MF + MF
si donc on pose MF = «z , il viendra MF' = 2 a — z , et par conséquent
En élevant au carré, pour faire disparaître les radicaux ^ il en résultera
Z' = c' 7.CX -^ X"^ ■+" ^' >
4 a' — 4 ^^ 4- ** == c' 4- 2 CJ7 -h a:' -+- j^' ;
retranchant la seconde de ces équations de la première t, il restera
— ^0} -\- ^az:=: — ^cx ^ d'où
rt'^ — ex
mm ^^m^ •
substituant enfin cette valeur de z dans la première expression de ^*, on parviendra à l'équation cherchée, qui sera , après les réductions ,
Cette équation, n'étant que du second degré, montre que la courbe cherchée ne peut être que Tune de celles qui ont été discutées précédemment ; et pour reconnaître à quelle espèce elle appartient, je donne à son équation la forme
En la comparant alors avec A't* -h C u* = F' , après avoir écrit dans cette dernière y el x pour t et u, on aura
A' =a\ C = ûr' — c\ F' = û* — a^c" = a»(a> — c'),
d'où l'on conclura qu'elle est celle d'une ellipse, puisque, c étant moindre que a, les quantités A', C, F' sont essentiellement positives (128). En posant, pour abréger, a* — c* = i*, il viendra
d'où Ton tirera
y = do. — si à* — x^.
Les demi-axes 01 et OL de cette ellipse sont respectivement a et i ; et comme i' = û' — c', on tire de là
c» = a^ — b\ c=:\Ja^ — b\
ce qui fait voir que lorsqu'on ne connaît que les axes II' et LL' d'une ellipse, on peut trouver, sur le plus grand des deux , les points F et F' pour lesquels MF -h MF^=. II', en décrivant du point L, comme centre, et d'un rayon égal à la moitié du grand axe II', un arc de cercle, car, aux intersections F et F' de cet arc
à IH^ TRAITE ÉLÉMENTAIRE
kI^ wrvk Ji**c Taxe 11 . on ai
Or = Or=\ FL — OL=% «»— *^-
l.Vttottct' du prolAènie vjue je viens de nésoodre oflre iw'^K' a:»e pcv(>4:tete coomiaxte à toabs les dlipscs, saTmr : ^p*f «.^ j£vVf»7<tf Àrï -''î^e>' MF tft MF - éfm'on nomme nxvMJi^ ^^^ar<* wftf't.^îf* rfir Tcctzs fixes F et F', pris >air Jif i^xncwc xjKV * ^ ^a V^ wcr-TeCe foyers . «*f toujours
l?l C<fCî.' vcvccTcoe 3,-a3«s ix 3n^y«9L très^-âmple de r.vit^^c xx:jL:r: >i ïvcrts rx\:ir ^'jjmfn i» «dUpscs, /<Jt «ik^mf i^f V^> ittvîrr^ £xx 3ii:frn;3BeBC ceotiim. En ^^JStrc . $r itj: ^rcr.T: F . -.vataK «acrrî . et if «ii ravon
orc «T 0!f.*\-?i: . î< ^jx iîTîStj j; ^cîîijiac w mr eenfinp le point V H ^ ^^or ^vft it £ rii'-rntof F M iatrt le premier ;^>«v« ^"V ^x ''tw vl . ^a «cr--»^ tb: secumi onde, il oArçvriL V ^r^n^w ,^ itfuA ^ijn2t >L -îc ît . ^gm appur-
JiJ^ivs . AT AMj'*t ,M i;> mi?r»atc trbc hx. u t ilc , Elm de U n-.ïï»i ÏV.-V.VV»- ;i ^-^uj^i*: T'en: srcnmï-î £jacBBtpfais
■« <'^'!**i»»v ."lurs^ *v^i ^*î^ vr*" OTtousî iOL ^ zisw par m m:>»*v.'.nvMx ^v^nîmi n trvan: dc*. ivnxi2& P «£ F les
J)E THIGONOMETRIE. 20I
L'équation y =.±~ \ a} — x* fournit une construction par points , très-commode dans la pratique. Ayant décrit du centre O de FelUpse demandée (Jig- 56) deux deûiii-cercles , l'un sur le grand axe et Tautre sur le petit, pris pour diamètre , et mené un grand nombre de rayons ON, ON', etc., on abaissera sur l'axe II' les perpendiculaires PN, P'N' etc., et l'on mènera par les points R, R', etc., où les rayons ON, ON', etc., rencontrent le plus petit des deux cercles, les droites RM, R'M', etc., parallèles à II' 5 les points M, M', etc., que ces parallèles détermineront sur les perpendiculaires PN, P'N', etc., appartiendront à T ellipse cherchée. Par l'opération que je viens d'indiquer, on n'obtient que la moitié de cette courbe ; mais on l'aura tout entière en répétant la construction au-dessous de l'axe II'.
