w/? 4- «7 4- g' («/? 4- mq )] m = ^* 4- m* 4- 2 A/a
Cette équation devant avoir lieu , quelle que soit la position du point M, il faut qu'elle se vérifie toujours indépendamment de t et de u , condition qui donne les trois équations
m- 4-/2*4- 2gmn = i, p^ -h q^ -h ^gpq = i, mp -h nq -h g{np '^ mq )== h.
li^n chassant g des deux premières , le résultat
(/w' -h n^)pq — (p^ -h q^)mn =^pq — mn
exprimera les conditions auxquelles doivent satisfaire les quantités m, n^ p eiq,
124. On suppose, le plus souvent, que les nouvelles coordonnées zi et ^ se rencontrent à angle droit, ainsi que les premières *, dans ce cas , les équations ci-dessus se simplifient beaucoup. Les angles MP'B' et MP"B^^ devenant droits , P'G ou gy\ et P^'H o\x.hu s'évanouissent , en sorte qu'on a seulement
m' 4- fi^ = ly
jpp ~i^ nq :z.z o\
DE TRIGONOMÉTRIE. l8S
tVoù Ton tire
/;«'/>' zz: I — n^ — 7' -f- w'iy^ ;
et 5 à cause de mp = — //^y, il vient
Comparant ce résultat avec l'équation m' -f- n^ = i , on trouve çf = m 5 ce qui donne p = —t n : on a donc enfin
en observant que les quantités m et w dépendent l'une de l'autre, en vertu de l'équation m' -H n* =: i .
L^ fis* ^'5 construite pour ce cas particulier, fait voir que m est le cosinus de l'angle B''A"'B', que n en est le sinus , et qu'on a
A"P' = A'"R — P"Q = mt—nu, P'M == P"R -h QM = fU 4- rnuy
comme je viens de le trouver (*).
(*) Rien ne serait plus aisé que de changer, non-seulement ici, mais encore dans tout ce qui précède, les dénominations des lettres niy n, p et q, en sinus ou cosinus des angles compris entre les axes des coordonnées , et Ton aurait alors les formules rapportées dans plusieurs ouvrages , qu*on a publiés après les premières éditions de celui-ci; mais la notation que j'ai adoptée abrège les expressions ^ et conserve mieux Télégance analytique. C'est sans doute par cette raison que Lagrangc et Monge ont généralement préféré, dans les transformations des coordonnées que renferment leurs écrits, de simples dénominations littérales, aux lignes trigonomctriques, que d'ailleurs Euler avait introduites dans ces calculs, dès 17/18.
La position respective des quatre axes qui se coupent au point A"', étant déterminée par trois des angles qu'ils font deux à deux , on peut choibir de plusieurs manières les données de la question : la suivante me parait assez simple.
Je pose (^.5o)
B''A'"B' = 9, CA'^G'^^, C'A'"B'=a>, d'où
B"A'"C'=w~p, C"A^'B' = oi-^;
puis faisant altenliou qu'en vertu du parallélisme des droUos r'R, Q1V1
l84 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Pour changer à la fois , dans ce cas , l'origine des coordonnées et la direction de leurs axes, il faudra donc
et A'"C', P"M et A'^'C", P^Q et A'"B', les angles A^'R?" et P^QM sont sup — pléments de C'A'''B', les angles A^'P^'R et B"A'"C', MP"Q et C'A'^B'', P"MQ et Ç,"hr'Q/ sont égaux, j'aurai , d'après le n» 122,
^ A^^^R sînB^^A^^X^ sin(6) — y) '" - A'" P" "~ sin C A'" B' ~ sin w '
P^^R • sinB^^A^^^B^ sinj?
" "" AT P" — biu C A" B' ~" sin w '
P^Q 8inC^^A^X^ sin^ ^~ P"]VÏ ~ 8inC'A"'B' ~ sinw!
