PM

Le choix des lignes AB et AC , perpendiculaires entre elles, n'est pas le seul qu'on puisse faire pour déterminer, sur un plan, la position d'un système quelconque de points; toute combinaison de lignes capable de fixer la position d'un point, ses distances à deux points donnés par exemple, serait également propre à cet usage; mais dans le plus grand nombre de cas , les coordonnées perpendiculaires sont celles dont l'emploi présente le plus de facilité, et l'on verra plus loin plusieurs exemples du passage de ces coordonnées à diverses manières d'assigner, sur un plan, la position des points.

Il6 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

86. L'équation qui exprime les relations entre les AP et les PM , pour une ligne donnée , s'appelle Y équation de celte ligne, et celle-ci se nomme à son tour le lieu de Téquation qui lui appartient.

Il est visible que toute question géométrique indéterminée renfermant deux inconnues , conduit à un Ueu géométrique. S'il s'agissait, par exemple, déformer tons les triangles rectangles que l'on peut construire sur une Hypoténuse donnée a , en nommant a: et ;^ les côtés de l'angle droit de ce triangle, l'équation du problème serait

et Ton satisferait à la question en décrivant avec un rayon égal à a , un cercle , et en abaissant de tous les points de ce cercle des perpendiculaires sur l'un de ses diamètres : le cercle serait le lieu de tous les sommets de l'un des angles aigus de ces triangles.

L'équation d'une courbe s'obtient toujours en exprimant analytiquement , ou Tune quelconque de ses propriétés , comme on l'a fait pour la ligne droite , ou les circonstances de sa description , ainsi qu'on en a usé à l'égard du cercle. Réciproquement, une équation quelconque, considérée en elle-même, donne aussi naissance à une courbe dont elle fait connaître les propriétés. Ce dernier point de vue étant le plus général et le plus fécond , c'est désormais de la considération des équations que je déduirai les lignes.

87. De toutes les équations à deux indéterminées, la plus simple est celle du premier degré 5 et elle appartient à la ligne droite , la plus simple de toutes les lignes. Cette équation peut être représentée par

Cj = A^ H- B ;

mais en la divisant par C , elle ne perdra rien de sa^éné-

riK TIIIGONOMÉTRIK. l'j^'j

ralitë, et deviendra

A B jr=-x-+-g, OU jrz=:ax-^b^

en faisant — = a , - = i : c'est sous cette forme que je

remploierai désormais.

Supposant d'abord que b soit nul , on aura

y=i ax^ ou -4= a ;

c'est-à-dire que, dans toute l'étendue de la droite, le rapport de PM à AP [fig- 35) sera constant. Cette propriété, qui nVst que Texprcssion de la similitude des triangles APM, AP'M', etc., et de laquelle il résulte que