IO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
pour l'hyperbole, en supprimant, dans le dernier rapport de chacune de ces proportions, le facteur com-
mun
L'équation de la parabole j^ -h px' ^ étant traitée de la même manière, donne seulement
ce qui fait voir que , dans la parabole , les carrés des ordonnées sont comme les abscisses correspondantes.
140. Il suit, de la comparaison des formules rapportées dans lesn^* 120 et 128, qu'il y a pour chaque courbe du second degré , au moins deux systèmes de coordonnées dans lesquels F équation de cette courbe se présente sous la forme la plus simple : l'un de ces systèmes est celui des axes, et je vais montrer qu'il y a un nombre infini de coordonnées qui jouissent de la même propriété. Pour le faire, j'appliquerai la transformation des coordonnées aux équations relatives aux axes.
Soit premièrement celle de Tellipse j' = — (a* — x'),
qui revient à
j'observe d'abord qu'il est inutile de déplacer l'origine des coordonnées qu'il faut laisser au centre; et, n'ayant à changer que la direction des axes, je prends seulement
xz=mt-\'ptiy yz=int-^qu (122).
.Te laisse indéterminé l'angle que les nouvelles coordonnées doivent faire entre elles, et dont le cosinus est représenté par A (123), et je ne tiendrai, par conséquent, aucun compte de l'équation
wp + nq -4r g[rtp~\- niq) z= h ;
DE TRIGONOMÉTRIE. a I I
il n'en sera pas de même des équations
parce que , les coordonnées x et y étant réciproquement perpendiculaires , il en résulte g* = o , d'où
des quatre quantités m , n , p et y, il n'en restera donc que deux dont il soit possible de disposer. En faisant la sub^ stitution des valeurs de x et dej^, dans l'équation
on obtiendra
[à^n}~\-b'^m'^)t^-\-l{a}nq -h b^mp)ut -h(û^^'-4- b^p^) u' = a^ b' ; et , pour simplifier cette dernière, je poserai
a^nq -4- b^mp = o , ce qui la réduit à
{a^n^ -4- b'm^)t^ H- {a'q' -+- b'p*)u^ = û^^'. Pour comparer cette équation avec
on les mettra sous la forme
elles ne pourront alors devenir identiques , indépendamment de f et de M, que par la supposition de
ce qui donnera
21 a TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
Pour s^ assurer de la possibilité de cette transforma tioi il faut voir si la détermination des quantités m, n, p et ^ n'est sujette à aucune exception. L'équation
à^nq + b'^mp = o ,
mise sous la forme
fera toujours. connaître le rapport àe p k q^ ou celui de ^* à n. Si Ton en tire
et si, pour abréger, on fait
il viendra
q — pr-,
substituant dans ^t?' -f- y' = i , on en déduira
d'où l'on conclura
SJi -f- r^ v^i 4-r'
expressions qui demeureront toujours réelles , quelle qU-^ soit r. L'équation m' -h /i' = i, ne pouvant détermina ^' qu'une des deux quantités m etn, laisse absolument ijci-—
déterminé le rapport — qui entre dans les expression* ^
de p et de y, lesquelles, par cette raison, devienne^'^*' susceptibles d'une infinité de valeurs différentes : il y ^ donc, en effet, une infinité de systèmes de coordonné *^^ dans lesquels l'équation de l'ellipse a la forme
DE TRIGOINOMÉTRIE. ai 3
absolument semblable à celle de l'équation aux axes , ^
i 41 . En opérant sur Téquation de l'hyperbole
b' j^ = -- (x' — a') ou a'x^ — b'x' = — a' b\
conime je viens de le faire sur celle de l'ellipse, on aura sucessivement
(a'/z^ — b^tn^) f ' 4- 2 [a}nq — b^mp) ut a^nq — b^mp = o,
et , comparant la dernière équation à
on trouvera
Les expressions de /? et de ^ seront de la même forme dans te cas-ci que dans le précédent , et pourront donner, par conséquent, une infinité de valeurs, d'après celles
qu'on assignera au rapport — : on sera donc fondé à tirer
pour l'hyperbole une conclusion pareille à celle qui vient d'être énoncée pouç l'ellipse.
142. Je passe à la parabole : son équation j*= ^c'x ne peut être transformée en une autre qui lui soit semblable , par les formules
x=mt'\-pUy y z::z nt ■+■ qu.
