GM = G'N

166. Avec le secours de la propriété qui vient d'être démontrée, on décrit bien simplement l'hyperbole par points , lorsqu'on a les asymptotes et un seul point M. On tire par ce point un très-grand nombre de droites comme MN', sur lesquelles on prend la partie GM comprise entre le point M et l'asymptote qui en est la plus voisine , pour la porter de G' en N', ce qui donne un nouveau point N' de la courbe cherchée.

Quand on a les asymptotes , on trouve la direction de l'axe ir, en divisant en deux parties égales l'angle qu'eUes forment 5 et comme la tangente de l'angle EOI donne le rapport des demi-axes a et i (163) , il est aisé de déterminer ces quantités dès qu'on connaît un point de l'hyperbole. L'équation

PM =-r OP —a»)

donne sur-le-champ

A» X ÔP' — Pm'

en représentant par A la quantité -•

167. Outre Thyperbole dont les branches sont Kl A et RTA', les ligues OE et Oe comprennent encore une

duire hjperiMJe HL h^H'L!h\ décrite dans les deux autres angles que forment ces droites , de manière que Taxe trans- ^rse II' de la première est le second axe de la deuxième , qui a pour axe traosverse LL'« second axe de la première. La rdation qu'ont entre elles ces deux courbes les a fait Uonmier hyperboles conjuguées ^ elles ont même puù^ sance, et par conséquent leur équation est la même à l'^rd des asymptotes ; seulement « Tangle de ces lignes ou des coordonnées est pour Tune le supplément de ce qu'il est pour l'autre.

1 68 . On a vu , par la forme de Féquation du cercle ( 94 ) , qu'il fallait trois points pour le déternûner : la même considération s'applique à une courbe quelconque, ^t il est évident qu'il faut en général autant de points que Féquation de la courbe demandée renferme de coefficients nécessaires. L'équation

Aj^» H- Bxj^ 4- Cx> + D^4-Ex= F,

qui appartient aux courbes du second d^ré en général , étant mise sous la forme

X* -f- àxf -f- ex* -i- djr -h ex =: f,

ne contient plus que cinq coefficients b^ c^ d^e et/'; il suffira donc de cinq points pour particulariser la courbe du second degré qu'elle représente. En effet, si les coordonnées de ces points sont respectivement

pi' . p' r r r r î' r'

on formera les cinq équations suivantes ;

P> -h^ap -f-ca* -hd^ -h COL =r /,

P" +fta'p' 4-ra" -f-rfp' -4-ra' =/,

p«2 ^.fta'" p'" -f-ra'"' 4-rfp'" -{-ca"' — /,

N'ayant pour but que de montrer la possibilité, en général , de la détermination des lettres &, c, rf, e, /, et le nombre de conditions qu'elle exige, je ne m'arrêterai pas à eifectuer les calculs qu'entraînerait cette opération, pour lesquels on peut consulter l'ouvrage de M. Puissant, cité à la page i6o , et où l'on trouvera , sur ce sujet et sur ses applications, les détails les plus importants^ je me bornerai à faire observer que ces équations peuvent devenir contradictoires entre elles dans certains cas parlicidiers. S'il arrivait, par exemple, que trois des points donnés fussent en ligne droite, il ne serait pas possible de faire passer une courbe du second degré par ces points , puisque aucune courbe de ce degré ne peut avoir plus de deux points communs avec une même droite (157).

