectées du signe — , satisfont aussi bien aux questions que celles qui sont positives : c'est pour cela que l'on a changé la dénomination de racines fausses j que les analystes donnaient autrefois aux racines négatives des équations.
C'est donc aussi par la soustraction que l'on doit expliquer, sur les figures géométriques, les valeurs négatives que l'Algèbre donne à certaines lignes, et pour soustraire une ligne d'une autre, il suffit de porter la première sur la seconde, à partir de l'une des extrémités de celle-ci; mais il y a, sur cette opération graphique, quelques observations à faire, qui tiennent à la manière dont les lignes se décrivent.
Soit d'abord CD [fig» 3o) la ligne à soustraire de AR^ comme la première est moindre que la seconde, en portant cette première de B en c, leur différence Ac sera placée à la droite du point A*, mais si l'on avait à retrancher CD', plus grande que AR, et qu'on portât toujours sur AR, à partir de la morne extrémité R, la ligne
Io6 TIIAITÉ ÉLÉMENTAIKE
à retrancher, la dilTérence des deux droites proposées, serait marquée en Ac', sur le prolongement de AB , et serait placée à gauche du point A, c'est-à-dire du côté opposé au résultat A c de la première opération : c'est à ce changement de situation que répond le signe — .
Il semblerait, au premier coup d'œil, que l'on devrait effectuer la soustraction indiquée sur les lignes CD' et AB, en portant la plus petite sur la plus grande*, car c'est ce que l'on fait sur les nombres, lorsqu'on ôte le plus petit du plus grand 5 mais il faut observer, à l'égard des lignes , qu'elles sont , en général , employées à marquer des distances à un certain point auquel on en rapporte d'autres , et qu'on regarde comme fixe : elles prennent donc leur accroissement par l'extrémité opposée à ce point , et alors la soustraction , qui , par sa nature , est inverse de l'addition, de laquelle résultent, en général, les accroissements, doit s'opérer aussi en sens inverse de celle-ci , et , par conséquent , en allant vers le côté où les lignes diminuent. De là vient que si le point A sur la droite AB est le point fixe dont je parle, la soustraction de CD ou de CD' doit s'opérer à partir du point B. La continuité des lignes et la possibilité de les prolonger indéfiniment dans les deux sens, donne à leur égard le moyen d'opérer, comme on vient de le voir, la soustraction de la même manière, quoique la quantité à soustraire soit devenue la plus grande des deux. Voici un problème fort simple , qui confirmera ce qu'on vient de lire.
75. Mener dans un triangle donné ABC (fig. 3i), parallèlement au côté AC , U7ie ligne DE qui soit égale à une ligne donnée MN.
Les côtés du triangle étant donnés, je ferai AB = «, AC=3^, MNzzrc,
et je prendrai pour încv>nniic;- !i distance AO. {varw que hpodtioii d'une hzne pjLnllolo a une H«mo dvMimv o$i défenninëe par on seul de ses poiuu. Elu pensant
.VD = --, j'anni
BD = j — X,
et les triangles semblables BAC et BDE donneront
AB : AC :: BD : de.
on donc
tf : * : : <î — X : r ;
ab — bx z= rt<-.
ab — ac a b — c
La valeur de x se construit ^08) ou tvlranohaiit do AC = 6, la droite CF = c • puis tirant FI) parallèle à CB; car la similitude des triangles ABC, Al.)l'^ tournit cette proportion ,
AC: AB :: af : ad,
Si la ligne MN devenait plus grande ({ue AC, elle uo pourrait plus trouver place dans rinlérieur du triangl*» ABC \ il faudrait prolonger les côtés AB et BC ; mais alors le point D passerait en D', de Tautre cùlo dn point A , et c'est précisément ce qu'indiquent le calcul ol la construction.
Substituons, en efTct , M'N' > AC à MJN ; la qnanlilô h — c sera négative: mais en faisant la soustraction «1rs lignes, encore à partir du point C , comme il a clé ind'Minô dans le numéro précédent , le point F passera on 1*', «i la ligne F'D', menée par lo point V\ parallôl«*niont à
lo8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
AC, ne pourra rencontrer que le prolongement du côté AB en D'.
