Dans le cas où m = o, on a simplement

nqs\

on réduit la quantité qui est sous le radical à un seul terme , en faisant

— s = Uj

2nq

et par ce moyen il vient

t = ±-5- ^QLnqu, ou t=zzh^e'u,

en représentant \ nq par e' , On voit aisément que cette équation donne t= o en même temps que u = o, et que , par conséquent, le point du diamètre DE [fig* 48) sur lequel on a pris l'origine des u , appartient à la courbe cherchée. Pour trouver ce point , il faut faire « == o dans

(*) On peut aussi tirer ce développement de la formule du binôme.

i'éqaaUon

posée ci-dessus ; on obtient

et en portant cette quantité sur DE , du côté des abscisses positives, on aura le point I, où la courbe proposée rencontre DE.

Si la quantité e' est positive, on ne pourra prendre u que positivement 5 mais rien ne limitera sa grandeur, non plus que celle de f , en aorte que la courbe doit s'étendre à rinfini de ce côté seulement, ainsi que le marque la ligne RIr. Elle serait tournée du côté opposé, si e' était négatif 9 parce qu'il faudrait alors prendre u négativement.

L'équation

f :=zll ^ e' U

se construit en prenant une moyenne proportionnelle entre l'abscisse IN = u et une droite égale à e'^ le résultat est l'ordonnée NM , qu'il faut ici , comme dans les cas précédents , porter tant au-dessous de DE qu'au-dessus, n faut remarquer que l'équation primitive

se réduit à

quand w = o , parce qu'alors la courbe considérée dans cet article se change en deux lignes droites, menées parallèlement à Taxe des s , à ime dislance - ^p , tant audessous qu'au-dessus de cet axe. Ces deux lignes se rapprochant de Taxe à mesure que p diminue, se réunissent sur cet axe quand p = o , et il devient , dans ce cas , le lieu de l'équation proposée.

120. D'après ce qui a été trouvé dans les numéros précédents, l'équation

y' -h bory -|- cx"^ -\- dy -{^ ex =z f ne peut prendre que Tune de ces trois formes :

f = ± - sja'^ — lû 1 [ «" ^' -h b'^ u^=: «'» b'\

a' 1 ou? en faisant

«' I les radicaux.

selon que m est positive, ou négative, ou nulle ^ elles répondent au cas où la quantité 4^ — ^*5 q^î revient m.

(m)î et 4^î est de même signe que 4 AC — B'^

est positive, négative, ou nulle-, elles sont comprises aussi dans la seule équation

t z=z db 7 \p — 2 nqs — ///</^ s'^'

Les courbes représentées par la première , qui rentrent sur elles-mêmes , et qui comprennent un espace fermé de toutes parts (115), sont désignées sous le nom ai ellipses. Celles que donne la seconde , composées de quatre branches infinies formant deux parties séparées (117), se nomment hyperboles ; et les droites entre lesquelles elles sont renfermées (118), asymptotes. Enfin la troisième équation est celle des paraboles (119).

Pour achever la discussion de tous les cas compris dans l'équation générale

(i) A 7^ -h ^xy -h Ca:' + D j H- Ej; = F,

il ne reste plus à considérer que celui où les deux coefiicienls A et C sont nuls 5 car, quoique les transformations opérées jusqu'ici deviennent illusoires quand A = o ^ l'équation contenant a:*, quand C n'est pas nul, peut être

résolue par rapport à cette quantité , et les formules des numéros précédents servent encore, en y changeant y en X ex. X en y^ c'est-à-dire en faisant de Taxe des ordonnées celui des abscisses ; mais le cas où A et C sont nuls tous deux échappe entièrement à ces formules , parce que l'équation (i), réduite alors à la forme

B^jr H- Dj 4- Ex = F,

n'est plus que du premier degré , par rapport à chacune des coordonnées x ex. y : il mérite donc un examen à part.

