DN = ON — OD
mq
Cela fait , on a .
et l'on voit que l'expression de t sera réelle, tant que
rn^q^
puis qu'elle sera nulle quand
pm -h «* / pm -+- n^
Ces dernières valeurs indiquent donc \es intersections de la courbe avec le diamètre DE ; et en les portant de chaque côté du point O , à cause de leurs signes , on obtiendra les points I et I' placés à égale distance du premier.
DE TRIGONOMÉTRIE. l65
Au delà de ces points, la quantité
pm 4- /i'
devenant négative , les ordonnées t seront imaginaires : ainsi la courbe n'aura aucun point correspondant aux abscisses plus grandes que 01 et 01' \ elle sera donc renfermée dans l'espace compris entre les lignes IH et l'H', menées par les points I et F, parallèlement aux ordonnées.
114. Les deux valeurs de f en i/ ne différant que par leur signe et demeurant les mêmes, soit qu'on prenne u positif ou négatif, il s'ensuit qu'à l'abscisse OJN' = ON répond l'ordonnée N' M'' égale à NM' et placée en sens contraire, en sorte que les triangles M''N'0 et M' NO sont égaux, et que , par conséquent , la droite M'M'' est partagée en deux parties égales au point O. Cette propriété, dont le point O jouit par rapport à tous les points de la courbe , lui a fait donner le nom de centre y par analogie avec le centre du cercle \ mais pour les autres courbes , les rayons ne sont égaux que deux à deux , parce que les diamètres sont inégaux.
115. La forme de la courbe que représente l'équation entre t et li se reconnaît aisément par la construction de cette équation; et pour l'effectuer, je fais d'abord
pm + rC- ,-
il vient
f = db i sjmq^{a"' — tt') = ±: | \Jmq^ . sja'^ — a'.
Prenant alors a' pour le rayon d'un cercle ayant son centre
au point O , u pour l'abscisse , le facteur sla'^ — u* exprimera l'ordonnée de ce cercle , élevée perpendiculairement
à Ol. Quant au facteur ^ V///<7% il ne doit représenter
j66 traité élémentaire
qu'un rapport, si l'on veut avoir égard à l'homogénéité des expressions (71) : je le désignerai donc par -7) et
j'aurai , par conséquent ,
d'où je tirerai
On voit ainsi que l'ot'donnée NM s'obtiendra en chercliant le quatrième terme de la proportion
loorsqu'on aura déterminé la grandeur de < , on la portera le long de la ligne MM', tant au-dessus qu'au-dessous de DE, à cause du signe ±,
Il est évident que la courbe résultante de cette construction sera fermée comme le cercle , et ne s'étendra que dans l'espace compris depuis u = a' jusqu'à u = — a\ puisqu'au delà de ces limites le radical, ou l'ordonnée du cercle , sera imaginaire.
La plus grande valeur que puisse avoir l'ordonnée t est visiblement celle qui répond au point O, pour lequel M = o ; on a dans ce cas
prenant donc les droites OL et OL' égales à b' ^ les points L etL' seront les limites.de la courbe dans le sens de ses ordonnées, comme les points I et V le sont dans celui des abscisses.