76. En général , toutes les fois qu'il s'agit de distances rapportées à un point fixe et comptées sur une môme ligne, ou sur des lignes parallèles, celles qui sont affectées du signe — doivent se prendre dans un sens opposé à celles qui sont affectées du signe H- .
En effet, si Ton cousidère la situation respective de deux points dont les distances à une droite quelconque soient exprimées par a -h b et a — c , il est évident que la dislance mutuelle de ces points est i-f-c, puisque a-\- b — (a — c) =b -h C]et pour les placer de cette manière par rapport à une droite quelconque A' B' (fig- Sa), il faut tirer d'abord , soit d'un côté , soit de l'autre de celte ligne, à une distance A A' = a, une parallèle AB, puis mener ensuite deux autres lignes parallèles à celles-ci , l'une QM, en dehors des premières et à une distance AQ = 6, l'autre Q'M', en dedans et à une distance AQ' == c. Par ce moyen , tous les points , tels que M et M', placés aux rencontres des dernières parallèles et d'une perpendiculaire à la ligne A'B', auront entre eux la distance exigée, et se trouveront dans une situation opposée par rapport à la parallèle intermédiaire AB , de laquelle leurs éloignemeuts respectifs sont marqués par -\- b et — c. Il est facile de voir qu'ils seraient tous deux du même côté de AB , si leurs distances à la ligne A' B' étaient exprimées par a-\-b et a-{- c^ parce qu'alors leur distance mutuelle serait b — c.
C'est ainsi que les sinus , qui sont les distances des extrémités des arcs au diamètre A A' [fig* lo), elles cosinus, qui sont les distances au diamètre BB', changent de signe en passant d'un côté à l'autre de ces diamètres (23). La tangente suit la même loi à Tégard du diamètre A A', et par la mêmr» raison.
Dt TF.IGO.NOMETr.IK. 109
77. Ces considérations ne s'appliquent pas aussi iniinediatement â la sécante, parce que sa dirtvtion cliani^e «n chaque instant : cependant elle uen a pas moins un sis^nc propre à ses diverses situations, et qui se tire do Texpivs-
R' sion sec a = <9), dont le sisne est le mémo une celui
du cosinus ('*).
Les droites AD et AD' [ fig. 25K qui ropivsonient les racines de Téquation du second degré a^ — ax = x* (07), quoique appartenant à des valeurs de signes ditVorents. ne sont pas opposées ; mais s*il s'agissait de les appIii{uor n la solution d'un problème où elles seraient oon sidérées comme des distances à un point fixe, mesurées sur une ligne de direction constante , il faudrait les porter de dillorents côtés de ce point , d'après la règle du n*^ 70.
En effet, le problème du n^ 07, par exemple, peut otro énoncé ainsi :
Trouver sur la droite AB =: a , un point E, tel y que sti distance AE au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance à Vautre extrémité B et la ligne onticrc AB. Les deux valeurs do l'inconnue étant alors AI) et AI)', la dernière qui se trouve alîbclée du signe — doit otro portée en AE', au delà du point A , par rapport au point B. Cette conclusion est facile à vérifier, car la valeur do AI) répondant à — x dans Féquation
vérifie Fécpiation
(•) On peut, ce me semble, donner une explicntion assez na(urell(> il«»h changements de BÎQne de la sécante, en observant (]ue celte lif^nc prend réellement une situation opposée, lorsqu'elle atteint la tan(jcnle par l'cxtrémité opposée à celle où elle y arrivait d'abord. Kn eflet, dans les arcs AM' et AM", pour lesquels l'expression de la sécante est négative, re n'«»si plus le rayon CM qui atteint la tangente NN', mais le rayon opposé.
MO TRAITÉ ÉLÉMENTAIBE
qui résulte du changement de H- x en — X] et celte dernière équation fournit la proportion
qui revient à
AB -h AE' , ou BE' : AE' : : AE' : AB .
Le problème suivant est encore très-propre à faire connaître comment il faut interpréter les diverses solutions qu'offre une même équation.
