PM P'M
— = -r^ = etc., quelque part qu'on prenne les points
P, P', etc., sur la ligne AB, ne peut appartenir qu'à la ligne droite AE , menée par le point A , origine des coordonnées.
Le rapport -, ou le coefficient «, dépend de Tangle que
fait la droite AE avec Taxe des abscisses AB; mais dans le triangle APM, que je suppose rectangle en P, le rapport de PM à AP est égal à la tangente de l'angle PAM (30) : a représente donc la tangente de cet angle. En considérant l'équation j^ z= ax -h b^ on voit que la nouvelle ordonnée j^ ne diffère de la première, y = ax^ qa'en ce qu'elle la surpasse de la quantité b •, d'où il suit que si Ton prend AD = b ^ et qu'on mène la ligne DF parallèle à AE , elle sera le lieu de l'équation y= ax -f- b^ puisqu'on aura
PN =PM +MN =PM -h AD, P'N' = P'M' -h M'N' = P'M' + AD,
Iîl8 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
et il faut bien remarquer que le coefficient a restera le même pour toutes les droites parallèles à AE.
Il est aisé de voir que rien, dans l'équation y =ax-}-i, ne limite les valeurs que l'on peut donner à ar, et que, par conséquent, celles de y deviendront aussi grandes qu'on voudra 5 mais en même temps, rien ne bornant le cours de la ligne DF dans l'espace indéfini BAC, on trouvera toujours des abscisses et des ordonnées assez grandes pour représenter les valeurs de j^ et de a: , qui satisferont à l'équation proposée.
En faisant :r == o , on aura j^ = i , et cette valeur appartiendra au point D où la droite DF rencontre l'axe AC des ordonnées. Lorsque x sera négatif, on trouvera
/ = — ax -\- b^
et si ax est moindre que b , y sera encore positif, mais moindre que b ou AD. Le cours de la ligne DF montre que cette circonstance ne peut avoir lieu que dans la partie DF', correspondante à des abscisses Kp^ situées du côté opposé aux abscisses AP que j'avais choisies pour représenter les valeurs positives de x\ c'est donc de ce côté qu'il faut prendre les valeurs négatives.
Pour trouver la valeur de x qui répond au point/* ou la ligne DF rencontre Taxe AB des abscisses, il faut faire y = o , ce qui donne
/arx-h^=z=o, et x= := A /*.
Lorsque x , restant toujours négatif, sera devenu plus
grand que la quantité - , y lui-même deviendra négatif;
mais au delà du point /*, la ligne DF se trouve au-dessous de la ligne AB : l'ordonnée p'n' tombera donc du côté opposé à celui où elle était située d'abord , et , par conséquent , les valeurs négatives de y doivent se porter du
DE TRIGONOMÉTRIE. I gi(>
côté de la. ligne AB, oppose à celui qu'on a «idopté jiour les Talêars positives.
C^iemarques, qui confirment ce qui a été dit dans
le n^ 76, ne sont pas particulières n la ligne droite. On
' nesaiiiâ^t y faire trop d'attention, car c'est de remploi
1 dç^ quantités n^atives dans les figures que dépendent ,
en grande partie, les diverses formes qu'aifectent les lignes
L^éqnation jr = ax-\- b ne renfermant que deux constantes a et bj dont la valeur particularise la droite que Ton considère, en la distinguant de toute autre^ il s^ensuit qne deox conditions suffisent pour déterminer cette droite.
.Cdles qui s'offrent les premières, sont de Tassujettir à paSier par deux points donnés , ou bien à être parallèle ouperpcaidiculairc à une autre droite donnée, et à passer, ea outre, par un point donné. On aura besoin, dans
>, la snite^ de connaître la forme que prend Téquation 7 = âj:-|-i, pour satisfaire à ces diverses conditions;
' c est pourquoi je vais les examiner chacune en particulier.
88. Si l'on cherche l'équation de la ligne droite qui passe par deux points, dont les abscisses soient a et a\ et les ordonnées j3 et (i\ on mettra successivement a et a' à la place de ar, j3 et /3' à celle de y, et l'on aura, pour déterminer a et & , les deux équations
Il P' — P \ a=i S -^ , d où Ton tirera < I ^=f 'i I a — a
^ il en résultera
6'— 6 a'S — aÔ'
«' — a ce — a
pour l'équation de la droite cherchée.
