A'O' = CO

ce qui prouve que tous les rayons de la section A'C IV D' sont égaux, qu'elle est par conséquent un cercle.

n est à propos d'observer que la surface du cône s'étend indéfiniment, soit au-dessous du plan de la base ACBD, soit au-dessus du sommet S, puisque rien ne limite la longueur de la droite géaératriec^ et il est aisé de sentir que le prolongement Si de la droite SB décrit un second cône placé dans une situation inverse de celle du prenûer.

452. Après ces préliminaires, je suppose que le plan coupant ne soit plus parallèle à la base ACBD du cône> mais qu'il la rencontre suivant une droite GH ( fig. 62 ) \ j ^abaisse sur cette ligne, du centre O, la perpendiculaire OG , par laquelle je fais passer le plan ASB. 11 est visible que si le plan coupant rencontre en même temps

aîi8 TRAITÉ ÉLTÎMENTAIRE

les deux côt<5s SA ci SB , et que par conséquent il n'entre point dans le cône supérieur aSh^ la section IMFm sera une courbe fertnée ou rentrante en elle-même.

Cela posé, je mène parallèlement à la base ACBD uii plan VMFm , qui rencontre le plan coupant IMI'm; la commune section Mw de ces deux plans sera parallèle à GH , et par conséquent perpendiculaire à E F •, enfin la courbe EMFm sera un cercle (numéro précédent), en

sorte que PM = PE X PF. Mais si par les points I et I ' on mène les droites IL et VU parallèles à AB, les triangles IPE et II'L', évidemment semblable? , donneront

ir -.TL' :: pi :pe,

d'où

rï7xpi

PE —- — Par les triangles l'PF, FIL , on aura de même

ir : IL : : pr : pf, d'où pf =r= ^, -,

puis , mettant ces valeurs dans celle de PM ^ on trouvera

PM = ^'iL><it X PÏX pp.

Désignant le diamètre IF par art, le facteur déterminé — -p — par p, l'abscisse PI par x , d'où il suit

. PI' = 2rt X'y

enfin l'ordonnée PM par j^. on aura

équation de l'ellipse rapportée à ses axes ou à deux diamètres conjugués (139, 142}.