est à propos de remarquer que si le triangle SU
DK TIUGOJNOMÉTRIE, 229
était semblable au triangle SAI^, sans que la ligne IF fût parallèle à AB, ce qui aurait lieu si Tangle SU' était égal à SAB, alors SFI le serait à SBA ; les triangles EIP et Fl'P, devenant aussi semblables entre eux , comme les précédents, donneraient
PE : pr : : pi : pf, ou pe x pf = pFx pT,
et parce que dans le cercle EMFm on a
Pm' = PÊ X PF, OQ aurait aussi
m = pr x^.
La section IMI'm serait donc elle-même un cercle dans ce cas, si les ordonnées PM étaient perpendiculaires au dialûètre II'; mais pour que cette dernière condition soit remplie , il faut que la comniune section GH du plan coupant et de la base du cône soit perpendiculaire à la fois sur la droite GA et sur la droite GI, c'est-à-dire qu'elle soit perpendiculaire au plan SAB mené par l'axe , et que par conséquent celui-ci soit lui-même perpendiculaire au plan de la base du cône et au plan coupant. Alors lié plan coupant est dit antipavallèle à celui de la base; et il en résulte que, dans un cône à base circulaire, la section antiparallèle à cette base est un cercle , de même que la section parallèle.
ISé, Si le plan coupant était, par rapport aux côtés • du triangle ASB, dans la situation que représente la Jig. 63 , c'est-à-dire qu'il pût rencontrer en mênie temps les deux cônes opposés , il produirait sur çliAque cône une courbe infinie , puisqu'une fois entré dans le cône , il n'en sortirait plus. Les deux cônes opposés ne fornaant, à proprement parler, qu'une seule surface, les deux courbes KIAr , K'I' A"' doivent être regardées comme n'en composant qu'une seule. Il est facile de reconnaître déjà une ressem-
aSo TRAITÉ ÉLÉMENTAIKE
blance marquée entre celte courbe et l'hyperbole; mais pour prouver leur identité , il faut de plus retrouver dans la première, une des propriétés caractéristiques de la seconde.
En supposant que le plan ASB soit déterminé comme dans le n° iS2, qu'on ait mené le plan FMFni parallèle à ACBD, enfin les droites IL et VU parallèles à AB, on comparera d'abord les triangles IPE et II'L'; ils donneront
ir : r L' : : PI : pe , d'où pe = ^ ^j^ ^^ '
Passant ensuite aux triangles l'PF et l'IL, on aura
ïlxpF
ir : IL :: Pi'rPF, d'où pf
ir
mais i) dans le cercle EMFm , PM -= PE X PF, et substituant les valeurs de PE et de PF, on obtient
PM = î'ii:^xPÎxPr;
et remplaçant les lignes indiquées ci -dessus par les dénominations algébriques dont on a fait usage dans le n® 152 , on aura seulement à observer que PI' = aa-hx^en sorte
quej^= — (aox -f-a:'), résultat qni appartient à une
hyperbole (139, 142).
i55. Il me reste encore à examiner le cas où le plan ' coupant serait parallèle à l'un des côtés SA ou SB du triangle ASB, ainsi que le montre Isijig' 64- D n^e pourrait alors^rencontrer qu'un seul des deux cônes opposés ,^et il ne s'en dégagerait jamais , en sorte que la section Mhn serait une courbe ouverte et infinie, comme la parabole, avec laquelle je vais prouver qu'elle est identique.
Les plans ASB, EMFm et la ligne IL étant menés dans
DE TRIGONOMÉTRIE. !l3l
les mêmes conditions que ci-dessus i, le parallélisme des lignes IP et SB donue PF = IL; comparant ensuite les triangles semblables IPE et SIL , on aura
ÎL X PÎ
SL: IL :: Pi: PE, d'où pe =
SL
et substituant dans Téquation PM = PE X PF, il viendra
— «IL — PM=-XIP.^^
Désignant alors le facteur détermine — par p, PI par j?,
etPMparj^, on trouvera j^* = pj: , équation de la parabole (139, 142).
156. Les circonstances dans lesquelles los lignes du second degré changent de natui*e , peuvent aussi se voir dans le cône. En effet , si le plan coupant passe par le sommet, sans entrer dans le cône, la section se réduit à un point qui correspond à celui qu'on a remarqué dans le n" 116.
Quand le plan coupant , passant toujours par le sommet,
entre dan^ le cône , on a deux lignes droites ] et si Ton fait
mouvoir le plan parallèlement à lui-même , on obtiendra
une suite d'hyperboles ayant pour asymptotes les droites
ci-dessus, rapportées, ou projetées sur le plan de la
courbe, par des perpendiculaires à ce plan (118 et 128).
E^nfin quand le plan coupant est parallèle à l'un des côtés
SA ou SB, s'il vient à passer par le sommet, il ne fait plus
que toucher le cône suivant une ligne droite, mais qu'on
doit regarder comme double, car elle est la réunion des
deux parties de la parabole , qui s'approchent sans cesse
par le rétrécissement que subit cette courbe , à mesure que
le plan coupant s'approche de son contact avec le cône
(H9etl28).
D'un autre côté, plus on éloigne du sommet du cône,
aSa TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE
mais toujours parallèlement à son côté, le plan coupant, plus la parabole s'ouvre ou s'élargit vers son sommet, et tend par conséquent à s'approcher de la ligne élevée par ce point, perpendiculairement à son axe.
157. Je vais examiner à présent les propriétés des lignes droites qui coupent ou qui touchent les courbes du second degré. Pour suivre la méthode que j'ai employée à l'égard du cercle en particulier (105) , on prendra l'équation
r— P = A(jr--a),
qui appartient à la droite passant par le point dont les coordonnées sont a et |3 , et faisant avec l'axe des abscisses un angle dont la tangente tri gonomé trique est  , on la combinera avec l'équation y^ = mx -f- nx^^ qui rentre dans A'«'« -f- Ci/'* — E'i/' = o (128) , et qui comprend par conséquent les trois courbes du second degré. En faisant, comme dans le n^ 105 ,
on aura
z ^ Az
