AM", MM", M'M
fussent égales, ce point serait alors le centre du cercle circonscrit au triangle proposé, et Ton aurait
d=zd'z= cl'',
ce qui donnerait
l'équation (C) deviendrait
et se réduirait à
en inettant pour ««'+ jSjS' sa valeur, et en observant que si Ton désigne par S la surface du triangle AMM', égale
^ f L. ^101 ) , on aura
On tire de là
ce' c"
expression très-simple du rayon du cercle circonscrit* au
triangle proposé; et en écrivant — et — au lieu de d^
et flî„, dans les valeurs de a" et de (3'', on a les coordonnées du centre de ce cercle.
104. Il ne sera pas plus difficile de trouver les coordonnées du centre du cercle inscrit , et le rayon de ce cercle. Dans ce cas, le point M'' (jftg^. 43) se trouve au dedans du triangle, et dans une situation telle , que les perpendiculaires abaissées de ce point sur chacun des côtés AM , AM', MM', sont égales entre elles. Pour exprimer analytîquement cette circonstance , il suffit de former les équations des trois lignes ci-dessus, et d'en déduire, par la formule du vP 88, les longueurs des perpendiculaires menées
l5o TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
du point M'' dont les coordonnées sont a," el^". Or ces
équations sont respectivement
GC et
les perpendiculaires abaissées sur chacune d'elles auront pour expression
ap'' ^ g" ^ <x' P" -^ ol" P'
et pourront s'écrire ainsi :
^(ap-^-a-p)-~(a--p^~-a^r)+(«P^~«^P)
en mettant pour les radicaux leurs valeurs c, c\ c" ,
Si maintenant on se rappelle que la formule qui donne la perpendiculaire abaissée d'un point sur une ligne , a été obtenue par une extraction de racine carrée, et qu'elle est, par conséquent, susceptible d'être prise posir tivement ou négativement, on en conclura que chacune des expressions ci-dessus a deux valeurs. Pour n'employer que celles qui sont positives , il faut observer que, d'après la figure , la ligne AM' s'écartant plus de l'axe des abscisses AB que la ligne AM , et le point M" étant compris entre la première et la dernière , on doit avoir
a a oi Cf. ot. OL
OU ce qui est la même chose ,
■ a" p' > a' p", ■ ap' > «' p, a^" > a" p ;
DE TRIGONOMÉTRIE. i5l
d'où il suit que, pour douuer une valeur positive , Texpression de la seconde perpendiculaire doit être prise avec des signes contraires à ceux qu^cllc a ci-dessus.
De plus, le point M'' se trouvant au-dessous de la droite MM', dont l'équation est
il faut que
ou
que
ce qui donne OU bien
ap" — a"p -I- a"p' — a'p" < ap' — a'p,
condition par laquelle l'expression de la troisième perpendiculaire est positive.
Si , d'après ces considérations , on fait
et que l'on ajoute les produits ec, e'c', e''c'', il viendra, par les réductions ,
ec +e'c'-h e"c". = af' — a' p .
Cette équation est facile à vérifier^ car, les produits ce ^ e'c', e"c" exprimant les aires des triangles AM^'M, AM'^M', MM'' M', multipliées par 2 , et la somme de ces aires étant égale à celle du triangle total AMM', désignée par S, on a, comme dans le n° 101,
l5a TRAITÉ ÉLÉMENTAIUK
Lorsque e = e' = e", on obtient sur-le-champ
et quand c =: c' =• c'\ il vient
La première de ces expressions est celle du rayon du cercle inscrit, et la seconde fait voir que si d'un point quelconque pris dans F intérieur d*un triangle équila-ter al y on abaisse une perpendiculaire sur chacun des côtés de ce triangle y la somme de ces trois lignes sera égale à sa hauteur y puisqu'en prenant le côté a pour base, et nommant h la hauteur, on a S = j cA , ce qui donne
On pourrait encore tirer un grand nombre de conséquences de la théorie que je viens d'exposer 5 mais ce qui précède suffit pour cet ouvrage 5 et j'observerai qu'il existe pour les polygones rectilignes quelconques , des équations analogues aux équations (A) et (B) du n° 99, qui s'obtiennent de la même manière , et qui conduisent aux propriétés de ces polygones , comme celles-ci mènent aux propriétés du triangle. Lagrange a donné , sur les pyramides, un Mémoire auquel ceci peut servir de préliminaire , et qu'on étendrait aux polyèdres en faisant usage des formules rapportées dans le cinquième chapitre du premier volume de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral (*).