78. Par un point E (fig. 33) placé comme on voudra à regard de deux droites AB et AC, perpendiculaires entre elles, mener une droite de manière que la partie D'F', interceptée entre les deux premières y soit d'une grandeur donnée m.
Pour connaître la position de la ligne D'F' déjà assujettie à passer par le point donné E, il ne faut qu'en déterminer un autre point, qu'on peut choisir comme on voudra ^ je prendrai pour cela AD', et puisqiie le point E est donné, je supposerai connues les lignes GE et HE, menées de ce point parallèlement aux lignes AB et AC : je ferai , en conséquence ,
GE = fl, HE=:A, AD' = 7.
Cela posé, les triangles semblables EGD' et F'AD donnent
GD': GE :: ad': af';
mais
GD' = AD' — AG = AD' — HE =r — ^; donc
jr — ^ : fl :: /: AF' =
ajr
Le triangle F'AD', étant rectangle en A, fournit l'équation
Xd' -hÂF'=îyF' ,
DE TRIGONOMETUIK. 1 l I
qui, par la snbslîtuiion des valeurs de AlV, A F' et D'F',
devient
fl' V-
et
lors^'elle est développée et ordonnée.
Cette équation monte au quatrième degré , parce que la question proposée a, en général, quatre solutions. On voit en eflet, par l'inspection de la figure, que l'on peut remplir de quatre manières diOërentes les conditions du problème proposé , savoir :
Par les deux lignes D'F' et D"F", menées dans l'angle droit BAC , où se trouve placé le point E ;
Puis par les deux ligues D"'F'" et n""F"", menées dans les angles C AB' et BAC, adjacents à l'angle BAC.
n n'est pas difficile de voir que les solutions de l'angle BAC peuvent devenir impossibles , lorsque la grandeur m est au-dessous d'une certaine limite qui dépend de la position du point E , à l'égard des droites AB et AC , mais que les deux autres solutions seront toujours réelles-, car les lignes F'^'D'" et F ""D"" peuvent passer par le point A , ce qui les rendrait nulles, ou devenir parallèles, l'une à AB, l'autre à AC, et par conséquent inânies.
Il n'est pas moins évident que la question se simplifierait, sans perdre aucune de ses solutions, si Ton prenait le point E à égale distance des droites AC et AB5 car il suffirait alors de connaître une de celles de l'angle BACet une des deux autres , pour les obtenir toutes les quatre.
Si l'on savait mener D'F' par exemple, on en conclurait W F", en prenant AF" = AD', à cause que le point E serait semblableraent placé à l'égard des deux droites ACi et AB \ et Ton déduirait, par la môme raison , D"" F"" de ly^'F"', en prenant AF"" = AD'".
112 TRAITE ÉLÉiMENTAIRE
D'après cette remarque , je ferai GE = HE , ou a = 6, et l'équatiou (i) deviendra
( 2 ) y^ — 2 ay^ -h 2 a}y'^ — /«^ ( j' — 2 «/ 4- a' ) = o.
On ne voit pas encore comment elle peut être résolue plus facilement que la première \ mais la relation observée ci-dessus , entre les diverses solutions , va mettre la chose en évidence.
Les triangles D' AF' et D^'AF^ D'^'AF"' et D''''AF''^ étant égaux, il s'ensuit que les angles D'F'A et D''F''A, iy//pw^ et D^'^'F^'^'A sont compléments l'un de l'autre, et que par conséquent, dès que l'on connaîtra les angles D'F'A, D''' F '''A, on aura les deux autres, et toutes les solutions de la question seront connues. Mais puisqu'on n'a de cette manière que deux solutions à trouver immédiatement, il est avantageux de déterminer l'angle que la droite comprise entre les lignes AB et AC doit faire avec Tune de ces lignes, avec AB par exemple.
En prenant pour inconnue la tangente de cet angle, le triangle D'EG montre que
tang D'F'A = tang D' EG = 2-^ == luA. = -Zlll?.