On peut donner à ce résultat une forme plus simple^ ïMOOHOMiTaiE, 10® eW/Y. 9 .
l3o TRAITÉ ÉLÉMENTAmE
car, si Ton retranche de réquation / = aoc H- i^ , Vm des deux équations ci-dessus , la prejnijyre par exemp|| b disparaîtra^ et il viendra
^— P = fl(a: — a).
Cette dernière équation sera celle d'une droite assujetti à passer par le point dont les coordonnées sont âc et /3, < faisant d'ailleurs , avec Taxe AB, un angle queI(poncm^ en y mettant, au lieu de a, la valeur trouvée pr^céoSoB
ment , on aura
La distance des points proposés , ou^la partie qu^ils fa terceptent sur la droite clièrchée, aura pour ^Kpressioi
cela se voit évidemment , en supposant que N et N' repré sentent ces points; car, leur distance NN' étant l'hypèté nuse du triangle rectangle NRN', il s'ensuit que
NN' = NR -{- N'R = (AP' ^ AP)» H- (P'N' — PN )« (*). 89. Pour obtenir l'équation de la ligne droite qui pai^
( *) L'expression de NN' devrait, à la rigueur, être précédée du dôubk signe ± ; car, lorsqu'on demande seulement la distance absolue de dew points N et N', on n'indique pas si elle doit être comptée du point l vers le point N', ou en sens contraire , du point N' vers le point N , ce qu en changerait le signe (74-76), et lequel de ces deux sens doit être affecti du signe +. Mais quand, sur ce sens , qui est entièrement arbitraire, on ( fait une convention , le sens opposé prend en conséquence le signe " Soit, en effet, x — /3 = a(x — a) l'équation de la droite DF; il s'ensiû que j3' — j(3 = û(a'— a), et
par où l'on voit que cette distance NN' change de signe avec a' — a, et qtt le point N' se trouve en avant ou en arrière du point N , selon que a' ^ o^ < que «.
DE TRIGONOMETRIE. T^l
«mit par le point doDt les coonlonnées sont 2 et i . ot (jui amit paraBèle à la liene reprêsoniée par Tëquation
il snflÎFa de sobstituer a au lieu de a . dans 1 équation
qdaatiafaitdlëjà à la première condition . puisque , d*apro$ le n®87, le coefficient de x est le même dans les équations des lignes droites parallèles entre elles: on aura donc pour cdle qu'on cherche ,
90. Enfin, si ÂE et AI (fig, 38) «ont deux droites pei^ pendicnlaires entre elles , passant par l'origine A , et que, SOT l'abscisse AP, on élève les ordonnées PM et PM\ on trouve, en comparant les triangles semblables APM et APM'f que le rapport de AP à P>I est inverse du rapport de AP à PM'^ en sorte que si a est le coeûicient
de X dans Téquation de AE (87 ) , ce coeflicicnt sera -
dans celle de AI. Mais les ordonnées de cette dernière, tombant au-dessous de AB, doivent, par le n^ 76, être aSiectées du signe — : les équations des droites AE et Al sercmt donc
(*) On parvient aussi à ce résultat sans s'appuyor sur le n^ 70; car l'in-
tdiiudaondeB deux droites SM et AM' {fg, 39] , menées par rori(;in« A , dAlenhine la forme dn triangle compris entre cette ori(]^ne et les points M cU'oonespondants à la même abscisse AP, triangle dont les côtés sont (HileB h ealculer^ par les équations des droites, que je suppose
^« En effet, si AP = x , on a
PM[ = ax, PM'=a'x, MM' = PM — FM' = «jr - a'x-.
l32 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Considérant ensuite les droites DF et 6H , ' respecti vement parallèles aux droites ÂE et AI, et, par censé quent, perpendiculaires entre elles, on trouvera poui leurs équations
yz=iax-{-b et y =2 jr-f-ô' ( numéro précédent).
Si la seconde doit passer par un point dont les coordonnées soient a et |3 , son équation détiendra
91 . Deux lignes qui se coupent ont , à leur point 'd'intersection, les mêines coordonnées; en sorte que, potu trouver celles du point de rencontre des deux di^tei données par les équations
jrz=zax -^b^ ■ ' ' \
y:=ia'x-^b\
les triangles rectangles APM| ÀPM' donnent
ISr = ÏP'-*- PM' = X» + a«x«,
AM'* = ÂP' -H PM'* = x*.-4- a" a:» ;
«t quand ces droites deviennent perpendiculaires entre elles , le'triangl MAM' devient rectangle en A; MM', qui en est alors -rhypqt^puse, do satisfaire à l'équation
5ÏM'*=ÂSr-f-ÂSr*,
que les valeurs ci-dessus changent en
Développée I réduite et divisée par 2x', elle revient à — aa' = i, dV>à \c
conclut a' = 1 comme ci-dessus.
