Tous les cas de l'équation générale
Af 4- Bxx 4- Cj:' •+- Dj 4- E jc = F
sont donc compris dans les trois transformées
À'r^4-C'tt-^=F',
A'r'^=E'tt',
les deux dernières répondant au seul cas où 4 AC = E la première à tous les autres.
Les trois formes indiquées dans le n° 120 se retrou dans les deux premières équations ci-dessus, avec la s différence que les coordonnées sont maintenant perpc culaires entre elles ] et , pour celte raison , on appelle «
DE TRIGONOMÉTRIE. ig3
lesL diamètres auxquels sont alors rapportées les courbes que représentent ces équations , dont je vais rappeler les droonstances principales.
i^ Si les quantités A' et C sont toutes deux positives, ce qtn répond aux cas de Féquation générale , dans lesquels ^ AC — B* a le signe -H , la transformée
donnant
appartient à une ellipse (120).
On en trouve les demi-axes 01 et OL (Jig* Sa) en chercliant la valeur de u lorsque t = o , et celle de t lorsque u = o : on obtient ainsi
^i représentant ces lignes par a et 2», on en conclut
-, = a\ d'où C' = -,
ttH- — = 1, d*oà / = ±-V«' — '*'' o^ a^ a
ï'ésultat qui est semblable à celui du n° 115, et qui se construit de même.
Le cas actuel comprend aussi l'équation du cercle, qui se présente quand C :^ A', puisque alors la transformée devient
A'(^'+ «')=F', ou ^^H-M^'zrtp,
et que les coordonnées sont à angle droit.
L'équation A't* -f- C'w' = F' devient absurde quand ,
TRIGOWOMÉTRIF. , lO'' édl't. l3
A' et C demeurant positifs , F' est négative ; mais elle peii. i se vérifier en faisant f = o , m = o , lorsque F' = o , et ne représente alors que le point où est l'origine des coordori.nées : c'est l'ellîpse réduite à son centre (H6). En mettant dans la valeur de F^ (page 187) celles de a et de j3, on exprimera sans peine , par les coefficients de l'équation (i ) , la condition qu'elle doit remplir pour signifier quelque chose.
2*^. Si A' et C sont de signes diflerents, ce qui répond au cas où 4 AC — B' a le signe — , l'équation en t et u prend nécessairement une de ces formes :
et, si l'on met pour A' et C leurs valeurs en a et i, jl vient , après les réductions ,
^--=,, d'où r = ±-v/«' + «',
Ces deux équations appartiennent à des hyperboles (120) \ mais la première est traversée par l'axe des t^ et non par celui des m, parce qu'on ne peut y faire ? = o : le contraire a lieu pour la seconde.
Il faut remarquer que, quoique la valeur. f=: v^ — i*, qui répond à m = o dans la seconde, soit imaginaire, on ne laisse pas d'élever au centre O (^g:- 53) une perpendiculaire 0L = v/i* = i, et que, par analogie avec l'ellipse, on appelle second axe la ligne LU double de OL ; mais on en distingue, par le nom d'aa:e transverse y la ligne II' qui rencontre la courbe , ce que ne saurait faire la ligne hU.
Lorsque C'= A', les axes deviennent égaux , et l'hyperbole est éqidlatère.
ut TBIGOXOMLTRIE. Iq5
ot TisiMe que. quand F = o . les équations; do THy- ^ ^f poMe se rednisent à
>n I ^"*'*P'«>cnlent plus que deux IΣ:nes dit)îtes (118). Lç.} J 3*- Quand on a 4 AC = R*, la transformée éiani
AV= = E'«\ ou r=zh %/-,«'.
appartient à une* parabole qui reucoutit? son axe IR {fis* ^4) ^ Torigine des coordonnées t' et fi'.
Qiund E' = o et que les équations (n') (page 19a) saccordent, il vient A'f'^ = o. résultat qui^ donnant deux fois t' = o , indique Taxe IB , sur lequel les branches de la parabole tendent à se réunir lorsque E' diminue.
La dernière transformée
A'r»-hD'r=F,
ne donnant aussi pour t que deux valeurs (létermînétvs , indique deux droites parallèles à Taxe des u.
Enfin, il est à propos de remarquer ([U(* rtMiuation
est commune à l'ellipse, à l'hyperbole et à la parabole : on a la première de ces courbes quand A' et (V sont de même signe, la seconde lorsqu'ils sont de signes difVé^ rents, et la troisième lorsque C = o.