Je mets cette dernière équation sous la forme

xy -{- dy-\- ex =/,

ce qui n'en diminue en rien l'étendue; et j'en tire

/ — ex •^ X -^ d '

l'ordonnée ne devient donc jamais imaginaire. Si Ton fait d'abord j' = 0, on trouve

Telle est l'abscisse du point E {fig* 49 )? où la courbe

cherchée coupe l'axe des abscisses AB , et elle passe ensuite

f au-dessous, puisque y devient négatif quand x^ -*

f Quand a: = o, il vient 7= ^v valeur qui indique le

point F où la courbe rencontre Taxe AC des y.

En passant dans la partie négative de l'axe des x , l'ordonnée y continue à croître , parce que le dénominateur x-^-d diminue par la soustraction de a:, et devient o lorsque a: = — d^ Dans ce cas , la valeur infinie qu'on trouve pour y montre que la courbe ne saurait atteindre la droite GS menée sur l'abscisse AG = — d ^ perpendiculairement à l'axe AB.

l'jG TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

Lorsque .r, continuant à être négatif, l'emporte sur J, la valeur de y change de signe, mais en commençant pai* être plus grande que telle quantité qu'on voudra 5 on voit:donc par là qu'il y a au-dessous de AB, de l'autre. côtS de GS, une branche R'I' semblable à Kl, mais allant e: sens inverse , c'est-à-dire se rapprochant de AB à mesun que l'abscisse augmente négativement.

Il reste à savoir ce que devient y à mesure que x augmente , soit positivement , soit négativement 5 et pour cela je divise par x les deux termes de l'expression de y : i vient

résultat qui tend sans cesse vers y"==- — e, à mesure que

f fi les fractions - et - diminuent ou que x augmente. Tirant

donc, à une distance AH = e, au-dessous de AB, HS' parallèle à cet axe, on aura une limite de laquelle les branches I/: et l'A' s'approcheront sans cesse , et, par conséquent, les parties Kl A et K'I'fe' de la courbe cherchée ne sortiront jamais de l'angle SOS' et de son opposé.

Ce qu'on vient de voir suffit pour montrer l'analogie qu'il y a entre la courbe que je considère maintenant et celle qui est nommée hyperbole ^ il serait même facile de changer l'équation de celle-ci dans la proposée, en prenant pour axe des coordonnées les asymptotes indiquées dans le n° 118. Je ne m'arrêterai point à ces détails, devant revenir sur ce sujet par une méthode plus générale (129). Je me bornerai à montrer que si l'on prend, dans l'exemple actuel, des coordonnées partant du point O, où se rencontrent les asymptotes GS et HS', et que l'on fasse

X = t — dy y ^= u — Cy

DE TRIGONOMETRIE. 177

Téquation proposée devient

ut =z f -{-dey

forme sous laquelle on voit bientôt que les deux branches sont semblables.

121. Les dernières équations de la page 174 paraissent réduites à la forme la plus simple ; mais les coordonnées n'y sont pas perpendiculaires entre elles comme dans les équations de la ligne droite et du cercle , dont j'ai fait usage jusqu'à présent : cependant la situation des ordonnées est liée à celle des abscisses par la condition que les premières sont parallèles à la droite qui louche la courbe à l'extrémité de son diamètre. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que les points M et M' [fig- 46, 47 et 48) se confondent en un seul, au point I, circonstance qui forme le caractère essentiel des points de contact (107) . En effet , la somme des deux ordonnées , ou la distance des

points M et M', étant exprimée par — j- sla'^ — u^ pour

Tellipse, par —r v"* — «'* pour l'hyperbole, et enfin

par 2 \/e' u pour la parabole , devient nulle au point I , où l'on a li == a' pour les deux premières courbes , et 1/ =. o pour la troisième.

L'équation des ellipses étant symétrique par rapport aux deux indéterminées if et w, de manière que l'expression de u en £ a la même forme que celle de f en w , on pourrait prendre aussi les t pour abscisses , et les u pour ordonnées, et l'on verrait que le diamètre II' [fig» 46) est lui-même parallèle à la tangente menée par le point L. Les droites II' et LL', jouissant toutes deux des mêmes propriétés, se nomment pour cette raison diamètres conjugués, U est évident que dans le cercle , les diamètres conjugués doivent être perpendiculaires entre eux , puisque la tangente menée à l'extrémité d'un diamètre quel-

TRIGONOAVTRIE^ 10® édît. 17.

