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162. Quelque élégante que doive paraître la méthode employée ci-dessus , pour mener les tangentes aux courbes du second degré, je crois ne pas devoir passer sous silence les solutions synthétiques les plus simples qui ont été données de ce problème, et je vais les exposer succinctement.

I®. Par le point M, pris sur l'ellipse (jftg> 52), on mè^ nera les rayons vecteurs FM et F' M 5 on prolongera l'un des deux,'F'M par exemple, d'une quantité MG égale à l'autre, FM ; on tirera ensuite FG, et la droite MH , perpendiculaire sur le milieu de FG, sera tangente au point M, car elle n'aura que ce point de commun avec la courbe. En effet, si l'on prend un autre point quelconque N sur cette droite, et qu'on tire les droites FIN ,

F'N, on aura

F'N-f-NG>F G,

a4o TRAITÉ ÉLÉMENTAIUE

ce qui revient à

F'N-f-FN>F'M-hFM>ir;

car, par la construction, MG = FM, NG = FN-, et comme il est aisé de voir que , pour les points placés au dedans de Tcllipse , la somme des distances à chacun des foyers est moindre que le grand axe, il suit de ce qui précède que le point N est hors de Tellipse, puisque la somme de ses rayons vecteurs est plus grande que Taxe ir.

Cette construction montre aussi que les angles FMH, F'MN, formés par les rayons vecteurs et la tangente, sont égaux, et que la noimale au point M diviserait en deux parties égales l'angle FMF'.

2^. Lorsque le point proposé M est sur Thyperbolc

[fig* 53), il faut porter le plus petit rayon vecteur FM

sur le plus grand F' M, et non pas sur le prolongement -,

achevant la construction comme ci-dessus , on aura , pour

ce cas,