Si l'on fait ~ = 2 , on aura
et , substituant cette valeur dans l'équation ( a ) , il viendra, après les réductions,
OU
(6) z' -\-2z'-+- ^ ^ Z' --h 2Z 4- I nr 0.
rr Il est maintenant visible que si la quantité z' satisfait
DE TRIGONOMÉTRIF. Ii3
à cette équation, la quantité -, y satîsfora paroilloinont ^^ i .
et, en récrivant ainsi ,
on reconnaît sans peine qu en ajoutant z* à chaque membre, le premier devient un carré parfait ..
«•-haï'-h a»*4- 2s -4- I 4- *-= ^3--4r sH- I .= :
on a donc
{z»-4-s4- iV = ^3'H-s%
d'où
*«-h*-4-!=d:3y/-H-,, ce qui revient à
gs ^ — rru: 34-1=0.
Cette équation doit être considérée comme équivalente a deux équations du second degré , à cause des deux valeurs clont le coefficient de son second terme est susceptible \ et
faisant, pour abréger, y^m* + a* = y* , on en tire succes- «iyement
Si l'on désigne par z' ^ z" les deux racines de la première, et par z^^ z"" celles de la seconde, on aura, en
(*) Cette équation est de celles qu'on nomme réciproques. On trouve ^tnsle Complément des Éléments d'Algèbre la manicro de les abaÎAHer au- ^t qu'il est possible; et, par la transformation indiquée à cet effet, la proposée se réduit sur-le-champ au second degré.
TEIGOHOMiTBIB^ 10® édU. 8
Il4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
vertu du dernier terme égal à l'unité ,
et comme z exprime la tangente d'un angle, prise pour J un rayon égal à i, il s'ensuit que les valeurs z' et z" appartiennent à deux angles compléments l'un de l'autre, ' et qu'il en est de même de z"' et z^"^ (9), conformément i'ce qui a été remarqué page 112.
En résolvant les équations ci-dessus, il vient, parla première ,
par la deuxième,
it — sl{a 4- ny — 4«* i
la la
mais
V'(« — «)'— 4^' = v'(«4-«)(/2 — 3fl),
et puisque n = v w' -i- a* surpasse nécessairement a , otï voit que les deux dernières valeurs de z seront toujours réelles , taudis que les deux premières deviendront imaginaires lorsqu'on aura n <^ 3 a.
Avant de parvenir à ce terme, les mêmes valeurs deviendront égales si w = 3a, c'est-à-dire si y^/w* -h a* = 3a 5 et faisant évanouir le radical , on obtiejit
d'où
i?i'=8«% ou /w = sj^a^ = 7,asfiy
ce qui prouve qu'on ne pourra mener dans l'angle BAC 9
par le point E, aucune droite moindre que 2 a y 2.
La quantité n étant alors V^Sa* H-a' = 3^, les deux premières valeurs de z deviennent égales à i , et les deux
autres sont — 2 ±: y/3. Il suit de là que les deux lignes
DE TRIGONOMÉTRIE^ fl5
D'F' et D'^F^se confondeat, en formant avec AB un angle de o^,5.
Dans le cas général , si Ton fait
il viendra , pour les quatre valeurs de z ,
la 2a
2« 2fl
Connaissant les tangentes z\ z"^ z^"^ z""^ on en conclura les valeurs dey, au moyen de l'équation
y=zaz-^ a (page 112).
Ces valeurs seront respectivement
ATI'— a-'n^p a^n+p
AD = h « = ?
An" — a — n-[-p g-^n-^p
AD""= 'i±l±l ^a= "-"-1.
Elles se construiront aisément 5 car la quantité n est ITiypolénuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont a et m, les lignes p ei q s'obtiennent aussi par les triangles rectangles (69), ou parles moyennes proportionnelles (70) -, et lorsqu'on aura les longueurs des quatre droites ci-dessus, les points D^ D", D'", D'"' seront donnés (*).
