F N — FN<F'G<F'M — FM

ce qui prouve que le point N n'est pas sur l'hyperbole. 11 n'est pas placé dans l'intérieur de cette courbe, car il faudrait, pour que cela fut, que la différence des distances à chacun des foyers surpassât le grand axe. En effet , si Ton tire F' m, on a

F'/w — F/71 = F'/w + Mw — FM ;

et, comme ¥' m -f- Mm surpasse F' M, il s'ensuit

F'/« — F//i>F'M— FM.

L'égalité des angles FMH et F'MH, ou RMN, résulte encore de cette construction.

3°. Lorsque le point M est sur une parabole (fig. 54),

DE TRIGONOMÉTRIE. a4l

il n'y a plus qu'un rayon vecteur, mais Tautre est remplacé par la droite QM parallèle à Taxe IB, et le point Q tient lieu du point G, puisque QM = FM. Considérant ensuite un point N placé avant ou après le contact, on a en même temps QN et FN > ON : le point N est donc hors de la courbe.

De la construction ci-dessus, on déduit l'égalité des angles FMH , QMH •, et il faut observer que le dernier est égal à NME, formé par la tangente et la droite ME parallèle à Taxe IB.

Si Ton appliquait le calcul à ces constructions, on trouverait les résultats obtenus dans le numéro précédent.

163. La considération des tangentes de Thyperbole conduit à une particularité très-remarquable , de laquelle il résulte que , quoique son cours s'étende à l'infini , chacune de ses branches demeure néanmoins toujours renfermée entre les côtés d'un certain angle, sans pouvoir jamais les atteindre, ainsi qu'on le voit dans la Jig, 67. Cette circonstance , qui s est présentée d une autre manière dans le n° 118, se retrouve encore en observant la marche de la sous-tangente PT, à mesure que le point de contact M s'avance sur la courbe et s'éloigne du point 1, ou , ce qui est la même chose, à mesure que l'abscisse OP augmente. En désignant OP par x, on a

PT:=flZZf! (161);

et, comme

OT = OP — PT, il vient

OT = r —

On voit évidemment , par ce résultat , que plus x croit , plus OT diminue , et plus le point T s'approche du point O,

TRIGONOMÉTRIE, 10^ Cciit, l6

qu'il ne peut cependant jamais atteindre, puisqu'une fraction ne peut jamais devenir absolument nulle, tant que son numérateur ne s'anéantit pas : le point O doit donc être regardé comme la limite vers laquelle le point T tend sans cesse par le progrès de Tabscisse. Il faut examiner maintenant les changements qu'éprouve, dans les mêmes circonstances, l'angle MTP qui détermine la situation de la tangente par rapport à l'axe des abscissee. La tangente trigonométrique de cet angle a pour expression

MP bx

qui, prenant la forme ? lorsqu'on divise ses

deux termes par x^ tend nécessairement vers la quan*

tité - à mesure cfue la fraction — domine , ou à mesure a ^ x^ ^

que X augmente : l'aiigke MTP ne peut donc diminuer

indéfiniment, et la limite qu'il ne saurait atteindre, mais

dont il s'approche sans cesse, est l'angle EOI, dont la

tangente trigonométrique est — L'hyperbole ne peut donc

jamais parvenir à toucher la ligne OE , quelque prolongées qu'on les suppose l'une et l'autre.

Pour construire l'angle EOI, il faut prendre sur Taxe II' une abscisse à volonté , le demi-axe OI par exemple, et le triangle rectangle EOI donnant

El = 01 tang EOI, on aura El = 01 X - = ^ ,

puisque OI == a. Elevant donc au point I la perpendiculaire El =: J, la droite OE , qui joindra les points O et E, sera la limite de toutes les tangentes de la branche IK de l'hyperbole : j'ai déjà dit que cette limite se nomme

asymptote, 11 est évident qu'il en existe une seconde, Oe, placée au-dessous de Taxe II', faisant avee cet axe le même angle que la première , et servant de limite aux tangentes de la branche lA.

164. Il ne sera pas inutile de 'montrer comment on passe de l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes , à celle qui a lieu relativement aux asymptotes. Pour cela, que l'on mène par le point M, parallèlement à l'asymptote Oe, une nouvelle ordonnée QM, et que l'on fasse QO = t , QM = u 5 l'angle EOI compris entre QO, axe des f , et II', axe des a:, aura évidemment pour co-