11 est bon d'observer que le signe — indique ici le changement quci4^
subir la figure, quand l'angle MAM' devient droit, cirçonstaiyie .qui x
permet plus que les deux lignes AM et AM' soient du même côte de l'a^
AB , ainsi qu'on l'avait supposé d'abord ; l'Algèbre opère donc sur la situ
tion de ces lignes un redressement analogue à celui qui a lieu par les sol^
tions négatives, dans les questions numériques. (Voyez les Éléme»
d'Algèbre. )
DE TRIGONOMÉTRIE. l33
il n'y a qu'à supposer que les inconnues x et j ont la même valeur dans l'une et dans l'autre équation \ on aura
ainsi
tfx -H ô =r a! X -4- h' y ce qui doimera
h--V a! h — ah' xzzz—, et r= — ;
On voit, par ces valeurs, que le point de concours est d^autant plus éloigné des axes AB et AC, que la quantité a' — a est plus petite, et qu'enfin a: et y deviennent infiliis, lorsqiie a'=ia^ c'est-à-dire lorsque les droites proposées .cessent de se rencontrer, où sont parallèles.
. '92. Hjpeat être utile de connaître la longueur de la perpendiculaire abaissée d*un point donné sur une ligne donnée j et l'on y parviendra en cherchant les différences enfUre les cooi;données de ce point et celles du point où la droite, donnée rencontre la ligne qui luî est perpendiculaire.
L*éqaàtion db la première étant
celle de la seconde sera
5i de et (3 désignent les coordonnées du point donné ^ mais. on peut mettre l'équation
jr zzz ax -^^ b sous Informe
qui revient à
y — p=za{x — a)-f-^ — p-^aa;
et, comme
l34 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
il s'ensuit
a(p-aa-b) ^-aA-â
Substituant ces valeurs dans l'expression
on aura, pour la longueur de la perpendiculaire cherchée j
93. Ce qui précède conduit à Texpression du aîiHi», du cosinus et de la tangente de Tangle (jue forment entre elles deux droites données. Soient
les équations des deux droites proposées \ il est évident queTangle qu'elles comprennent ne changerait point. si on les faisait mouvoir toutes deux parallèlement à elleS' mêmes jusqu^à ce qu'elles passassent par l'origine des coordonnées *, et alors leurs équations se réduiraient à
yz=:axy yz=za!x (87).
C'est dans cet état que je les considérerai ; et je les représenterai par les lignes AM et AM' [fig» 4o)« Ayant pris sur l'une d'elles un point M' dont les coordonnées, soient désignées par a et |3 , la perpendiculaire MM' abiçlssée de ce point sur l'autre ligne AM, sera expriméQ'{>ar
^ j à cause de J = o (92); mais si Ton fait AM'=r,
{*) Cette longueur, suivant ce qu'on a tu dans la note de la pa(e i3o, serait susceptible du double signe dr. En la prenant posi^Temèhi ici, lorsque /3 > aa.-\-h, on établit que le point d'où est menée la perpendiculaire est au-dessus de la ligne donnée, convention d'après laquelle cette perpendiculaire doit devenir, et devient en effet négative lorsque le point passe au-dessous de la ligne, parce qu'alors ^3 < aa + 6.
DE TRIGOISOMÉTRIE. 1 35
les coordonnées du point A étant nulles, on aura
et parce que le point M' est sur la ligne AM' dont l'équation est y =2 a'x, il s'ensuivra ]3 = a 'a. Cette équation , ooipbixiée avec la précédente, donnera
V^i-f-fl'* y/i + a'^ '
subsfituaîit ces valeurs dans celle de la perpendiculaire , on trouvera
^ï-ha^s/i-ha'* '
et si l'on donne à la perpendiculaire MM' le nom de sinns , qu'on lui a assigné dans la Trigonométrie, on aura
sin MAM' =
^i -f- a^ ^ H- fl"
en prenant r pour rayon.