Pour reconnaître l'exactitude de cette construction , il suffit d'observer qu'en vertu du parallélisme des droites RM et II', on a
ON : OR : : pn : pm ;
car, en faisant ON = a, OR = i, OP = a:, il en résultera
d'où
PN =r V ON — OP' = >Ja^ — a:%
a :b :: >/a' — X' : pm,
PM=: -y/a» — j:'=j(*).
(*) Cette construction donne aux valeurs de x et de / une forme remarquable. Si Ton désigne par <j> l'angle NOP, il vient OP = aco89; et comme PM est égale à la perpendiculaire qu'on abaisserait du point R sur OP, il en résulte que PM = & sin ç? : on a donc
X =1: fl cos ç> , y = b sin cp .
x' ^' Ces valeurs étant substituées dans réquation de l'ellipse T ~^ m ^ *' ^*
aO'2 TllAlTÉ ÉLÉMENTAIRE
13^2. Je modifierai dans cet article le problème que j'ai résolu dans le numéro précédent, et je demanderai qu'on ait MF' — MF = IF = 2a (fig. 53) au lieu de MF -f- MF' =2^5 c'est-à-dire que la différence des rayons vecteurs soit constante. En gardant d^ailleurs les dénominations de Tarticle cité, on aura
MF = V^FpV Pm'= 3 = s/{c — a:)'-h JS
MF'= VFpVpm'= 2a+zr=: V^(c-ha;}'^-h/% d'où Ton tirera
^2 ri: c' — '2CJ? -+- x' H- y% 4^^ -f- ^az 4- a^ = c' -h 7,cx H- j:' 4- y' ;
retranchant la première de ces équations de la seconde, on obtiendra
^a} -^ ^az = ^cxj d'où 2 =
ex fl*
Avec cette valeur de >z , on parviendra à une équation qui , par le développement, se réduit à
Dans le cas actuel , où c ^ a , ilfaut prendre i' = c* — a* , ce qui donne
équation appartenant à l'hyperbole : cette courbe jouit donc de la propriété, que la différence de ses rctfons vecteurs MF et MF' est égale à Vaxe transverse IF, sur lequel se trouvent les foyers F et F'.
J'ai déjà fait remarquer que l'hyperbole n^avait, à proprement parler, qu'un axe (128), mais que, pour
vérifieront indépendamment de l'angle ç?. Ceci est le cas le plus simple d!une transformation par laquelle M. Ivory a beaucoup facilité la solution d'un problème relatif à l'attraction de^ sphéroïdes.
DE TRIGONOMÉTRIE. ao3
conserver Tanalogie, on concevait un second axe UL mené par le point O, perpendiculairement au premier; b exprime la longueur OL de la moitié de cet axe, et
l'équation 6* = c* — û*, donnant c = \ja} -h i', fait voir que pour trouver les foyers F et F', il faut prendre les distances OF et OF' égales à l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur les deux demi-axes OI et OL.
133. La propriété dont jouissent les foyers F et F' peut servir à la construction de l'hyperbole par points. Pour cela , du point F, comme centre , et d'un rayon FM , qui ne soit pas moindre que IF, mais d'ailleurs quelconque, on .décrira un arc de cercle, puis on prendra un rayon F' M plus grand ou moindre que le premier, d'une quantité égale à II', et le cercle décrit sur ce dernier, du point F' comme centre, coupera le premier dans deux points M et M' appartenant à Thyperbole.
Pour décrire une portion quelconque d'hyperbole par un mouvement continu , on assujettit une règle à tourner autour du point F'; on fixe à l'extrémité R de cette règle et au point F, un fil dont la longueur soit moindre que F'R, de la quantité II' 5 on fait ensuite tourner la règle en appuyant contre elle, avec un style M, le fil RMF, de manière qu'il demeure toujours tendu : le style M trace ainsi un arc de courbe qui appartient à l'hyperbole dont l'axe est II' et dont les foyers sont F et F'.