On conçoit que quand la courbe est donnée d'espèce et de position , il faut moins de conditions pour la déterminer. Par exemple , pour achever de particulariser une ellipse dont le centre et le grand axe sont donnés de position, on n'a besoin que de deux points; car on peut alors prendre ce centre pour l'origine des coordonnées, et ce grand axe pour celui des abscisses 5 l'équation

relative à ce cas , ne renferme que deux coefficients ^a^h^ qui se déterminent par les équations

oL-p -+- b'a'' = a'h\

169. J'ai démontré dans le n" 73 que T équation du second degré se construisait par le moyen d'une circonférence de cercle et d'une droite, et dans le n^ 105, que les deux racines étaient données par les deux intersections que peuvent avoir ces lignes , en sorte que l'on considérait l'équation proposée comme résultant de l'éliml-

nation d'une inconnue entre deux équations à deux indéterminées, Tune appartenant à la droite et l'autre au cercle 5 si l'on généralise ce point de vue , on aura le moyen de construire des équations d'un degré quelconque. En effet , si Ton a, par exemple , l'équation

qui peut représenter toute équation du quatrième degré, dont on a fait disparaître le second terme , il est permis de la supposer produite paft' élimination d'une inconnue y^ entre deux équations du second degré, renfermant en même temps x et y^ et appartenant , par conséquent , à deux courbes. Trouver ces équations est un problème indéterminé ; car il y a une infinité de systèmes d'équations qui peuvent conduire à la proposée : on en prend donc une arbitrairement. Soit x* = pjr] on aura

X* =/?»/% et substituant dans l'équation proposée, il viendra

P^X^ — ^*PX H~ c^^ — d* =z Oy ou

Il est aisé de reconnaître que cette équation appartient à une parabole (128); et, pour la mettre sous la forme la plus simple, il suffit de faire disparaître le terme multiplié

par y, ce qui s'effectuera en prenant y = y'

Après la substitution, on aura

?c résultat, qui peut s'écrire ainsi,

aSo TRAITÉ ÉLÉMENTAIKIî:

monlrc que la parabole à laquelle il appartient a pour

paramètre la quantité — i et que son sommet, correspon

dant à j^' = o, a pour abscisse — j~ — • On portera

donc, perpendiculairement à l'axe AB des abscisses (fi S' ^^ ) ^' ^^ ^^^^ ^^^ ordonnées positives , une distance

AA' = — ; la droite A'B', menée parallèlement à AB, sera Taxe à partir duquel on ^ît compter les j^'. On prendra ensuite AD = — -r^ — ? et ayant élevé DI à

angle droit sur AB , le point I sera le sommet de la courbe

dont la position est indiquée par GIH 5 A'I en sera l'axe 5 et connaissant son paramètre , rien ne sera plus facile que de la construire par points, suivant le procédé du n° 135. Quant à la première parabole donnée par l'équation

il est visible qu'elle a son sommet à l'origine A des coordonnées, et pour axe celui des j", AC : elle est donc dans la position EAF. Lorsqu'elle sera construite, les points M, M', M", M'", où elle rencontrera la parabole GIH, auront des abscisses égales aux racines de l'équation proposée 5 puisqu à ces points les valeurs de x satisfont en même temps aux deux équations

desquelles résulte la proposée.

La quantité p, introduite par l'équation de la première parabole, demeurant indéterminée, peut, pour simplifier la construction, recevoir telle valeur qu'on voudra lui assigner, excepté zéro.

Pour représenter le cas le plus général, j'ai dispose

DE TRIGONOMÉTRIE. a5l

Téquation proposée et la figure , de manière que les deux courbes se rencontrassent en quatre points; mais cette circonstance n^aura lieu qu'autant que l'équation proposée aura ses quatre racines réelles. Si, par exemple , Taxe A'I de la parabole GIH tombait au-dessous de AB, ce qui arriverait si le terme b^py avait le signe H- , puisqu'il

faudrait faire alors y =: j , il n'y aurait que deux

intersections au plus *, car il est bien clair que la branche IH ne pourrait plus rencontrer la parabole EAF : dans certains cas même , la courbe GIH se trouvera tout entière au-dessous de EAF, et alors les racines de la proposée seront imaginaires.

On voit , au reste , par cette construction , comme par la théorie des équations , que celles du quatrième degré ne peuvent avoir qu'un nombre pair de racines réelles ,• puisque les deux paraboles EAF et GIH ne peuvent se couper qu'en deux ou en quatre points.

