PM FM^P^ AP "" AF "* AP

La relation de toutes les distances AP aux perpendiculaires PM est ici bien facile à saisir 5 elle consiste dans le rapport constant de chacune des premières avec celle des secondes qui lui correspond , et si Ton désigne ce rapport par a , on aura

PM = a X AP, P'M' = rt X AP', P"M" = « X AP'^

Toutes ces équations, tjui semblent particulières à chaque point de la droite AE, peuvent être comprises dans une seule, en désignant la distance du pied de la perpendiculaire au point A , quelle qu'elle soit, par x , et la perpendiculaire elle-même par y^ car on aura alors y = ax. Cette équation , qui renferme deux inconnues , X ^y^ne peut donner la valeur que d'une seule , et cela après que l'on a fixé arbitrairement la valeur de l'autre : lorsqu'on assigne à x une valeur quelconque AP,y prend la valeur correspondante PM. Si l'on a, par exemple, a = 7, on trouve PM = j AP, c'est-à-dire qu'en prenant PM égale à la moitié de AP, le point M est sur la droite AE, et non ailleurs.

La ligne AE ne se termine pas brusquement au point

A 5 on doit 5 pour embrasser toule son étendue, la concevoir prolongée en AE', au-dessous de la ligne AB, et à gauche de la ligne AC. Cette dernière partie est comprise aussi dans l'équation y= ax] car on peut donner à x, dans cette équation, des valeurs négatives, et ces valeurs , exprimant les distances à la ligne AG, doivent être prises du côté opposé à celui où Ton a porté les valeurs positives (76) : elles donneront donc des points tels quep, placés en arrière du point A. Mais les valeurs correspondantes de y^ étant aussi négatives , doivent être prises du côté opposé à celui où l'on a porté les valeurs positives, c'est-à-dire au-dessous de AB, comme pm •, et il est visible, d'ailleurs , que , si Ap est prisé égale à AP, pm sera pareillement égale à PM : on tombera donc de cette manière sur les points du prolongement AE' de la droite AE.

83. Je considère, en second liou, le cercle décrit du point A (Jig. 36) comme centre, et d'un rayon égal à la ligne AD. Ce qui distingue les points de sa circonférence des autres points du plan, c'est d'être tous à une distance du centre A , égale au rayon AD , et , par conséquent , quelque part que l'on prenne le point M sur cette courbe, les droites AP et PM seront les côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse AM sera égale à AD. En faisant donc

AP = j:, PM=jr, AD=2r, on aura

et l'on tirera de là

équation au moyen de laquelle, en se donnant x ou AP, on aura, par le secours du calcul, et sans qu'il soit besoin de construire la figure, y ou PM , ou du moins le rapport de cette ligne avec le rayon. En prenant, par exemple,

DE TRI(;0>OMÈTRIi:. lll)

x=jr, il viendra

On GonoeTra sans peine que Ton peut déduire de la même expression les lignes PM pour tons les points de la

ligne AB, compris entre A et D. L'équation y= \"r* — x* prouTe, aussi bien que la description géométrique de la cirooii££rence dn cercle, que cette courbe ne doit pas sVtendie an delà du point D; car, pour prendre le point P an delà de celnî-ci, il faudrait supposer x [> ÂD, ou ]> r, et, dans ce cas, la valeur de >' deviendrait imaginûre.

Quoique je n'aie considéré que le quadrant ED, les trois antres , qui complètent la circonférence , sont compris dans Téquation

car Tordonnée^ ayant, pour une même valeur de :r, deux valeurs , savoir :

+ ^r* — x\ et — \/r*— x',

la seconde doit être portée du côte opposé à la première (76), et fournit par conséquent tous les points du quadrant E'D. Mais on peut aussi donner à x des valeurs négatives qui doivent se porter de A en D', puisque les valeurs positives ont été portées de A en D ; et iî chacune de ces valeurs répondront deux valeurs de y : la valeur positive donnera les points du quadrant ED', et la valeur n^ative les points du quadrant E'D'.