Dans les équations
121 8 TRAITÉ ÉLV^MENTAIHE
dout la première appartient à Fellipse, et la seconde rhyperbole , les lettres ci et V représentent les deux de diamètres conjugués ; en eilet, quanc^f=: o, il vient
a = «' ou OH = a' {fig. 58 et Sg) ;
et lorsque m = o, il vient
t^=ib'^ ou f'= — 6'%
ce qui donne, pour l'hyperbole comme pour l'ellipse,
0¥=ib' (128).
11 est facile de voir que les quantités w, w, p, q peuven ^i
au moyen des équations w* 4- 7^* = i , /?* -f- ^* = i , et
de celles qui résultent des expressions de a!^ et de V S être éliminées de Téquation de condition qui détermii^^ne la position respective des diamètres conjugués, et qu'c==)n doit parvenir à une relation entre ces lignes et les dem==^iaxes. Le calcul s'effectue fort simplement de la maniée- re suivante.
On tire d'abord des expressions de a'* et i'*, relatii^^^es à l'ellipse (140) , les équations
a'» à" q" H- a'^ b^p" = a* b\ b'^ «' n^ -4- b'^ b^ m" = a^ b\ et, en y joignant respectivement
on aura deux systèmes d'équations, l'un en q^ etp*-, Vautre en /i' et w*. Le premier donne sur-le-champ
, a' b' -- fl^» b^ ^ b^ (a' — a'») "f' — a'' a' — a'» b' ~" ^{a'^b')'
a'a' — d^b^ aUa'^ — b^) Pour obtenir ii^ et m*, il suffit de changer a' en b' dai*^
DE TRIGOINOMÉTIUE. 219
ces valeurs, et il vient
aUb'^^b')
nrzzz — ^ ' •
Cela posé, l'équation de condition
à* nq -{• b^ mp -=2 o (140) '^evient à
a}nq =z — b"^ mp^
^t en la carrant, on obtient
Sî Ton substitue, dans cette dernière, les valeurs de 7i^, ^/^*, q^y p^y on pourra effacer les dénominateurs*, car ils Seront les mêmes dans les deux membres, et Ton aura
I)éveloppant , réduisant et décomposant en facteurs, il viendra
puis supprimant le facteur commun a* — è', on trouvera enfin .
a'» 4- ^'» = «^ -h 6% ou 5hVÔF=^VoL.
Les expressions de a'* et de è'*, relatives à l'hypcr- 3>ole (141), conduisant aux équations
«t l'équation de condition étant
a^ nq — b^ mp = o ,
on voit qu'il suffira d'airecler l>^ et è'^ du signe — , dans le calcul précédent, pour l'approprier au cas actuel, et
220 TIIAITÉ ÉLÉMENTAIUE
qu'on en tirera par conséquent
a'^ ^ b'' — a'' -^ h\ ou OH*— Ôf'=:ÔÎ ~ Ôl':
donc la somme des carrés des demi- diamètres conjugués dans l'ellipse j ou leur différence dans V hyperbole est égale à la somme des carrés des denii^axes ^ ou à leur différence,
. 147. Si l'on multiplie entre elles les expressions de a^ et de V^ dans l'ellipse, on obtiendra
n'n}q^-^ aH'^ri'p^'^à'b^m^q^ H- b^ m' p^''
mais en carrant l'équation
a^ nq -\- b^ mp =z o , il vient
a^ n- q^ -\- 2 d^ b^ mnpq + b'^ m^ p"^ = o , ou
rt* n- </' -f- b^ ffi^p^ =z — ia^ b"^ mnpq ;
et avec cette valeur on fera disparaître le premier et le dernier terme du dénominateur de l'expression de a'^V^t qui deviendra
«2 b^ rî'p^ ^7^ a' b^ mnpq -{-a^b'm^q^ ( /i/?|— mq)'
prenant de part et d'autre la racine carrée , on aura
ab
a' b^ = 9 ou a' b' (np — mq) = ab.
np — mq ^
Il est important de remarquer que la quantité np — ^(j n'est autre chose que le sinus de l'angle compris entre les deux diamètres conjugués OF et OH (Jig» 58) ; car, n et m étant le sinus et le cosinus de l'angle FOI, q et p^^ sinus et le cosinus de l'angle HOI , la formule
sin FOH = sin (FOI + HOI)
= sin FOI cos HOI -i- cos FOI sin UOI (11)
donne
sin FOH = /?/? — /7i<7,
si l'on fait attention que l'angle HOI , tombant au-dessous
de Taxe II', a un sinus négatif, çr = p^» qu'il faut
rendre positif dans cette formule , en prenant — (f an lieu de 4- ^ : on aura donc
a' b' sin FOH = ab.