Si l'on retranche de r* le carré de cette expression, on
aura celle de AM , ou du carré du cosinus de Fangle IAAM'^ savoir :
(ces MAM')' = — ^ ~ rrr yk -
__ r» (i 4- 2 tf «'-!-«'«'*) ~" (i-f-/i')(i-|-a'») '
et prenant la racine carrée , il viendra
cos MAM' = /, — ,, , ,, . ;
enfin , faisant r = i , on tirera de ces deux expressions ,
,, A ■-- / sin MAM' «' — a tang MAM' = ' TmûTf = y
^ cos MAM' I -4- an'
J'aurais pu déduire immédiatement cette dernière va-
l36 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
leur de la formule
, •, . tang p ±:tang qtang(/7±ûr)= — ~-H-C r2^-,
^ ^ ■ iqztangjD tapg^
rapportée dans le tableau de la page 32, puisque raille MAM' est la différence des angles BÀM' et ^AÂf , etljuav par conséquent, si Ton désigne ces derniers par p et 9 , on aura
tang/? = a% tang (7 = a, et tang(/? -.^) =*i-^|^^,
comme ci-dessus \ mais cette formule repose sur celles au n° 1 1 , obtenues par le moyen d'une construction , et je me suis proposé de tirer des seules équations des ligne^^t^ut ce qui est nécessaijre pour l'application de TAlgèbr^^à la Géométrie. ^ .
94. L'équation du cercle trouvée dans le n® 83 n'est que particulière , parce qu'on a donné au centre une situa-* tion déterminée , en le mettant à l'origine des cooiHloiùiéesiit Pour généraliser l'équation de cette courbe, il faut mim l'équation du cercle DED'E' (fig* 36} en prenant poâr origine des coordonnées le point A!"^ placé d'une maniàr^ quelconque par rapport au centi e A , et pour cela , il sqjËt d'écrire analjtiqueqjLent que la distance de ce cei^tr^ ^ chacun des points de la circonférence est égale à r. pi', si l'on désigne par p et y les lignes A'^' A' et A'A , qui somt . alors les coordonnées du centre A , par rapport aux axes A'"B' et M" a, et que l'on fasse
il vient (88)
AM = /• = \l[x-pf +{y- qfy
d'où l'on tire, en carrant les deux membres et en développant,
DE TRIGO>OMÉTRIL. |3-
Cette dernière ëcpaiion est la plus £:êuéraie que l'on puisse obtenir pour le cercle , en le rapportant à des coordomiees rectangles : die ne peut être particularise^^ que par Ift détermination des trois quantités constautes p . tf et^r, dont les deux premières fixent la position du centre « et la troisième représente le rayon. 11 suit de là quMl faut trois conditions pour déterminer la position et la grandeur d'un cercle ; et c'est aussi ce qu'on a vu dans les Kléments de Géométrie.
Si Ton voulait déterminer le cercle qui passe par trois points dont les coordonnées soient
aelp, a' et S', a et à",
on mettrait a , a', a" à la place de .r « et ^ , (i\ /5 " à celle de j^; on formerait ainsi les trois équations
a^ ^npa' -h;>'4-p'" — 27P' 4-7^ = r', a'*— 2/>a'' H-;>=-f- P"»— 27?" 4- 7'= r»,
qui ne renferment que trois inconnues , savoir : /' 9 7 et /'. - Si Ton retranche successiTemoiit la première de la deuxième et de la troisième, on aura, en eiracaut les termes qui se détruisent,
Ces deux équations , ne contenant p et f/ qu'au premier degré , font voir que le centre du cercle demandé no peut avoir qa'une seule position *, et quant au rayon , comine on a immédiatement
il n'est susceptible que d'une seule grandeur : on nv. peiii donc faire passer par trois points qu'un seul c(îrcle. Les résultats de la résolution des équations «li-dessiis
l38 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
étant inutiles pour ce qui doit suivre, je ne l'achèverai point, mais je ferai remarquer qu'elle pourrait s'abr^er par l'effet de la symétrie de ces équations , qui mèneraient aisément à la construction donnée dans les Eléments de Géométrie. *
95, L'équation générale du cercle,
se simplifie de plusieurs manières qui méritent a être remarquées , parce que les formes qu'elle prend alors sont employées fréquemQieni dans l'analyse.
Si l'on y fait /? = o , ^ = o, on retombe sur x^ + J^* == /"*.
