Il est important de remarquer que si la quantité

représentée par a'* était négative, le radical y a'* — u* demeurerait toujours imaginaire , et l'équation proposée

DE TIUGOJNOMÉTBIE. 167

ne saurait exprimer alors aucune ligne. En remontant à

la valeur de a", qui est^ — tt-î on verra qu'elle serait

négative si p était afTecté du signe — , et qu'on eût en même temps ^/i2 ^ 72*.

Quand, dans ce cas, pm = w', il vient (115)

rt'z=0, ^'=0; mais on a toujours

et 5 par conséquent ,

^ = ± 7 sjmq\ V^— «» =z±\qu y/— m ,

équation à laquelle on satisfait en posant f = o , m = o : on peut donc dire que la courbe se réduit alors au seul point 0,où tz=.o^ M = o,et que ce point est la limite vers laquelle tendent, à mesure que les diamètres II' et LAJ diminuent, les courbes données par l'équation cidessus.

En élevant au carré les deux membres de l'équation

' elle se change en

et en

l^mt^ -h ni'^q'^ lû — pm — «' = o.

Lorsque p est négatif, elle deviçnt

4 mt"^ 4- /w' ry' a' -f- pm — /i' = o ;

et quand pm^ »', son premier membre étant la somme de trois quantités essentiellement positives, puisqu'on suppose que m est aussi jK)silive , il ne peut devenir nul

l68 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

que dans le cas où Ton aurait séparément les trois équations

4/w/' = o, m^q^u^=zo, pm — /i' =r o.

On peut satisfaire aux deux premières en faisant i = o, u = o ; mais la dernière exprime une condition sans laquelle la proposée est tout à fait absurde.

117. Je suppose à présent que m soit négative ^ la quantité p — 2 nqs — mq^s^ deviendra

(/? 2/î \ s -^ S*\' mq^ mq ]

On fera disparaître le terme 5 , en prenant

n mq

et la quantité — ? qui représente OD i^fig^ 47) > ayant ici

le signe -4-, se portera sur la partie DF, affectée aux abscisses positives. On aura ainsi le centre O, et l'équation proposée deviendra

posant

pm — /i* , , m'q' '

selon que la quantité pm — n^ sera positive ou négativeet faisant toujours

on obtiendra

Cette équation parait renfermer deux cas distincts : ^

n'en contient cependant qu'un seul ; car, si Ton élève ses deux membres au carré , on en déduira

d'où

équations qui ne diffèrent l'une de l'autre que parce que , dans la seconde, a' et t tiennent la place qu'occupent b' et u dans la première , et réciproquement : il suffit donc d'examiner ce que signifie Tune d'elles.

Je considérerai en particulier la seconde : on en tire

l'ordonnée t sera construite en cherchant une quatrième proportionnelle aux trois lignes

a\ b' et \^a» — a'\

dont la dernière est une moyenne proportionnelle entre u — a et u + a^ et ne se trouve réelle qu'autant que u ^ a'. La courbe cherchée n'a donc , depuis u= o jusqu'à u^=a'^ et depuis u=o jusqu'à m = — a\ aucune ordonnée réelle 5 et comme m = «' et m = — a' donnent également i = o , il en résulte que cette courbe rencontre le diamètre DE aux points I et F, où se terminent les abscisses 01 et 01', égales à a', mais qu'elle ne s'étend point entre les droites IH et l'H'.

Au delà des points I et I', on a u^ a' ^ soit positivement , soit négativement ; l'ordonnée t augmente sans cesse, et rien ne limite la grandeur à laquelle elle peut atteindre. D'après ces considérations , il est visible que le cours de la courbe est pareil à celui des lignes Kl A, K'F A', séparées par l'intervalle II', et dont les branches IK et lA: , l'K' et W s'étendent à l'infini.

Si l'on considérait cette courbe par rapport à ]a droite LL', c'est-à-dire en prenant t pour Fabscisse , et u pour l'ordonnée, son équation donnerait

Dans cette forme, u ne saurait devenir moindre que 01 et 01', et la courbe ne rencontre point son diamètre LL'. Il est évident par là que l'équation

conduisant aussi à

doit appartenir à une courbe QL^, Q'L'<jf' de la même espèce que Kl/r , R'I'A', mais tournée par rapport au diamètre LU des ï, comme celle-ci l'est par rapport au diamètre IF des u,