VU- A

ar = a 4- A'z, y= p-f- AA'z;

substituant ces valeurs dans l'équation jr^ = mx -+- nx? on obtiendra la transformée

^ ( H-/?a'-f- 2/iaA'2 4-«A'*z'.

Passant tous les termes dans un seul membre, et ordo] nant par rapport à ^ , on trouvera

(A^ — //) A'^z'H- a ( p A — -i w — /*a) A'a 4- P' — //îa— /îV =

ce qui revient à

2(pA-4-|w — /îa) p^ — iwa — n<f?

Dans cette équation, Finconnue ^ représente la distance EM {fig> 65) entre le point donné E et l'un des points d'intersection M et M' de la droite proposée EM, avec la courbe AC \ par le moyen de sa valeur, on parviendra facilement à celles des coordonnées de cette intersection.

Il est évident , par ce qui précède , qu'une ligne droite ne saurait rencontrer en plus de deux points une courbe du second degré,

158. En raisonnant ici comme pour le cas du cercle (107) , on verra que les deux valeurs de z doivent devenir égales lorsque la ligne proposée ne fait plus que toucher la courbe, comme en N, parce que les points M et M' se rapprochent de plus en plus , à mesure que la ligne EM s'approche de EN. La différence des deux valeurs de z comprises dans la formule

étant exprimée par

et donnant toujours la longueur de la courbe MM', devient nulle lorsque les points M et M' coïncident, et fournit , par conséquent , pour le point de contact N, l'équation

En la développant, A'^ disparaîtra comme diviseur commun à tous les termes , cl la résullanle sera Téqua-

a34 TBAITÉ ÉLÉMENTAIRE

tion qui doit donner A et faire connaître par conséque: la position de la droite EN, menée par le point E, tange tiellement à la courbe AC.

Ne voulant considérer que les cas les plus simples, je supposerai que le point E soit pris sur l'axe des abscisG^^s AP (fig' 66) ; il résultera de là que (3 = o, et

équation qui se réduit , après le développement , à

j/w* 4- waA'-l- /la'A' = o, •

et donne

^ — ma — « a'

Cette expression se présente sous une forme imaginaire , mais elle peut devenir réelle par les valeurs particulières que recevront les quantités m , tz et a , et cela arrive pour tous les cas où la position du point E permet de mener, par ce point, une tangente à la courbe proposée .

159. 11 y a encore un cas dans lequel la condition du contact se simplifie beaucoup, c'est lorsque le point donné, étant sur la courbe même , se confond avec celui du contact. En effet, si le point E passe en M (Jig- 65) , il j aura alors entre a et |3 la même relation qu'entre xetj sur la courbe AC, c'est-à-dire que

P» = m a 4- 71 a' ou P' — ma, — « a' = o ,

ce qui réduira l'équation (i) à

• PA— f/w — /îa = o,

d'où Ton tirera

DE TRIGONOMÉTRIK. a35

Telle est l'expression de la tangente de Tangle que doit faire avec l'axe des abscisses , la droite MT, pour toucher la courbe AC.

La position de cette droite serait donnée d'une manière plus commode , si l'on en connaissait un second point : celui qui s'ofFre le plus naturellement est le point T, où elle rencontre l'axe des abscisses, et pour lequel j^ = o , dans Péquation j — ^ = A (x — a) (85). Il résidte

delà

— P=A{x — a) et X — a= — -j- '"

. la quantité x — a , étant la différence des abscisses des points M et T, désigne la portion PT de l'axe AB : mettant donc pour A sa valeur, on aura

PT=:~i ^ (*).

La ligne PT se nomme la sous-tangente^ et lorsqu'elle ^3st construite, on obtient la tangente en joignant le 3point M et le point T par une droite.

160. Pour connaître l'expression de la sous-tangente ^ns chacune des courbes du second degré en particulier, il suffit de comparer successivement les équations

jr^^px—-^ x% x^z=pX'^-^ x^, jr^z=zpxy

avec l'équation y* = mx-h nx*. En observant, comme ci-*dessus , que a et j3 , désignant les coordonnées du point de contact situé sur la courbe , ont entre eux les mêmes relations que x et ^, et substituant en conséquence pour jS* sa valeur, on trouvera, par la première équation appar-

(*) Dans la figure, PT est la somme des lignes AT et AP, parce que l'abscisse AT du point T est négative par rapport à Ta'bscisse AP du point M (76).

•2'56 TIUITK ÉLÉMENTAIBE

tenaulà Pellipse,

d'où

2aB' aaa — a^