Pour placer l'origine des coordonnées sur la circonfé*
rence du cercle, il suffit de faire ;?* -h^*.=:; r?, puisque
y/?' H- q^ exprimant la distance du centre à Forigine, il s'ensuit que cette distance est alors égale au rayon; et l'équation p*-|-gr' = r* réduit celle du cercle à
x^ — 7,px -h /' — 2 qy = \} .
Enfin si , pour plus de simplicité, on mettait rorigine à l'extrémité D' du diamètre , le centre se trouvamt alors sur l'axe des abscisses , son ordonnée q deviendrait nulle , son abscisse p serait égale au rayon r, et Féquation cidessus se changerait en
x^ — 2 rx 4- /' == o , ou y^ = nrx — x^.
Celte dernière et la première , a:' -h j"* = r *, sont, celles des équations du cercle dont on fait le plus* fréquent usage.
96. Ce qui précède étant bien compris, toutes les questions que l'on peut proposer sur la ligne droite et sur le cercle se ramènent facilement à l'Algèbre , sans qu'il soit besoin de recourir à d'autres propriétés des fiigures,
qa'à k^reiatioii ^ni msie en:rt- îe^ irv^is c^ies d'un triâu- ^rçetu^ (* ). Soit . poixr pzYmier exemple . cette question:
Daac lignes Jroiêef, AE el DE Qi:. 41 . e/ti/rr «/o*inées par la angles qu'elles *'or:t i;»ïV ur^e tn\si'èm^ AB . et par ia partie AD quelles îr;tcr:eptenT sur cette tnyts&me, trouver sur Mlle ligne AC • yc^t:^i,i:c:Mz:rc à AB • i« poimi G, par lequel, ¥nent:nt une Jros'tt^ GK , paml' lele à AB, la partie HK, comprise entre AE et DE « soit d'wic grandeur donnée.
Pour fonner les équations de» dix>ite$ AE et ED. je nomme a et a' les tan£:entes des angles F. AD et Fi) A ^^elles font respectivement avec la droite AB; je prends œDfihci pour Taxe des abscisses dont je place roiigine au point A, ainsi que celle des ordonnées j' que je i\>nçcns parallèlei & AC, et je fais AD == s. La pinnuièiv dn>ite aura pour équation r = ajr, puisqu'elle passe par le point A ; la seconde devant passer par le point D, aiupicl
^==o(8K) et .r = a,
sera représentée par
j-= — fl'(x — a),
en observant queFangle EDB (tourne dans lo ni<>ine sens qœ Tangle EAD) étant obtus, sa tangente est celle de Tangle EDA prise négativement (23) : on aura donc K\h deux équations
X = ax^ r = — a'(.r — a).
Pour obtenir les points H et K , où les droites f|n'ell(\s
{*) Dans les Notes qu'il a placées à la siiilo do. hoh Élt'mrnts th' (ironhinr, Logendrc déduit cette relation des prcniièrcH cnnsôqiKMiors dt* la siipiM'ixisitîon des triangles égaux, par un moyen lrrH-élé|jiint; mais Wu (MiiiNidi'ratioDs qu'il emploie pour cela sont malhciirtiUKttmoiit trop almtraitoN poiiipouvoir servir de base à un livre élémnntaire, et portrr daiiH IVHpril n«Mr conviction intime qui résulte des notions ret^ui'H imniédialciiiriil pur If sens.
I Ao TRAITÉ .ÉI^ÉMEINTAIRË
représentent rencontrent la ligne GK, parallèle àÂB'ï^il suffit d'y faire j^ = AG : si donc on pose AG ==;'Jt, x>a,aliré*
/=:tfx, ^an= — o' (x — a); ■• .
pretuint la valeur de x dans chacune de ces. éouatio'ns, il ■ viendra ^ , t :. .-. ■• *■
• t oLa\ — t . «- . ;
a ' CT-
fc . ■ - ■ ■
Ces expressions sont celles des abscisses A^ et Kk , dont la différence donne hk = HK , à cause dés p^all^és ^ et désignant par m la grandeur que doit avoir. HK.^ on ti^ouVera -j .
d'où l'on tirera - *
tia'm = oLua' —r ot — a'/^
et par conséquent
fa — m)aa'
Telle est la valeur de AG , qui satisfait à la question pro*" posée. .''.••"* ^
97. Je suppose qu'au lieu.de donner à la ligue <HK une grandefltr conniie /on. demande qu'elle soit ^giue^ là ligne AG gle HK 9 il faudra l'égaler à ^ , ce qui
d'où l'on déduira
98. Soit encore le problème suivant, déjà résolu au n" 78 : D'un point E (fig. 33), placé comme on "voûdruy mener une droite de manière que la partie D'F' de
a' cLaa!