QM sinC^A^^B^ sin(6)>-^) ^"" P"]VÏ T sinC'A'"B' "~ sine»
Il résultç de là que
A"'P' = x'=îi^(^L=l£l. + !!^„,
sin 6i sin (a
,__ , sinp sin(w — é)
smc>) sincv
11 n'est plus besoin de considérer aucune équation de condition, puisqu'il n'y a dans le calcul que les quantités nécessaires à la détermination des systèmes des coordonnées. D'ailleurs ces équations de condition sont implicitement comprises dans les désignations de sinus et de cosinus , puisque sin a* -h cos a' = i .
Si Ton suppose que l'angle C'A^'B' des axes primitifs soit droit, on aura sin 6) = i, et il viendra seulement
x' =:t cos p H- « sin ^, y = t sin 5? -h w cos ^.
Il est visible que l'angle C'^A'^'B" des axes des nouvelles coordonnées est exprimé en général par (u .— ( ? + ^ ) ; s'il devait être droit en même temps que celui des axes primitifs , on aurait
iq — j, — ^ = iî; d'où ^ = — y,
sin^ = — sinç>, cos ^ = cos ç? (23),
et , par conséquent ,
x' =zt cos p — u siq 9? ,
y z=zt sin y -H B cos ç? ,
ainsi qu'on le déduirait immédiatement de la fg. 5i, où l'axe A'^C tombe de l'autre côté de l'axe A'"C', par rapport à l'axe A'^B', circonstance exprimée par le changement de signe de l'angle ^.
DE T»If»>'>Mi:TRÎF l>5
pKMIC
CB mat egaid à rÂpu^o>n
cc foD ne pooira dispcks^r alor» eue de trvM5 qumtito « stToir : s. ^ et Viuie des quantirés m« •:.
iS. Je Tiis exposer mainteiunt les simplîâcatici.» qn'oD peut apporter à réqnAtion gêDêrale
(i) Ajr=T-Bjr. -ï-Cx=-i- D* — Er = F.
pv le moren de la traDsformation des coordonnées « en œ cessant pas de les prendre perpendiculairvs ontiv elles. Si Ton fait
X =r mt — /iif -T- 2 , V = 'it -^ mu -*- r ,
le résultat de la substitution de ces valeurs dau$ Tê^pialion (i) sera encore une équation complète du 5iH\nul d<^ gré, en If et f; mais comme on y aura intnxluit tn>is quantités arbitraires , on pourra s'imposer autant de (XMiditîons qui simplifient ce résultat « égaler, par exemple . à zéro les coefficients des quantités ut , t et u , alin faire disparaître les termes qui en sont adectés : on ol tiendra alors une équation de la forme
semblable aux deux premières du n** i20. Cette forme est remarquable, i** en ce que les deux valeurs de f étant égales et de signes différents^ il s'ensuit que Taxe des nouvelles abscisses u est un diamètre (Hl); a*^ en ce que chaque valeur de m, prise positivement et négativement, donnant les mêmes valeurs pour /, il en ivsulle que Forigine des m, placée sur le milieu du diamètre, est le centre de la courbe (H4).
Le calcul devient plus simple lorsqu'au lieu (relier-
l86 TRAITÉ ÉLÉMENTAIE£
luer en même temps , par les expressions ci-dessus , les changements d'origine et de direction des coordonnées, on transporte d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes. Si , pour cela , on prend
Téquation (i) deviendra
I Ay » -+- BxY -f- Gr"
(2) } -i-(2Ap-+-Bfl-f-D)/-h(2Ca-4-Bp-i-E) x' ( 4-Ap'4-Bap +Ca»-hDp4-Ea=:F.
Les quantités a et |3 étant toutes deux arbitraires, on peut en disposer pour faire disparaître les termes aficctés de xf et de y\ en posant les équations
(a) 2 Ap 4- Ba -f-D = o, 2 Ca -4- Bf -h E = o,
desquelles on tire