Cela posé, il est facile de voir que si du point F on abaisse sur OH la perpendiculaire FQ, il viendra
FQ = OF sin FOH = b' sin FOH ,
et que, par conséquent, Taire du parallélogramme
FH = ÔH X FQ = a' A' sin FOH;
ci.insi le rectangle formé sur les demi-axes rt et i , ou OI ot OL , est égal au parallélogramme FH , construit sur les cîeux demi-diamètres conjugués OF et OH.
On reconnaîtra que la même propriété a lieu dans l'hyperbole, en formant de même le produit a'^h'^\ mais il i^audra prendre garde que , dans \afig, Sg , l'angle
FOH = FOI — HOI.
On déduit de là cette propriété remarquable , que les ^jarallélo grammes construits sur les diamètres cojijuguésy ^oit de r ellipse j soit de r hyperbole, sont équivalents nu ^^ectangle des axes, puisque ces parallélogrammes, ainsi €r[ue le montrent les figures, sont composés de quatre autres Xpsirallélogrammes égaux , chacun, au quart du rectangle c3es axes.
148. Si Ton désigne par s le sinus de l'angle FOU , on aura l'équation
a o s -t: au ^
i'i2 TRAITÉ ÉLÉMENTAIRK
que l'on combinera avec
fl'» 4- h"" zzza'-^-b'
dans l'ellipse, et avec
fl'2 — b'^ = a^'^b^
dans l'hyperbole , pour trouver les demî-axes aetb^ lorsqu'on ne connaîtra que deux demî-diamètres conjugués et l'angle qu'ils font entre eux. Quand on aura les axes, on arrivera facilement aux angles qu'ils font avec les diamètres conjugués , en se servant des expressions de ç*, /;*, n', m*, rapportées dans le n° 146. Ces expressions
donnent
et par l'extraction de la racine carrée , on parvient aux tangentes des angles HOI , FOI.
Une remarque qui se présente aisément , et que je ne dois pas omettre, c'est qu'il y a dans une ellipse quelconque deux diamètres conjugués égaux entre eux. En elFet, si dans les équations
a"" -+- b'^ = /ï^ + b\ a' b's = ab,
on suppose a^ = b\ on en tire les valeurs
a^ -h b^ ab 7.ab
(|ui font èonnaitre la grandeur de ces diamètres et l'angle qu ils comprennent entre eux. La supposition de a' = i', dans les valeurs de ^% p% /i* et m*, rend égales la première et la troisième, la seconde et la quatrième : on a donc tout ce qu'il faut pour déterminer, par rapport aux axes , la position de ces diamètres.
Lorsqu'on y rapporte l'équation de l'ellipse , elle prend la forme
DE TRIGONOMÉTRIE. i^S
et devient semblable à celle du cercle : la seule différence qui subsiste est l'obliquité des coordonnées t et m ; aussi peut-on construire cette ellipse, en inclinant les coordonnées du cercle sous l'angle que font les diamètres dont je parle : de là résulte un procédé assez simple pour tracer une ellipse par points , lorsque Ton connaît ses diamètres conjugués égaux.
Je laisserai au lecteur le soin d'effectuer la construction des expressions rapportées ci-dessus. Ce que j'ai dit me parait remplir l'objet que je m'étais proposé, savoir, de montrer comment on peut déduire les principales propriétés des lignes du second degré , par une mélïiode vraiment analytique et indépendante des constructions géométriques.