170. Il suit aussi de là que le cercle et la ligne droite, ne se rencontrant pas en plus de deux points , ne peuvent résoudre que des problèmes susceptibles d'être ramenés à des équations du second degré , et ne sauraient , par conséquent , suffire pour ceux qui passent ce degré , tels que les problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l'angle , si fameux dans l'antiquité.

Par le premier, il s'agit de trouver le côté d'un cube dont le volume soit double de celui d'un autre cube donné. Si a est le côté de celui-ci et x le côté de l'autre, on aura cette équation :

^ r= 2 fl% ou a^ — 2 «^ =r O .

Pour la comparer à la proposée , il faut l'amener au

quatrième degré , ce qui se fera en la multipliant par x ,

et l'on aura

r* — là^x = o ;

comparant avec x'' ^- b^ x^ -h c^ JO — t/* = o , il viendra

^=0, r^:= — 2rt%- d •= o.

Les équations des paraboles à construire seront, par

conséquent , x* = pj^ j* = — - x ; et si l'on prend p = a,

elles deviendront

.r' = flj , y^ =z 2ax :

la seconde courbe aura un paramètre double de celui de la première. Ces courbes passeront toutes deux par l'origine A {Jig. 6g) , puisqu'on aura o: = o , jr = o^ dans l'une et dans l'autre en même temps ^ elles s'y couperont, et cette intersection donnera x = o , racine qui vient du facteur introduit pour élever au quatrième degré Féquation à construire. La figure montre que l'on ne peut avoir en outre qu'une seule racine réelle AP ; et , en effet, on a vu, dans les Éléments d'Algèbre^ que l'équation

n'en a pas davantage.

471. Le problème de la trisection de l'angle a pour objet de partager un angle ou un arc en trois parties égales, ce qui s'effectuerait sans peine si, connaissant la corde ou le sinus d*un arc , ou obtenait la corde ou le sinus de son tiers. Cette question n'est qu'un cas particulier de la théorie de la multisection des angles , que je ne saurais exposer ici , mais dont on trouvera les bases dans l'introduction au Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral; l'équation se déduit des formules du n^ 11 , qui donnent

, 4 ces A' — 3 R^ cos k.

ces a A =

Si Ton regarde cos 3 A comme donné , et que l'on prenne cos A pour l'inconnue , on aura , en faisant cos 3 A = «

DE TRIGONOMÉTRIE. a53

et cos A = or 5 celle équation :

qui , étant multipliée par x et comparée à l'équation

donnera

b' = }K\ ^3 = — LR^fl, d* = o.

On aura encore ici une intersection au point A correspondant à la racine x = o^ et les trois autres points d'intersection donneront les trois racines de l'équation

Il semble, au premier coup d'oeil, qu'on ne devrait avoir qu'une racine réelle, et qu'il n'y a qu'une seule manière de partager un arc en trois parties égales ; mais en y réflécliissant ayec un peu d'attention, on reconnaît qu'il y a trois arcs qui doivent satisfaire à la question proposée : car les arcs 3A, 27r + 3A, 4?^ -i- 3A, qui ont le même cosinus (23) , étant divisés par 3, donnent les valeurs

J7r=cosA, JCr^ cOS(j7r -h A), a: = COS (-f-Tr -+- A ) ,

essentiellement différentes (*). On ne peut en avoiid'autres, parce que les arcs 67r-4-3A, Stt + SA, etc., qui ont encore le même cosinus que A, étant divisés par 3 , conduisent aux arcs 27rH-A, 27r + |7r-|-A, etc. , et que

cos(27r -h A) = cos A, cos (2 7r -i- jTT -h- A) = cos (-j-tt -h A), etc.