134. Je me proposerai encore de tromper V équation d^une courbe telle y que chacun de ses points soit autant éloigné de la droite AC, donnée de position (fig. 54) , que d^un point fixe F, également donné de position.
Si l'on prend sur la droite AB, menée par le point P\ perpendiculairement à AC , un point I situé au milieu de la distance AF, ce point appartiendra nécessairement à la courbe cherchée, puisqu'il sera autant éloigné de la
ao4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRK
(Iroîte AC que du point E. Faisant
IF = AI = c', lP = x, PM=:j,
ou aura , pour un point quelconque M , la distance
QM = AP = AU- IP = c' -+- X,
et le triangle rectangle FPM donnera
MF = v/fP V Pm' = v/(c' — ar)»-+-^^ puisque FP 5= IF — IP. En développant , on trouvera
MF = s/ç'^ — 2 (;':c -h x' -f- /^ Mais par Fénoncé de la question , QM = MF : donc
En élevant au carré, et réduisant, on obtient ic*x-=. — ic'x-^y"^ ou y'^z=^c'x^
équation à la parabole (128) .
135, Pour construire la courbe, d'après la propriété que je viens d'employer à la recherche de son équation, il faut , d'un rayon FM ]> IF, mais d'ailleurs arbitraire, décrire un cercle , faire AP = FM , et mener par le point P, parallèlement à la ligne AC , une droite PM : le point M où cette droite coupera le cercle appartiendra à la parabole demandée: car il est évident que la droite QM étant parallèle et égale à AP sera égale à FM.
Cette même propriété donne aussi le moyen de tracer la courbe par un mouvement continu. Pour cela , on place le long de AC une règle sur laquelle on fait mouvoir une équerre dont l'un des côtés représente la droite QE 5 on attache au point F l'extrémité d'un fil dont la longueur est égale à QE, et dont l'autre extrémité est fixée au point E; on tend ce fil par un style en rappliquant contre le côté QE , et le style décrit une portion de parabole.
DE TRIGONOMÉTRIE. t2o5
136. La question qui a conduit ci-dessus à Tcquation de la parabole peut être modifiée de manière à embrasser les trois courbes du second degré. Il suffit pour cela de l'énoncer ainsi : Trousser V équation d'une courbe dans laquelle la distance entre un point quelconque M et le point fixe F (fig. 67) soit dans un rapport constant ai^ec la distance MQ entre le même point M et une droite AC , donnée de position.
Soit 1 : 71 ce rapport, et que du point F on tire sur AC la perpendiculaire AB; il est évident que la* courbe cherchée rencontre cette dernière dans un point I, tel que
IF : AI : : I : /f ;
en sorte que si Ton désigne IF par c', il en résultera
Faisant IP = a:, PM=j^, il viendra, en vertu du triangle rectangle PMF, de même que ci-dessus ,
MF = V^(c'— :c)»H-jS et comme QM = AP = AI -f- IP = ne' -\- x^ on aura
v/(c' — x)*-f-j^ : ne' -\-x :: i : n,
d'où l'on tirera
/îc' -f- ^ = /î \/(c' — a:y -hX^ •
élevant au carré , on obtiendra cuifiu
n^jr^ 4- (n^ — i) x^ — tt{n + 1 ) ne' x = o.
Celte équation, d'une forme absolument semblable à l'équation A'f" -h Cm'' — E'it' =: o du n" 128, appartiendra à l'ellipse , à Thyperbole ou à la parabole , selon^ que l'on aura n > i, n<^i^ ou /i = 1, et montre par conséquent que la propriété qui fait le sujet de la question proposée est coranuinc aux trois courb(;s du se-
cond degré , par rapport auxquelles la droite AC est nom — raée directrice.
En donnant à Téquation ci-dessus la forme
et en remarquant que plus n augmente, plus les fractions
— et - diminuent, on verra que dans la supposition
de n infinie, elle doit se réduire à
équation qui est celle d*un cercle dont le rayon est c', et pour lequel l'origine des abscisses est placée à l'une des extrémités du diamètre (95).