On obtient , en effet , la résultante
n'e^ 4- 2 riqut -+- q^ u^ = 4 ^' ( '"^ "♦" /^'' ) i.
ai4 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
et, si l'on voulait y faire disparaître les termes alTect^ de ut^ u* et ï , il faudrait poser g = o, m = 05 mais // s'ensuivrait p = 1^ w=i, j:=u,j^ = f, et Ton retomberait sur les coordonnées primitives : il n'en serait pas ainsi en déplaçant en même temps Forigine. Quand on substitue à j: et à^ leurs valeurs les plus générales,
il vient
-h 2p(/îr-f- ^«*) — ^c' [nit -^ pu) > =0;
et pouvant alors disposer de quatre quantités , à cause des deux nouvelles indéterminées a et |3, on fera disparaître les termes affectés de i^^, de f , et les termes indépendants de t et de u , en posant
La première de ces équations peut être satisfaite de deux manières : soit par /i == o , soit par y = o ; mais n = o donne m=o dans la seconde équation , ce qui ne saurait s'accorder avec l'équation m} -+- n* = 1, En adoptant la valeur ^ = o, le terme q^u* s'évanouit, et il ne reste que
nU^ = ^(/pu ou t^ = ^ ^"^ -i
équation semblable à celle qui se rapporte à l'axe de la courbe. La supposition de ^ = 0, introduite dans l'équation /;• -H y* == I , donne
de 2(3/ï — ^c'm-=:.o on tire
et cette équation , combinée avec //** + n*= i , détermine
DE TRIGOKOMÉTRIE. ai5
^ ei m. L'équation p' — 4^^' = o détermine aussi a, lorsque |3 est connu; mais cette dernière quantité reste susceptible de telle valeur qu'on voudra.
II est à propos d'observer ici que les propriétés énoncées dans le n** 139, par rapport aux axes , ont également lieu par rapport aux diamètres conjugués, puisqu'elles ne dépendent pas de l'angle des coordonnées , mais de la forme seule des équations des trois courbes , qui est la même pour les diamètres conjugués que pour les axes.
143. Les remarques précédentes conduisent à cette question : Un diamètre quelconque étant donné, troui^er la position de son conjugué. On la résoudra en observant que lorsque, dans la j^g^. 5o, au n^ 122, l'angle CAB, ou celui que font entre eux les axes des coordonnées primitives x, j^, est droit, les triangles P^A'^'R et P^'MQ deviennent rectangles , Tun en R , l'autre en Q -, d'où il
suit que m = ., ,, représente le cosinus de l'angle P" A"' R
ou WM"W ^ et que n = Tiir^ ^^ ^st le sinus ; que
p = —— représente le cosinus de l'angle MP''Q ou
CA"'B'^ et que q = ■ ^ en est le sinus.
Si l'on rapporte ces mêmes dénominations sur les Jig. 58 et 59, en prenant II' pour l'axe des x^ OF poui* celui des t , et OH pour celui des u , il viendra
sin rui
— tang FOI ,
"" cos FOI
sin HOI "■ cos HOI
= tang HOI ;
et,
comme
les
équations
n^nq~\- b
^mp — 0,
ti^nq — h'
■mp rr: 0,
:ilb TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
obtenues dans les n^* 1 iO et 141 , peuvent être mises sous la forme
il en résultera
blang FOI lang HOI = qi — »
le signe supérieur se rapportant à Tellipse, et rinférieur à Thyperbole : on déterminera donc aisément l'un des angles FOI , HOI quand Tautre sera connu.
144. Ou peut substituer, dans Tellipse {J!g» 58), aux angles FOI et HOI les coordonnées des points F et H ; car^ si Ton désigne
OE par a, EF par S,
OG par a', GH par p\
il Tiendra
EF à ta.gFOI=: = ..
tangHOI=— = êl, ^ OG z'
et, par conséquente
a ae' ~ ~ /i» '
ce qui donne
a^ p^' -h b' oa' = o.
De plus , les coordonnées 2 et jS , ai et ,5', appartenant à Tellipse, doivent satisfaire aux équations
a-^'2^b'7L'z=ia'b'.
il n'en restera donc qu une seule qui soit arbitraire.
Dans lliyperbole (fig. Sp) , a el ^ n appartiendront plus à un point de la courbe, puisque le diamètre OF ne la traverse pas : mais comme il ne s*agit ici qae de la
direction de ce diamètre , on peut prendre , au lieu du point F, le point R , correspondant à Tabscisse 01 , et faire en conséquence
a = OI = û, p=:IR, ce qui donue
tangFOI=ê et &&^ = -, ^ a a a' a"
d'où
a pp' — b-'cx! = o.
En déterminant j3 par son moyen, cette équation fera connaître le point R ; mais il faudra la combiner avec
si c'est le point H que l'on cherche.
145. Dans la parabok , on a ^ = o ; il suit de là que l'axe des m, OH {fig> 60) est parallèle à celui des x, et que sa position ne dépend que du point O, où il rencontre la courbe , pour lequel < = o , m = o. Alors a et (3 représentent les coordonnées IG et OG 5 on a j3* = 4 c' a ,
et l'équation - = —^ donne la tangente trigonométrique
de l'angle compris entre l'axe des t et celui des u.
Je ferai remarquer, en passant , que lorsqu'on a trouvé la position du diamètre qui est le conjugué d'un diamètre donné , on a celle de la tangente de la courbe , au point où elle rencontre ce dernier, point qu'on peut prendre arbitrairement. En effet (121), dans Tellipse et l'hyperbole [fig* 58 et 59) , le diamètre OF est parallèle à la tangente HT, et dans la parabole {fig. 60), ce diamètre est lui-même tangent à la courbe en O.
Réciproquement, quand on sait mener la tangente dans un point quelconque de la courbe, on en conclut sur-le-champ la position du diamètre conjugué.