Le point sur lequel se trouve Torigine des cooixJonnées étant placé à Tune des extrémités de Taxe se nomme le sommet. Dans l'ellipse et dans Tliypcrbole , il y a deux sommets marqués I et I' {fig* 52 et 53) ; la parabole; n'eu ayant qu'un seul [fig- 54) n'a point de centre, et c'e»t pour cela que son équation ne saurait prendre la ioriiir
196 TWAITÉ ÉLÉMENTAIRE
129. Après avoir reconnu , par les formules des numéros précédents , à quelle espèce de lignes se rapporte tel cas particulier qu'on voudra de Féquatîon générale, on a encore besoin, pour tracer cette ligne, d'établir les axes des coordonnées de la transformée , par rapport aux axes primitifs, et de construire les quantités A', C\ F' ou E'; c'est h quoi le lecteur, tant soit peu habitué à particulariser des formules générales , ne saurait éprouver de difficultés : aussi , je ne pense pas qu'il soit nécessaire, pour des opérations qui ne sont point de celles qu'on pratique souvent , d'entrer dans une énumération de règles presque toujours effacées de la mémoire lorsqu'il arrive d'en avoir besoin ; et l'exemple suivant , quoique très-simple , suffi ra, d^ailleurs, pour en montrer l'utilité.
Soit l'équation
.r/- -H D j -h E Jr = F ;
en la comparant à Téquation (i) , on en conclura
A^o, B=:i, C=:o, 4AC = o, B»=:i;
et> puisque 4 AC n'est pas égal à B', c'est à la transformée
que se rapporte le cas que Ton considère. On trouve ensuite (pages 186 et 187)
a = — D, ? = — E, r=rF-i-DE,
puis (page 189)
et y par conséquent^
^f^ — ja» = F-f-DE, Ott t»— a^=3(F-+-DE):
la courbe cherchée est donc une hyperbole dont les deux
demi-axes s<int égaux à va(l* -^ t)V) - et traversée par
cdui des t (138J. En remontant aux transformations opérées par les valeurs
x^ = mt — nu, y^rne-^m/ty
on Yoit d'abord que l'origine des / et des u répond au point où JTrrra, y = (3 : prenant donc {/ig* 55) les distances JiA! = — D, AA' == — E , le point A"'' sera cette origine, dalculant ensuite la valeur de m , ou du cosinus de Tangle cjue forme l'axe des t avec celui des x, on trouvera le
iiombi'e "y=? qui répond à o^,5, et faisant l'angle B"A"^A"
«gai à 0^,5, puis menant K'"Q!' perpendiculairement à A'W^ on aura les axes des t et des u ; prenant enfin A"'I
et A'^T H- ^2 (F -h DE) , on déterminera les sommets I et I' de l'hyperbole qui est le lieu de l'équation proposée.
La même marche conduira toujours au résultat, pour cpielque exemple que ce soit; et j^ai choisi le précédent, déjà traité dans le u^ 1 20 , afin de prouver que la courbe indiquée dans ce numéro, par les asymptotes, est une hyperbole, et d'en trouver les axes (*).
Souvent aussi on cherche quelle est là courbe douée d'une propriété particulière , qu'on ignore appartenir à une courbe déjà connue; mais alors l'équation relative à cette propriété rentre dans quelques-unes des équations
{*) On pourrait déduire immédiatement de réquatioii générale des lignes da second ordre, l'équation de Thyporbole, par rapport à ses asymptotes, en transformant les coordonnées rectangles en d'autres dont l'angle soit indéterminé. On introduirait alors quatre quantités arbil^ii%s( 125) dont on disposerait pour faire disparaître les termes ufTectéR de t', h', f et u , ce qui réduirait Téquation générale du deuxième degré à U forme B' ur =1 F'; mais on trouverait que les quantités m et n n'ont des ▼•leurs réelles que dans le cas où /| AC — B' a le signe -— , c'est-à-dire pour l'hyperbole seulement.
198 TRAITÉ KLÉMENTAIBK
qui ont été discutées : c'est ce que montreront les questions suivantes.
130. Trouver V équation d*une courbe telle, que si l'on mène de chacun de ses points M (fig. Sa) , û deux points fixes y F et¥\ les droites MF et MF', la somme de ces lignes soit égale à une ligne donnée.
Si l'on représente par 2 a la ligne donnée , par 2 c la distance FF' des points fixes, en prenant pour origine des coordonnées le point O, miJieu de FF', en sorte que OF = OF' = c , et faisant OP = j:, PM = ;^, on trouvera
Les triangles PMF, PMF', rectangles en P, dounant
MF = \/fP V Pm', MF' = V^F'pV Pm' on obtiendra
MF = sj^c-xY-^f, MF' = ^{c.-\-xY -f-r»; mais par l'énoncé on a , sur toute la courbe cherchée,