137. On a vu, dans le n® 128, que l'ellipse, l'hyperbole et la parabole peuvent être données par une seul*? équation 5 et il est remarquable que celle-ci peut aussi se déduire immédiatement de Fune quelconque des équa—
tions
qui , se rapportant au centre , semblent particulières à Tellipse et à l'hyperbole. Pour cela, il suflSt de transporter l'origine des coordonnées à l'un des sommets des courbes que représentent ces équations. En effet , sî dans les fig. 52 et 53 on fait IP = x', on aura, par la
première ,
a: ou OP = OI — IP = û — ^',
par la seconde ,
X ou OP = 01 + IP = a -h x'-,
la substitution de ces valeurs changera les équations rapportées ci-dessus, en
DE TRIGONOMÉTnu:. 207
qui reviendront à
j' = px' jc'% j^ = px' H j:'2
si Ton pose = /'? et l'une ne différera de l'autre que
par le signe de a. L'inspection de la fig, 53 montre aussi que, l'abscisse IP étant regardée comme positive, l'axe IF est nécessairement négatif.
En mettant pour &' sa valeur relative, tant à l'ellipse qu'à l'hyperbole , il vient
mais il est à propos d'introduire la distance IF à la place de c, qui représente la distance OF 5 et , en faisant IF = c', on trouve, par la fig, 52 ,
c ou OF = 01 — . IF = a — c' ;
par la fig, 53,
c ou OF = 01 -H IF = a 4- c' :
ces valeurs donnent
expressions qui ne dilïerent encore que par le signe de a. Toutes les deux étant réunies dans la formule
A.ac'zïZ2c^ , , 2c^ P= =F =:4c' —
ont également pour limite
lorsqu'on suppose a infini ; mais, dans ce cas, les équations
v' =3 px^ ziz — .r'' ^ ^^ 2 «
208 TRAITÉ KLÉMENTAIRE
se réduisent à
f^ = px' ou ^* = 4 ^^9
par F anéantissement de la fraction — » et donnent ainsi
l'équation de la parabole (134).
L'équation
est donc propre à représenter chacune des lignes du second ordre ; elle appartiendra à l'ellipse quand a sera positif, et au cercle si p = 2a'^ à l'hyperbole quand a sera négatif, et à la parabole lorsque a sera infini (*).
138. La quantité p se nomme le paramètre: c'est, dans l'ellipse et dans l'hyperbole , une troisième proportionnelle aux deux axes , puisque sa valeur
conduit à la proportion ^
!f.ai ib :: 9.b : py
et, dans les trois courbes, elle exprime la valeur de la double ordonnée qui pasâe par le foyer. En effet , lorsqu'on prend x^ = c', il vient
j' = oc' zp -^ c" = ^ =t — ^ ,
(*) L'expression p = , qui se rapporte à Vellipse, prendrait une valeur négative si l'on y supposait c'^2<ï, et Téquation
y^z=pv' — x'*, se changeant en
la
appartiendrait à l'hyperbole ; mais c' exprimerait alors la distance ot^^^ le sommet et le foyer le pins éloigné , ou ÏF' [fg. 53 ).
d'où l'on conclut
i39. Les équations
y = px^ zp-^x
étant mises sous la forme
' HÙ^ ' *^ 2âf^ '*
on en déduit les suivantes :
x(2,a — jc') aa a;'(2fl-h^') 2a
desquelles il résulte que le carré de l'ordonnée PM est dans un rapport constant avec le produit des lignes IP et l'P, qui sont respectivement xJ et 2« — a:' pour l'ellipse [fig' 52) , x' et 2a-{-x' pour Thyperbole [fig> 53). Ces distances du pied de l'ordonnée à chacun des sommets de la courbe sont nommées abscisses, et il suit de ce qui précède, que, dans V ellipse et dans V hyperbole , les carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des abscisses correspondantes. En effet, si Ton désigne par X' une abscisse différente de x'^ mais toujours comptée du même point, et par Y l'ordonnée correspondante, on aura
Y^ = -^(2«X' — X'M, Y^ = -^(2ûX'-h X'^'), 2a^ 2a' '
d'où l'on tirera
pour l'ellipse,
y*':Y-^ ::x'(2a -hx'):X'{?.n 4-X')
TRIGONOMÉTRIE, \0^'éliU. I :f
