PT = 7 Î
par la seconde appartenant à Tliyperbole,
d'où
m =py /i = — ,
p (a -i- ol) a -\- ol
par la troisième enfin , appartenant à la parabole,
d'où
PT= i--=— 2a.
Cette dernière expression , la plus simple des trois , fait voir que, dans la parabole, la souS'-tangente est double {le V abscisse. Le signe — qui l'affecte, ainsi que les autres, montre qu'elle doit être prise sur l'axe AB, à partir du point P, vers le côté où se portent les x négatifs : maïs comme la forme des courbes indique suffisamment de quel côté doit tomber la sous-tangente, je ferai désormais abstraction du signe de son expression.
La construction des preniîères expressions n'offre pas beaucoup de difficulté : on a pour l'ellipse,
^/ — a : 2« — a :: « : — - — ■ — = pt,
pour l'hyperbole ,
//'-h a : 2rt + a :: « : ' = PT;
2 rt a H- a'
DE TRIGONOMÉTRIE. -k3']
ainsi , tout se réduit à trouver des quatrièmes proportion* nelles.
Il est bien remarquable que le second axe b n'entre point dans ces expressions; il en résulte que, pour une même abscisse, la sous- tangente est la même dans toutes les ellipses qui ont le même grand axe, et qu'il en arrive autant aux hyperboles. L'ellipse se changeant en cercle lorsque i = a , on peut mener la tangente à la première de ces courbes par le moyen de celle de la seconde 5 car, si l'on prolonge l'ordonnée pm (Jig. 56) jusqu'à la rencontre du cercle décrit sur le grand axe, et qu'on tire la droite nT tangente à ce cercle, au point /î, la sous-tangente /^T conviendra aussi, d'après ce qui précède, au point m de l'ellipse, dont la tangente s'obtiendra, par conséquent, en joignant ce dernier avec le point T. On aurait une construction semblable pour les hyperboles quelconques , en partant des sous-tangentes de l'hyperbole équilatère (128),
161 . Quand on a la sous-tangente, il est facile d'en déduire les expressions de la tangente, de la sous-normale et de la normale : ce sont les noms qu'on donne aux lignes MT, PR et MR (Jig- 65). La première est la portion de la tangente comprise entre le point de contact et l'axe des abscisses; la seconde est la partie de l'axe des abscisses comprise entre le pied de l'ordonnée PM et le point R, où une droite menée perpendiculairement à la tangente, par le point M, rencontre cet axe-, enfin, la troisième est la longueur même de cette perpendiculaire, mesurée depuis le point M jusqu'à l'axe des abscisses.
1°. Par le triangle PMT, rectangle en P, on a
MT = V PM* -^ Pt!
2°. Les triangles PMT, PMR, semblables entre eux comme étant formés par la perpendiculaire PM, abaissée
de l'angle droit du triangle RMT, rectangle en iVJ , donneront
PM
PT : PM :: pm : pr, d où. pr =
PT
3^. Il résulte du triangle PMR , rectangle en P,
MR= v/pmVpr!
11 est visible que ces formules conviennent à toutes* les courbes, et que, pour les appliquer à l'ellipse pac* exemple, il faut mettre, dans la première et dans la seconde , au lieu de PM et de PT, les valeurs relatives i cette courbe , puis , avec la valeur qu'on obtiendra pour PR et celle de PM , on formera celle de MR ^ il faudra opérer de même par rapport à l'hyperbole et à la parabolç. Je me bornerai à rapporter ici les résultats de ces substitutions, qui n'ont par elles-mêmes aucune difficulté. Pour l'ellipse.
PT = , MT= i /~ 2«a — a* -h
^aoL — <x}V a — a
pour l'hyperbole ,
PR = ~(«-f-a), MR= i/-(2/ia-f-a-')-f--l«~ha)^
pour la parabole,
PT = 2a, MT = \/pcc -h 4a ,
On obtient des résultais un peu plus sim|d[es, à l'égard
des deux premières courbes, lorsque Ton compte les abscisses à partir du centre , ce qu'on ne peut faire pour la troisième, qui en est dépourvue (128). Pour parvenir à ces résultats , il suffît de faire a = a — a' dans l'ellipse , et a = a' — a dans l'hyperbole (137) ; a' sera la nouvelle abscisse prise à partir du centre : ces substitutions et les réductions qui s'ensuivent étant effectuées, il viendra, pour l'ellipse,
^2 Qt'2 /A» / ^2 ^''i\ 2