149. Ce n'est pas seulement en les rapportant à un axe des abscisses, par des ordonnées parallèles entre elles, comme on l'a vu jusqu'ici, que les courbes peuvent être définies par des équations ^ il est à propos de remarquer que tout système de lignes , propre à déterminer les différents points d'une courbe, peut également en fournir une équation caractéristique.
La relation
n^ — ex ex
obtenue dans le n^ 130, entre le rayon vecteur FM= r (/ig^. 52) et l'abscisse OP = a:,' peut être considérée comme telle , par rapport à l'ellipse. On en déduit une construction très-simple de cette courbe 5 car, en se don-» Tiant X, on obtiendra par des lignes proportionnelles la
«[uantité — 9 et retranchant cette quantité de a , on aura
-s ou FM; ensuite, du point F, comme centre, et d'un **ayon égal à FM , on décrira un arc de cercle qui la perpendiculaire PM, dans un point M app;
TeUipse. Si Tabscissc tombait dans la partie OI' de Taxe,
X devenant négatif, il viendrait pour ce cas z = a H
Cette équation diffère des précédentes en ce que
l'ordonnée, au lieu d'être constamment parallèle à une
même droite, change sans cesse de direction, et n'est
assujettie qu'à passer par un point donné •, aussi l'équation
ex z =z a 5 quoique du premier degré, n'appartient
plus à une ligne droite, comme lorsque les coordonnées sont respectivement parallèles à des axes fixes.
Dans le système que je considère maintenant, il «st assez naturel de placer l'origine des abscisses au point T, duquel parlent les nouvelles ordonnées ou les rayons v^ acteurs, et de remplacer, en conséquence, OP = j: ^jpar W=z x\ ce qui donne
r on OP=rOF — FP = c-— a;',
cic — x') a"^ — r' ex'
a an
mettant Ix^ au lieu de a' — c', on aura
h'''\-cx'
Enfin, le plus souvent, on introduit l'angle IFM ^^M place de l'abscisse j:', ce qui se fait en observant que d. ^ws le triangle rectangle FMP on a
FP = FM ces PFM , d'où
J7' = — 2 cos IFM (23);
nommant donc y l'angle IM, on obtiendra
b"^ — cz ces G) h'
- — ou
a a -\- V ros ri,
DE TIUGONOMÉTRIE. 2^5
Cette dernière équation est d'un grand usage dans Inapplication de l'analyse à TAstronomie : on la nommé équation polaire^ comme toutes celles dont les ordonnées partent d'un même point qu'on appelle le pôle de la courbe.
L'équation z = > relative à l'hyperbole (132),
étant soiunîse aux transformations précédentes, devient
successivement
b^ — a^ — ex'
b^ cz cos Q)
ou
a -^ c cos (f
Dans la parabole, en faisant FM = ^ (J^S' ^4)? ^'t à cause que FM = QM (134) , on a
mais , X représentant IP, il vieil t
a: = IF— FP=:c' — x', d'où
z = le' X' y
le'
z =: O.c! — Z cos q> , OU Z = -
-h cos y
150. Les trois équations polaires obtenues ci-dessus peuvent se lier entre elles, en introduisant dans les deux premières, au lieu du second axe ft, le paramètre, d'après lequel on a. b^ = \ap (137). Par cette substitution, l'équation de l'ellipse, se changeant en
a -+• c cos q* e
^ I H — cos flp
devient celle de Thyperbole quand a est négatif et
TRIGONOMÉTRIE, I O* fV///. l5
aaô TRAITÉ ÉLKMKNTAIHE
c > a (*) , celle de la parabole quand on fait c = a et a infini , d'où il résulte p •=. ê^c ,
On peut encore faire - = e? , ce qui donnera
aU — c') ' ^ ' I-h Éf COS ç
Sous cette forme, on aura Tellipse quand e <i^ le cercle si e = o-, l'hyperbole si e > i et que a soit ^ négatif^ la parabole si e = i et que a soit infini.
Enfin, si Ton veut chasser a du résultat précédent, et le retaiplacer par la distance du sommet au foyer, on emploiera la relation c^^a — c' (137) , qui donne
ae z^ a — c\ d*où a = 9
et