(*) Si Ton compare l'analysa que je viens de faire des diverses cir-
Il6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
79. Au lieu de prendre pour inconnue l'angle que doit faire avec AB la droite demandée , on eût pu chercher t déterminer la dislance entre le point donné E et le point K, milieu de la ligne D'F', pour en conclure D'E. En faisant EK = x, et posant, pour abréger,
on aurait eu D'E=:D'K-4-ER=: / + ^, Er= F'R — EK = / — j:,
F'H = VeF'— eh' = v^(/ — j:)' — «S elles triangles semblables D'GE, EHF' aurai en t'donné
D'E : EG :: ef' : f'h,
ce qui revient à
d'où Ton aurait déduit l'équation
« (/ — ^) = (/ -f- ^) v/(/ — ^)' — /iS
qui, par Télévation au carré et le développement, serait devenue
et pouvant la résoudre comme celles du second degré, on en aurait tiré d'abord
07' = /' -h û' ±: \//ï* -h 4 flV% puis
a: = ± V'^ + «'± Va*+4«'/* = ±. y/n-ha^dza sjo^-^l^h
constances de la question ci-dessus, avec celle que Ton trouTe dt** V Algèbre de Bezout ( 3® vol. du Cours à l'usage de la Marine, édition de 1781» p. 334), on verra combien cette dernière est incomplète et fautive; eft* B^indique que les deux solutions représentées par les lignes D'F' et D*?^-
DE ïKIGONOMtTIUE. II7
apressions faciles à construire , d'après ce qu'un a vu dans ]aii<^e9et70.
Cette solution , bien remarquable par son élégance , est tirée de VA.ràhmétique unîi^erselle : Newton Ta donnée pour montrer comment un heureux choix d'inconnues simplifie la solution d'un problème. Celui qu'il a fait, dans la question qui m'occupe , lui a sans doute été suggéré parla considération que la distance EK ne peut avoir que deax grandeurs différentes , Tune relative aux solutions DT', WF ^ et l'autre aux solutions D''T'", D""F"", et que, par conséquent, ses quatre valeui^ doivent, abstraction faite du signe, être égales deux à deux. Je conclurai de li que, pour se déterminer dans le choix de l'inconnue ^ il iaut chercher celle qui , dans les diverses circonstances qae peut offrir la question , subit le moins de changements.
80. Le petit nombre de questions résolues précédemment suffit pour montrer comment TAlgèbre peut (^appliquer à la solution des problèmes. On a dû reconimtre, par ces exemples , que les circonstances relatives à la situation des lignes peuvent toujours être déduites de la considération des triangles, et, moyennant les propriétés de ces figures, s'exprimer algébriquement. L'art de former les triangles dont il s'agit , et qui résultent , soit explicitement, soit implicitement, de^ conditions du problème proposé, ne peut, comme la facilité de mettre en équation les problèmes numériques , s'acquérir que par Fhabitude (*).
Les diverses expressions construites dans ce qui précède
(*) V Arithmétique universelle de Newton contient une collection de problèmes aussi précieuse par Télégance des solutions que par la variété des énoncés; la Géométrie de position, par Carnot, en renferme de trés-intéresitQts, et qui conduisent à des propriétés de retendue fort remarquublos. U lecture de ces ouvrages, de ceux de Thomas Simpson et de VAnal:ne Shmétrùjue de Leslie, sera très-utile aux personnes qui voudront s'exercer ^It résolution des questions.
Il8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
ne se rapportent qu^à des lignes , parce que les problèmes
qui les ont amenées n^ont pour but que des déterminations
de lignes , et c'est ce qui arrive le plus souvent , puisque
la détermination des figures se réduit toujours à celle de
leurs dimensions. Cependant il peut se présenter quelques
cas où l'on cherche immédiatement une aire ou tm v(h
hime^ l'expression à laquelle on parvient doit, si elle est
homogène , avoir, dans le premier cas , à chaque terme de
son numérateur, deux facteurs de plus qu'à ceux de son
dénominateur, et trois dans le second cas.
■o in • ob^c — a^d-^d* ,^.
Par exemple , 1 expression ^ ■ peut desi-
gner une aire , et l'expression ^ TT^ ^^ volume (*).
Construire ces expressions, c'est faire un rectangle dont l'aire soit équivalente à la première, et un parallélipipède rectangle dont le volume soit équivalent à la seconde ^ et pour cela on prépare, par l'artifice analytique du n^68, la première formule, de manière qu'elle se réduise à un produit de deux facteurs, la seconde, de manière qu'elle devienne un produit de trois facteurs.
