La combinaison de l'équation de la circonférence

(*) Voyez les Ménwircs de l' Académie de Berlin, année 1773; la Po^ffonométrie de M. THuilier, sa Polyédroméirie insérée dans le premier volume des Mémoires présentés h l'Institut par dus Savants étrangers; la Géométrie de position de Carnot» et son Mémoire sur la relation qui existe entre les ^stances de cinq points quelconques pris dans V espace.

du cercle avec celle de la ligne droite, fait découvrir les diverses propriétés qui résultent de la rencontre de ces lignes, et donne la solution de toutes les questions dans lesquelles l'inconnue ne passe pas le second degré. Soient

x^-hjr^ = r% j— p = a {x — a)

ces deux équations : les employer à la détermination de x et de y^ ou les considérer comme renfermant les mêmes inconnues, c'est supposer que les points auxquels appartiennent les coordonnées x , j*, sont situés en même temps sur la circonférence du cercle et sur la ligne droite proposée , c'est-à-dire sont les intersections de ces lignes ; et en général , il est évident que , pour trouver les points de rencontre de deux lignes quelconques , il suffit de supposer que leurs équations ne contiennent que les mêmes inconnues.

En chassant d'abord y^ par le moyen de sa valeur prise dans la seconde équation , on trouvera

Cette équation du second degré, étant développée, donnera deux valeurs pour x , parce qu'en effet la ligne droite doit , en général , rencontrer le cercle en deux points ] mais on arrive à des résultats plus remarquables lorsqu'on prend pour inconnue la distance du point dont les coordonnées sont a et j3, à l'un des points d'intersection de la droite et du cercle. Si Ton désigne cette distance par z , on aura (88) ^

d'où l'on tirera

et mettant pour y — j3 sa valeur a (x — a) , il viendra

z' =r (jF— a)» (i -h a'),

i54 TRAlTli ÉLliMKiNTAlKK

d'où Ton déduira

z , az

ce qui donnera

z . az

Substituant (es dernières valeurs dans Téqualion

x^ -^ y — /-, on la ehangera en celte autre ,

2/73 2^ l^aZ Cl^Z

(jui se réduit à

3^ H \ ^ ^ z 4- a'^ 4- fi' — r-^ = o,

et qui fera d'abord connaître z , et ensuite x et j-, au moyen des expressions précédentes.

Il est visible que si le point E [fig* 44) est celui dont les coordonnées sont a et |3, que MNM' et EM soient le cercle et la droite proposée , a exprimera la tangente de l'angle EeB, et les deux valeurs de z appartiendront aux droites EM et EM'.

106. On sait, par la théorie des équations , que le dernier terme est le produit de toutes les racines ; si donc on nomme z' et z" celles de l'équation ci-dessus, on aura

expression qui , ne dépendant point de la quantité a , demeurera la même, quelle que soit cette quantité, c'està-dire quel que soit l'angle EeB dont elle est la tangente^ et comme z' et z" représentent les d<^ux lignes EM et EM', il suit (le là que le produit EM X EM' est le même pour

DE TRlGOiNOMÉTUlE. l55

toutes les lignes menées par le point E, ou, <jue si Ton tire une seconde sécante Em', on aura

EM X EM' = E w X E/w' ,

d'où il résulte que les sécantes EM'et Em' sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures EM et Ew, ainsi qu'on le prouve dans les Eléments de Géométrie.

Lorsque le point E est en dehors du C(»rcle , on a

puisque a' •+- 13' exprime le carré de la distance du point E au centre A ; mais quand ce point est intérieur au cercle, comme le niontre \aijig, ^^ ^ z' e\ z" sont de signes difierents, parce que le dernier terme a'-hj3- — r^ devient négatif à cause de a' -f- j3* <^/**. D'ailleurs le produit EMxEM' demeure indépendant de l'inclinaison de la ligne MM', par rapport à AB 5 et en menant par le point E une seconde corde mm' ^ on a encore

EMXE1M' = E/;/ XEw'.

D'où il résulte , comme on le prouve dans les Eléments de Géométrie, que les cordes d'un même cercle se coupent en raison réciproque, et l'on voit que ce théorème et le précédent n'en font, à proprement parler, qu'un seul, puisqu'ils se déduisent de la même équation.

En tirant de l'équation

la valeur de z , on trouve

__ — (a+ p«) -4- s/r^ii 4-^') — (,8 — «a)^

telles sont les expressions des lignes EM et EM'.

l56 TRAITÉ ÉLÉMEJSTAIUE

Elles peuvent être simplifiées en changeant les coordonnées , de manière que les abscisses x et a soient prises sur la droite AE {fig- 44) qui joint le point E avec le centre A du cercle proposé, en partant toujours de ce centre , et que les ordonnées y soient perpendiculaires à cette droite : on aura alors

= o , a = AE ,