178 TllAITÉ ÉLÉMENTAIRE

conque lui est perpendiculaire : le nombre des diamètres qui jouissent de cette propriété est infini pour le cercle. Il n'en est pas de môme pour l'ellipse; mais quoique, pour cette courbe, l'analyse précédente n'ait fait découvrir que deux diamètres conjugués, se coupant obliquement, elle en a néanmoins toujours deux qui se rencontrent à jfngle droit , ainsi qu'on le verra plus bas.

Si l'on rapproche ce que je viens de faire sur l'équatîon générale du second ordre, de ce qu'on a vu dans les n*** 87 et 94, pour la ligne droite et pour le cercle, on reconnaîtra que l'équation d'une même ligne prend des formes très-différentes , suivant les coordonnées auxquelles on la rapporte. Il peut donc être utile de savoir changer ces coordonnées , afin de pouvoir passer à celles qui donnent po ur la ligne proposée l'équation la plus simple 5 et je vais chercher en conséquence les formules générales pour changer les coordonnées d'une courbe en d'autres situées d'une manière quelconque, tant par rapport aux premières qu'entre elles.

122. Le plus grand changement qu'on puisse apporter dans le système des coordonnées , sans cesser de les prendre droites et respectivement parallèles à deux lignes fixes , consiste à leur donner une nouvelle origine et d'autres di^ections. J'embrasserai tout de suite ce cas général, et je supposerai qu'on se propose d'exprimer les valeurs des coordonnées AP = a:, PM = y [fig- 5o) , relatives aux axes AB et AC, par deux autres coordonnées h!"l?^ = '9 P''M = i/, rapportées aux axes A'^'B'^, A'^'C^ dont on connaît la position à l'égard des premiers.

Ayant mené par la nouvelle origine A'", les droites A*^ B' et A'"C', respectivement parallèles à AB et à AC, les distances AA' et MA!" seront données par l'hypothèse^ et eu les représentant par a et par j3, on aura

AP= A'P-i- AA' =r A" P' -+-:., PM '- V M -}- A' A"' ~ P' M 4- fi .

DE TP.IOONOMtTIllE. i Tij

Tirant ensui 10 par le pied de la iioiivelli- ordoiinéo P*'M, les lîgnesP'Qel P'R , Tune parallèle à AB cl laulre à AC , on observera qae puisque les axes A'"B'' ei A'^C" sont donnés de position à Tégard de AB et de AC, on connaît tous les angles des triangles A'"P"R , P^MQ , ou, ce qui revient au môme, les rapports de leurs côtés homologues : faisant donc

A^R ITR P^Q QM

A-'P*'""'"' A^P'"""' P'M""^'' rM~'^'

on aura

A^'R = m.X'^r" = mt, P"R =r n,\''V" ~ ut, F'Q = />. P'M =/;w, QM = «7. P"M=:7«, d'où Ton tirera

A**?' =r A'^'R -f- P' Q = mt -f- pu ,

P'M = P"R -h QM = nt -H qu, et enfin

xz=z KV = A'" P'-h a = /?// 4- /;// -I- a , j = PM = FM -h S — «r -f- 7K 4- fl.

Telles sont les valeurs les plus générales que puissent prendre les coordonnées xely faisant entre elles un angle quelconque , lorsqu'on les exprime par d'autres coordonnées du. mèihe genre, mais situées comme on voudra. Voici maintenant comment on en déduit celles qui conviennent aux différents cas particuliers qui peuvent s(» présenter.

!**• Si l'on supposait les nouvelles coordonnées parai lèles aux premières, et qu^on uc fît que changer la position de l'origine, les lignes M"C" et A'^'C se confondraient, ainsi que A'"B'' et A'" B' ^ on aurait, })ni conséquent ,

m zrzl. '.' -— • O , ;^ r- r) , 7 . - l ,

l8o THAITÉ ÉLÉMENTAHŒ

et il eu résulterait

ce qu'il est facile de voir à priori , puisque alors A'^'P" et A^'^P' se confondraient, ainsi que P''M et P'M.

En égsjiant à zéro ou a ou |3, on conservera dans sa place, ou Taxe AC, ou l'axe AB.

