Jr^{i -hfl
If
— slr^{i-ha') —
a^oi}
Féquation du cercle ne changera point , mais celle de lai droite EM deviendra
jrz=:a{x-'a.),
107. En supposant que le point E soit extérieur aa cercle , on obtient
MM' = EM' — EM r= ■ . y ^ 5
mais il est visiblç que cette ligne diminue à mesure que la ligne EM, tournant autour du point E, tend à sortir du cercle, et que les points M et M' finissent par coïnfcider en N , lorsque cette ligne n'a plus avec le cercle qu'un simple contact : à ce point , ou a donc MM' = o , et , par conséquent,
/'^(i -+- a^) — «'a' =: o, d'où
sja?
Voilà l'expression de la tangente trigonométrîque de l'angle que doit faire avec la ligne AE une ligne EN menée par le point E , de manière à toucher le cercle •, et ,
par conséquent, la solution algébrique de ce problème : Par un point pris hors du cercle^ mener une tangente à ce cercle,
108. Les mômes considérations serviront aussi à déterminer la tangente menée par un point pris sur la circonférence du cercle 5 et pour plus de généralité , je placerai ce point d'une manière quelconque. En désignant toujours par a et |3 ses coordonnées, on aura par l'équation du cercle, à laquelle ces quantités doivent satisfaire,
ce qui réduira l'équation
et dans cet état elle se décompose en
2(a-hS3) z = o, z-\ ^ '^ ^ — o :
v/i + a^ ses deux racines seront donc
V/l -4- rt'
et la différence de ces valeurs, ou la longueur de la partie de la sécante comprise dans le cercle, sera
Pour que cette quantité s'évanouisse, il faudra qu'on
ait
a a-|-pa = o, ou «~ — -Tt
l58 TUAITÉ ÉLÉMÏCNTzVIHE
résultat qui s'accorde avec ce qu'on démontre dans les Eléments de Géométrie, car la droite menée par le centre du cercle et par le point dont les coordonnées sont a etiS,
ou le rayon AN, aurait pour équation j=,^x (87) ; Téquaiion j — j3=:rt(x — a), devenant, par la valeur de a trouvée ci-dessus ^ j — /3 = — - (x — a ), représentera la droite perpendiculaire à ce rayon, et passant par le point dont les coordonnées sont a et |3 , c'est-à-dire par son extrémité N (90).
Si l'on voulait connaître la distance de l'origine A des coordonnées, au point où la tangente NT rencontre l'axe des abscisses, il faudrait, dans Téquation de cette tangente, faire j^ = o , ce qui donnerait
-P = -p(^-«) et .r = ~— »! = --,
à cause de a' -j- jS* = r*.
109. On peut, par ce qui précède, résoudre la question suivante : Tromper la position que doit ai^oir la ligne YM.^ menée par le point donné E, pour que la partie MM! de cette ligne, comprise dans le cercle^ soit d'une grandeur donnée m. Alîn de parvenir à des expressions plus simples , je prendrai , comme à la fin du n** 106, la ligne AE pour axe des abscisses , et , en égalant à m la différence des valeurs de z^ obtenue dans le n? 107, j'aurai
Faisant disparaître les radicaux , il viendra
w'(i -h^^) =z^r'{i -hâr^)--4«»a', d'où je tirerai
DE TaiGONOMÉTIUE. i 69
et substituant cette valeur dans j =: a{x — a), j'obtiendrai l'équation de la droite cherchée.
Ce n'est encore là que la solution analytique du problème qui m'occupe-, il faut maintenant construire l'expression ci-dessus. Pour y parvenir, on observera
d'abord que le numérateur y 4''* — ^^ exprime le côté d'un triangle rectangle dont ar est l'hypoténuse, et /?« le troisième coté. On donnera ensuite au dénominateur
v/4a* — /\r* -}- m* la forme ^4»* — (4'* — '^*) , équivalente à V 4a* — In/4''^ — w*)*, et qui fait voir que ce dénominateur est aussi le côté d'un triangle rectangle ayant pour hypoténuse aa, et pour troisième côté le;
radical v4''* — '^^*î ou le numérateur dont je viens d'indiquer la construction.
En nommant q et p les deux lignes qu'on obtiendra par ces opérations, j'ai
l'équation y = a(x — a) devient
et il en résulte que si l'on prend sur AE, à partir du point E, une distance EF =/^, et que par l'autre extrémité de cette distance on élève une perpendiculaire FG = (ft la droite qui joindra l'extrémité de cette perpendiculaire avec le point E jouira de la propriété comprise dans l'énoncé de la question , puisque l'angle FE(x
^ FG aura pour tangente tngonometrique a = - = — •
HO. 11 doit être évident, d'après ce qui précède, que les questions de Géométrie peuvent être traitées par deux méthodes bien distinctes : l'une consiste à déterminer les
l6o THAITÉ ÉLÉMENTAIUE
équations des lignes qui contiennenl les points cherchés, en partant des propriétés de ces lignes , et l'autre à déduire immédiatement de la considération des triangles semblables et des triangles rectangles que présente la figure résultante du problème supposé résolu , en s'aidant même de quelques constructions préparatoires, les relations des droites qui déterminent la position de ces points.