aal -h a 4- a'
DE TRIGONOMFTtlE» l^\
ikc. îni^r^ctptèe enfr^ Jfur h\srirs rpj: i'îyrr^^r'Kt eitfDrr eBcr mmr omA droit BAC. soù J*une ^frvM^jSnu-
Si JBiCt ^ doipient les coordonnées du {K^int donné F. . J— ^§î= — «(x — a) sera réquaiion de U droite FD'. menâfpar cepoinU Pour obtenir U lonpieur de P F « il snfift de déterminer AD' et AF , c'est- à-iîînf h Taleur de jrkMsqne x=o. et celle dex lorsque v = o, hviH>thèses ffoi fournissent les équations
r — S = fla. — S= — a .r — a.
desqudleson tire
r=5n-fla = AD', r = -— : = AF ;
et comme F'D' = y AD' -f- AF' , il en résulte
posant F'D' = iw, et élevant au carré jK>ur faîiv disparaître le radical , il vient
Cette équation étant développée et ordonnée par rapport à la lettre a , se change en
et monte, comme on voit, au quatrième degré; mais sî l'on fait j3 = a, c'esl-à-dîre si Ton prend le point K à égale distance des deux axes AC et AB, elle d(îvic^nl
a* -h na^ -] rt' + 2rt -f- I = «),
et rentre dans Téquation (3) du n** 78, lorscfu'on cliangr a en 2 et « en a.
l4a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
99. Je tais appliquer maintenant à la recherche' des principales propriétés du triangle , les fohnules que j'ai trouvées pour la ligne droite. Je prends, à cet effet, deui^ points M et M' [fig* 4^^)? formant, avec l'origine A, tin triangle quelconque MÂM'; je désigne les coordonnées du premier point par a, jS, celles du second par «', |3'; les distances AM, AM', MM', qui forment les côtés de ce triangle, seront, d'après le n® 88, exprimées respectivement par
Si l'on fait AM = c, AM' = c', MM' = c/', on aura les équations
c"^z=. a!^^2,0L'QL -+- a»-4- p'»— 2p'p + p»;
et si l'on retranche la dernière de la somme des deux premières , il viendra
c» -i- c'» — c"^ = 2 (aa' H- pp') , d'où
aa' + SS' = — i-
Les équations des lignes AM et AM' seront
le cosinus de l'angle qu' elles forment entre elles aura pour expression (93)
En faisant le rayon /• = i, comme celui des Tables de
DE TRIGONOMÉTRIE. l43
sinus, et 'substituant à la place des quantités a^ +13*9 a't^^/f^ Aa' 4-/3/3', Içurs valeurs c%c'% ^^±^^11^', il
viendra
cos MAM' = ; 9
HCC
relation entre les trois côtés du triangle MAM' et l'un de ses angles • Si Ton fait attention que cet angle MAM' est opposé au côté MM' = c", on en conclura , pour les angles AMM', AM'M, respectivement opposés aux côtés AM' = c', AM = 0, les relations
cos AMM' = Ti 9
Aitf/TLr c'* 4- c'-''' — c»
eosAM'M = T-r, — ;
puis, désignant par 7", y\ y les angles MAM', AMM', AM'M 9" on aura les trois équations suivantes :
IC» + c" — HCc' cos 7"= C"% C» 4- c"»— 2 ce" cos 7' = </\ fj-i | çf'\ 2 c' c" COS -^ Z=C^.
Si Ton ajoute ensemble la première et la seconde, puis la première et la troisième, puis la seconde et la troisième, on obtiendra trois résultats qui deviendront respectivement divisibles par ac, ac', ic'\ lorsqu'on aura efiacé les termes communs aux deux membres de chacun , et qui donneront ainsi :
c — c' cos 7'' — c" cos 7 ' =: o , ( B) \ c* — c cos 7" — c" cos 7 = o ,
c" — c cos 7' — c' cos 7=0.