2°. Si l'on ne voulait changer que la direction des axes AB -et AC, et qu'on laissât toujours l'origine au point A, les lignes A'"B' et A'^'C tombant, dans ce cas , sur AB et sur AC , on aurait en même temps

a = o et P = o , ce qui donnerait

X = mt -^ pu , j z=z nt -i- qu.

On voit qu'en supposant m=i et n = o , d'où il résulterai t. o: = t -\- pu ^ y = qu ^ on ferait coïncider la ligne A"' B" avec A"'B', et que, par conséquent, on n'aurait changé que la direction de l'ordonnée 5 on prouverait de même que x == mt et y = 7it-\- u sont les valeurs de x et de j^5 relatives au changement de la direction des abscisses.

123. Il faut observer qu'il y a entre les quantités m , n, p et q^ qui dépendent de la direction des nouvelles coordonnées , une relation nécessaire , en sorte qu'on ne peut les prendre toutes les quatre arbitrairement; car si, connaissant l'angle des axes primitifs A"'B' et A"'C', on se donnait encore les angles B''A^''B' et C"M^'B^\ la position des nouveaux axes A''^B'' et A'^'C serait entièrement déterminée par ces trois angles : aussi, lorsque trois des quantités m, n^p cl q sont connues, on construit aisément les axes des deux systèmes de coordonnées.

En effet, soient données m, n et p] on tirera d^abord une ligne quelconque, pour représenter Taxe A'^'B', et prenant sur celte ligne une grandeur arbitraire A'^'R, on

DE TRIGONOMÉTRIE. l8l

construira un triangle A"^RP'', dont les côtés A'"R, P'^R et A^P'' soient entre eux comme les quantités m, « et i ; Je côte P^'R sera parallèle à Taxe A'^'C, et le côté A'" F' donnera l'axe A'^'B''.

Considérant ensuite que si l'on prolongeait P'R jusqu'à la rencontre de M"C"^ les triangles A"^RD et V"QM. seraient semblables , comme ayant leurs côtés parallèles , et qu'on aurait

a"'r:A^d::p"Q:p"m, ou ::/?:i;

on voit que A'^'D, étant déterminé par cette proportion , suffit pour achever le triangle A'"RD et obtenir l'autre axe A!"C. Le rapport des côtés A"'D et DR donnera la quantité q.

Lorsqu'on passera d'un système connu de coordonnées à un autre système également connu, les quantités m, n^p etç^ calculées suivant leurs définitions , auront entre elles la relation dont on vient de parler, mais il suit, de ce qui précède, que la position de Torigine étant donnée, on ne peut déterminer la direction des nouveaux axes, de manière à satisfaire à plus de deux conditions différentes , et que , dans les expressions x = mt-\- pu-i- a^ y= nt~i-qu-i- j3, les quantités x et j", t et u ne sauraient être les coordonnées d'un même point, relativement à deux systèmes de coordonnées droites et parallèles , tant que m, n, p et q seront quelconques. Voici un moyen très-simple de trouver la relation qui doit exister entre ces quantités.

Si l'on mène par le point M , les droites MG et MA , respectivement perpendiculaires sur A^'^B' et A'^'IV, et qu'on suppose connus les angles MP'B' == C'A'''B' et MP''B';=C"A'"B'', on aura le rapport de P'M à P'G, et celui de P"M à P'^H. Nommant g le premier et a le second, il en résultera

P'G = P'M X g ot P'' H = V' M X /' ;

iSa TRAITÉ ÉLÉMEINTAmE

tirant ensuite A'" M, et représentant A'''P' el P'M par x' et j'y les triangles obliquangles A'T'M et A'''P"M donneront

A'"M = A'^P' -i- FM 4- 2 A'^P' X P'G = ^" 4- f 4- 2^x'y,

A'^M = A'^P" 4- P"M 4- 2 A^'P' X P"H = t' ^ u' ^ ihtu.

En égalant ces deux expressions de A''' M, il viendra

^" 4- y 4- 2 g-x' j' = ^'4-tt^4- ^htu\

mettant pour x' ety' leurs valeurs mt -h pu et nt-{-f]u^ on aura