lE

sinus jr= ï pour sinus — -, et comme

01 = a, IE=A, OB = v/ôl -f- ÏE*= sja^ -+- b\ il en résultera

Sja* -h b^ yja^ -h b^

Considérant ensuite l'axe des w, Oe, on trouvera

ces eO\ = rr— j sin eO\ = 77- ; Oe Oe

mais comme O e = OE , I e = — lE , il viendra

y/a^ -h b^ si à" -h b*

et par les formules générales

X =: mt -h pu f y -=: nt -^ qUy

on obtiendra

fl(rH- a) b{t — u)

Substituant ces valeurs dans T équation

it)

elle se changera, après les réduclions , en

4ftt

= I , ou /a = |(a»-f- ^»).

Cette dernière équaxiou , semblable à la transformée obtenue à la fin du n*^ 120, met bien en évidence la propriété dont jouissent les asymptotes^ car on en tire

" = . ou QM = -ôô'

ce qui montre que T ordonnée QM va toujours en diminuant à mesure que le point Q s'éloigne du point O, mais qu'elle ne peut jamais devenir nulle.

Lorsque Thyperbole proposée est équilatère (128),

b=za\ la tangente de l'angle EOl, exprimée par -»

se réduit alors à i : chaque asymptote fait par conséquent avec Taxe II' un angle égal à o?,5 , et les deux comprennent entre elles un angle droit. L'équation f u = 7 (û* -f- i' ) , devenant f a = | a* , montre que le produit des coordonnées t et u est alors égal à la moitié du carré du demi-axe transverse 01.

Il est à propos de remarquer que si Ton mène par le point I les droites ID et U, respectivement parallèles à Oe et à OE , on formera un losange dont les côtés ID et I^f seront, par rapport aux asymptotes, les coordonnées du point I situé sur Taxe \ on aura par conséquent

ÏD xT5=:ÏD = !(«' 4- b'),

d'où l'on tirera

ID = I s'^T'f\ et en général

QÔ X QM =15!

Dans le cas de l'hyperbole équilatère, le losange J^d devient un carré, puisque Taiiglc DO cl est droit.

Le carré ID équivalent au quart de la somme des carrés des demi-axes de l'hyperbole, est ce que les anciens géomètres désignaient sous le nom de puissance de l'hyperbole .

165. Il est visible que si Ton prolonge les lignes PM et PM', ordonnées relatives à Taxe II', jusqu'à la rencontre des asymptotes OE et Oe, les parties RIR et M'R', qu'interceptent, sur ces ordonnées, chaque branche de courbe et son asymptote, sont égales entre elles : la même propriété a lieu par rapport à une droite quelconque, menée par un point quelconque de l'hyperbole. Si Ton tire, par exemple, IVIN', on aura GM = G'N', quelque position qu'ait MN'. Pour s'en convaincre, on commencera par observer que