11 est bon d'observer que ces équations s'obtiennent immédiatement en abaissant successivement de chaque
l44 TRAITÉ ÉLËM£]STA1RE
angle dfi triangle, nue perpendiculaire sur le côté opposa? et calculant les sdgments de ce côte. ' On a , daûs la j^gr, i4 9
AD = ABcosA, CD = BÇcosC, AC = AD 4- CD = AB cos A 4- BC cosC.
Faisant
AC = c, AB = c', BC=:c", À = 7'V C = 7',
il viendra
<? = c' cos 7" H- c" cos 7', ou c — c' cos 7" — c" cos 7' = G.
On parviendrait de même aux deux antres équations (B).
100. Quoique ces équations soient au nombre de trois, elles ne peuvent cependant faire connaître les côtés lorsque les trois angles sont donnés •, car, 'si l'on cherchait les valeurs de c , c', c-\ au moyen des expressîbns générales des inconnues déterminées par trois équations du prei^î'er degré , on trouverait o , à cause que le terme connu man-r que. Mais ces mêmes équations se changent en
lorsqu'on fait
I — p cos 7'' — q cos 7' = o , p — cos 7" — q cos 7=0,
q — cos 7' — p cos 7=0,
elles donnent alors les rapports des côtés du triangljç proposé , et il reste de plus une équation de condition , qu'on obtient en éliminant p et q. Cette équation est '
I — cos 7"' — cos 7'* — cos 7' — 2 cos 7" cos Y cos 7 = 0, 1
et son premier membre est précisément le dénominateur commun des valeurs des inconnues c, c' ^c"^ déduites des
DE TRIGONOMÉTRIE. l45
expressioiis générales citées plus haut. Eu égalant cett(^ qnantité à zéro , les valeurs des côtés c, c'j c" devienncii 1 7 , et les câtés demeurent, par conséquent, indéterminés, comme le prouve la transformation opérée sur les é({uatioDs (B).
L'équation de condition que l'on vient d'indiquer renfenne la relation que doivent avoir entre eux les trois angles y, y' et y'\ pour que leur somme soit égale à deux droits, ainsi que l'exige la nature du triangle rectîlignc. Pour s'en assurer, il faut développer Téquation
cos ( 2^ — 7" — 7' ) = ces 7 :
on trouvera d'abord , par le n** H ,
— cos (7" H- 7') = cos 7,
en observant que sin 2^ = o, et que cos 2^ = — i; il viendra ensuite
d'où
-- cos 7'' cos 7' 4- sin 7" sin 7' = cos 7, cos 7 -h cos 7" cos 7' = sin 7" sin 7',
[pui
>7-hcos7"cos7')'=sin7"'sin7" = (i — cos7"')(i — C0S7"),
'es les réductions , on retombera sur l'équation de con^^k rapportée plus haut.
n^^wopos de remarquer que les équations (A) sont, par rapiHt aux triangles rectilignes, ce que les équations (BjHi n° 47 sont à l'égard des triangles sphériques , et cond^Kient , par de simples transformations , aux formuI^^B la résolution des premiers triangles.
Tour avoir l'aire du triangle MAM' (fig^ 4^), il ^ , du point A , abaisser une perpendiculaire AD sur [ecôté MM' qui , passant par les points M et M', dont les coordonnées sont respectivement « et j3 , a' et j3', a pour
TRIOOWOMÉTRIE , lO** éfltt.
l46 TRAITÉ ÉLÉMEINTAIUK
équation (88)
OU
En comparant cette dernière équation avec la formule
jr =i ax -{- b,
on trouvera
mais, en observant que dans le n° 92, les lettres a et /3 désignent les coordonnées du point d'où part la perpendiculaire, coordonnées qui sont nulles dans le cas actuel ^ puisque ce point est Torigine, Fexpression de la perpendiculaire se réduit à
et, mettant c'' au lieu de y/(a'-~ ««) -f- (|S' — (3)% il viendra
Avec cette valeur, on aura pour l'aire du triangle MAM',
MM' XAD c — «P' — «'P
expression bien remarquable , en ce qu'elle donne l'aire de tous les triangles qui ont leur sommet au point A , au moyen des coordonnées des sommets des angles adjacents à leur base.
On peut la changer en une autre qui ne dépende que î des côtés. Pour cola , il faut multiplier entre elles les deux
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Prenant les racines carret-s. e: iwi;ii>âut tous les tornus da second membre an même dénominateur* on trou> or4
^ Taire dn triangle MAM' aura pour impression
dont le développement s'aceonle avec le résultat du 11*^ i\ \ .
