AP=:DG

il en résultera

en faisant , pour abréger,

La valeur de x étant mise dans celle de f , on trouvé

t z=z±^ sjp — 2 nqs — mq^s^y

relation qui doit exister entre ^ et f , ou entre les droites DN et NM, pour chaque point de la courbe, et qui est, par conséquent , son équation rapportée aux coordonnées DN et NM. Celle-ci, quoique plus simple que

y^ -f- bxy -H cx^ -\- dy -\- ex z=z f ^

est aussi générale , puisque les transformations effectuées jusqu'ici n'ont introduit aucune condition particulière.

L'expression de t étant affectée, en général, d'un radical du second degré, ne saurait avoir de valeur réelle qu'autant que la quantité p — 272^^ — mq^ s^ sera positive. L'examen de cette circonstance présente plusieurs cas que je discuterai successivement.

113. Je suppose d'abord que la quantité désignée par m dans le n° 111 soit positive, et je mets l'expression p — 'i.nqs — mq^ s^ sous la forme

— s — s^ \ mq I

mq* pour n'avoir plus à considérer que celle-ci :

mq* mq

l64 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

de laquelle on peut faire disparaître le terme où 5 n'est qu'au premier degré , en prenant

s=zu ^ (Éléments d* Algèbre, 209 ) ;

mq ^

et, après la substitution et la réduction, elle devient

pm -hn^ .

Pour savoir ce qu'est u , îl suffit de construire sa valeur en 5 ^ et l'expression

uzzzs -\ = DNH

mq mq

montre que l'origine des u doit être placée en arrière de celle des 5, à une distance OD = — 'y parce qu'alors