La première de ces méthodes, quelquefois plus élégante que la seconde, est toujours plus générale ; mais la seconde est souvent plus simple ; et cela doit être , puisque par celle-ci on prend les choses de moins haut , et qu'on part de propriétés plus voisines de celles qu'on cherche à découvrir (*).
111. L'équation du premier degré n*a donné qu'une seule espèce de lignes, savoir, la ligne droite*, l'équation du cercle s'est trouvée du second degré -, mais cette équation , obtenue dans le n° 94- , sous la forme la plus générale 5 n'est encore qu'un cas particulier de ce même degré dont la formule est
(i) Aj' -h Bxjr + Cx' 4- Dj -h Eo: .= F :
il reste donc à découvrir les courbes qui répondent aux autres cas de cette formule. J'observerai d'abord qu'on peut, sans en diminuer la généralité , Técrire ainsi :
jr' -f- --- j:j -h -- :c' H- —X -f. -- a: =r — , A . A A A A
et faisant, pour abréger,
(*) J'ai tracé la marche féconde et uniforme de la première de ces méthodes y dans la Préface de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral; et les lecteurs qui voudront en connaître plus particulièrement l'application , trouveront de quoi satisfaire leur goût dans la 3® édition du Recueil de diverses Propositions de Géométrie, etc., par M. Puissant.
DE TRIGONOMÉTRIE. l6l
il en résultera
^» 4- hxy -f- cx^ -^-dy -^ex^zf,
Le moyen qui s'offre le premier pour déterminer les circonstances du cours des courbes cherchées, c'est d'examiner la marche des valeurs de l'ordonnée, par rapport à celles que l'on peut assigner [aux abscisses-, et, pour cela , de résoudre l'équation ci-dessus , par rapport à y. En opérant ainsi , on trouve
Xz='-^{bx'i-d)±{s/i(/—ex^cx')-h(bx^dY.
Développant la quantité qui est sous le radical, et l'ordonnant par rapport à a: , il viendra
Faisant , pour abréger,
^/-^d^ = py ne — bd=n, ^c — b^'=mj
on aura
bx -\' d . sIp — 7.nx — mx^ Y =z I+Z -^ •
On voit d'abord que la valeur dey est composée de deux
parties , dont l'une , exprimée par — ? est l'or-
donnée d'une ligne droite ayant pour équation
V — Ihx l d
qui se construit en prenant sur l'axe AC au-dessous de AB ( jig, 46), une partie AD = ^ J, et menant par le point D, une droite DE, faisant du côté des x négatifs un angle DE A dont la tangente soit égale à ^ t (87) ; en sorte que, AP
étant X, PN sera . Il est évident maintenant que
pour avoir les points qui appartiennent à la courbe cherchée, il faut porter dans la direction de PN, tant au-
TRIGONOM^TRIE , lO* édit. II
l6a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
dessus qu'au-dessous de la droite DE , des parties NM et NM' égales à
puisqu'on aura, par ce moyen,
PM = — ^{bx '\' d)-\- >^ sjp — inx — mx^ ,
P]Vr= '-\{bx-{-d) — ^slp — 2/7Jr — mx^.
La droite DE jouît ainsi de la propriété remarquable de partager en deux parties égales les lignes menées parallèlement .à AC, entre deux points de la courbe cliercliée, et c'est pour cela qu'on lui a donné le nom de diamètre j mais il y a cette différence entre la ligne DE et les diamètres du cercle, que ceux-ci rencontrent à angle droit toutes les lignes qu'ils divisent en deux parties égales, tandis que la prenaière les coupe obliquement : cependant on verra bientôt que ces deux circonstances dérivent d'une même loi.
112. L'équatîbn ci-dessus se simplifierait beaucoup en prenant pour ordonnées les droites NM et NM', c'est-àdire en faisant
bx -h d
il viendrait alors
mais les abscisses AP ne seraient plus comptées sur la ligne de laquelle partent les ordonnées. Pour les ramener à cet état, il faut les prendre sur le diamètre DE : c'est ce qu'on effectuera en posant DN =: ^, et en observant que si l'on tire DG parallèle à AB, on aura
DG = DN cosD = ^ ces D.
L'angle D est le même que l'angle E, dont la tangente est 7 ft ; son cosinus est
DE TRIGONOMÉTRIE. l63
et puisque