En effet , si l'on prend
ah'c = mH, a^d = mH\ d* = /w'/'%
la quantité m demeurera arbitraire , les quantités k , A', A'', A'", A'''' se détermineront par les lignes proportionnelles , et l'on aura
mUk — ^' 4- r ) rn(A-^A'-hA")
{*) Dans Texpression fînalc du n^G^, la Icltrc m ne doit point compterr parce qu'elle exprime un rapport et non pas une ligne.
DE TRIGONOMÉTRIE. I ig
résultat qui peut être regardé comme l'aire d'un rectangle dont la base serait m , et dont la hauteur serait la ligne représentée par
jiii
Puisqu'on est maître de prendre à volonté la ligne m , on peut la faire ^ale à l'une des quantités employées dans l'expression à construire, ou bien à l'unité, si l'on en a choisi une. L'exemple ci-dessus se simplifie lorsqu'on prend m = a ^ il vient alors
h-'cz=za}k, d=A'y d'=zaH%
c^ = ak'", d=k"\ et
ah-'c^a^d-^'d^ aHk — d-^-k") alh-^d-^-k")
c'-^ad a{k'"-i-d) ^ {k'"-{-d)
Ce procédé s'applique facilement à la seconde expression proposée,
Eu prenant tout de suite a au lieu de la quantité arbitraire m , on fera
et il viendra
a^-hb* "~ a* + a^ k" a^fa^k — k') a (û -f- A — k')
La dernière formule peut être évidemment prise pour le volume du parallélipipède rectangle dont la base est le carré construit sur la ligne a^ et dont la hauteur est la ligne représentée par
i^O TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
81. L* Algèbre sert non-seulemenl à trouver la grandeur des lignes et des parties de l'étendue , comparées les unes aux autres, mais elle fournit encore le moyen de déterminer les figures qu'affectent ces lignes , et en général les formes de l'espace. Descartes, en remarquant le premier que puisque ces figures et ces formes établissent , entre des droites, des relations de grandeur, elles peuvent être exprimées par des équations , est parvenu à appliquer l'Algèbre à la théorie des lignes en général 5 et, par celte découverte, les mathématiques ont entièrement changé de face.
Si l'on conçoit, par exemple, que de tous les points d'une ligne quelconque DE (fig» 34)} on ait abaissé des perpendiculaires PM, P'M', P''M'', etc., sur une ligne droite AB , donnée de position , et qu'à partir d'un point A pris à volonté sur celte ligne, on ait mesuré les distances AP, AP', AP'', etc., chacune de ces distances et la perpendiculaire qui lui correspond seront liées entre elles de manière que l'une se conclura nécessairement de l'autre. En effet , quand la grandeur de AP sera fixée , la rencontre de la courbe DE avec la perpendiculaire élevée par le point P, sur la ligne AB , donnera la grandeur de PM; et quand on aura cette grandeur, que je supposerai représentée par ab , on obtiendra AP en prenant sur AC , perpendiculaire à AB , une partie AQ = ab^ et en menant ensuite, parallèlement à AB, la droite QM qui rencontrera la ligne DE dans un point M , pour lequel on aura nécessairement PM = ab.
Rien n'empêche d'imaginer que les lignes AP, PM soient rapportées à une ligne commune prise pour unité, et que , sous ce point de vue, elles soient représentées par des nombres ou par des lettres. Si la relation qui est entre AP et PM, entre AP' et P'M', etc., peut être exprimée par une équation algébrique, cette équation caractérisera la ligne DE, et en fera connaître successivement tous les
DE TRIGONOMÉTRIE. li|il
points^ c'est ce qu'on va voir sur deux exemples trèàsimples.
82. Je prends, pour le premier, la droite AE (fig* 35), menée par le point A ; toutes les perpendiculaires PM , P'M', P'^M'^, etc., abaissées de chacun de ses points sur la ligne AB, détermineront une suite de triangles APM, AP'M', AP'^M'', etc., tous semblables entre eux, et qui donneront
AP : PM :: ap' : p'm' :: ap'^ : p'm" :: . . .,
ou , ce qui revient au même ,