172. Avant que les méthodes d'approximation eussent atteint le degré de perfection où elles sont portées aujourd'hui , les géomètres s'appliquaient beaucoup à la con-

^^^i^^i^M^— ^1» ■ I — ^■^■^^■^M^»^— I I ■■■■■■■■■■ 1 ■■ I II»-— ^^ !■ I —^^^^i^^i^^^ B^^— ^^— M^ Il m

(*) L'équation ci-dessus tombe , en effet , dans le cas irréductible (Voyez le Complément des Éléments d'Alf^èbre. )

struction des équations , et faisaient tous leurs efforts pour l'effectuer par les courbes les plus simples ou les plus faciles à décrire. C'est ainsi que Halley donna une méthode pour construire les équations du troisième et du quatrième degré par le cercle et la parabole^ et cette méthode a quelque avantage sur celle du n** 169, en ce que le cercle qui remplace une des paraboles se trace par un mouvement continu ] mais le peu d'usage que l'on fait à présent des constructions dispense des détails à cet égard : je n'en indiquerai en conséquence que l'esprit.

En posant l'équation d'une parabole, sous la forme x^ = mjr^ et l'équation générale du cercle ,

si l'on développe cette dernière, et que l'on en chasse j

par sa valeur —y tirée de la première, on obtiendra l'équation

X* — m(2q — /w) x' — im^ px — (r^ — /?' — q^) tn} r= o, semblable à l'équation à construire

et Ton aura, pour déterminer les quatre quantités inconnues m^ p, q et r^ les trois équations

on pourra , par conséquent , disposer de l'une de ces quanti tés pour simplifier les calculs.

Si l'on fait , par exemple , w = i, il viendra

valeurs aisées à construire, et qui donneront la position

DE TRIGONOMÉTRIE. a55

(lu centre et le rayon du cercle à décrire coujointement avec la parabole que fournit l'équalion x^ = by. Je n'entrerai point dans la discussion des cas qui pourraient exiger un autre choix dans la valeur assignée à l'une des inconnues^ et je terminerai ce Traité par l'exposition d une méthode qui réunit à l'avantage de s'appliquer aux équations d'un degré quelconque, celui de peindre les résultats obtenus analytiquement par la théorie de la composition des équations.

173. Pour fixer les idées, je supposerai que l'équation à construire soit seulement a + bx -\- cx^ -H dx^ = o , et je ferai

Puisque, dans les points où la courbe représentée par cette dernière équation rencontrera l'axe des abscisses, on auraj^ = o, il s'ensuit que les abscisses de ces points seront les racines de l'équation proposée : la question sçra donc réduite à construire la courbe dont il s'agit, ce qui est facile, après avoir rendu son équation homogène, en y restituant les puissances de l'unité (71 ). On obtiendra , en effet ,

bx

cx^

dx^

résultat dont chaque terme se construirait séparément par les lignes proportionnelles (68) ^ mais voici un moyen de lier entre elles d'une manière commode ces différentes opérations.

On mènera [fig» 70) l'axe AB des abscisses^ par l'origine A on élèvera, perpendiculairement à cet axe, la droite AC , qui sera celui des y \ et ayant pris sur le premier la partie AD = /« , et mené DE parallèle à AC , on portera sur cette dernière, des parties

AFrrrt, FCr=rA, GH=c, HI = r/;

loG TUAITÉ lil^KMENTAlRE

on tirera ensuite IK parallèle à AB-, enjoindra les points H et K par une ligne qui coupera en L la ligne PR élevée perpendiculairement à AB , sur F abscisse AP = j: 5 on mènera ML parallèle à AB, pour déterminer sur DE le point M 5 que Ton joindra avec le point G 5 par le point N , où MG rencontrera PR, ou tirera ON parallèle encore à AB, et joignant le point O avec le point F, la droite OF donnera, sur PR , un point Q tel que PQ =y.

En effet, on a, par les triangles semblables IKH et H'LH ,

d'où

iK(/?):H'L(.r) :: m{ci) : hh' = — ,

GH' = GH 4- HB' = c 4- -- ;

puis, des triangles H'MG et G'NG, il résulte

fl'M(/0:G'N(^) :: GH'fr-i-~^: gg' = — 4- — ,

et 5 par conséquent ,

FG' z= FG 4- GG' =r ^ 4- — 4- -- ;

enfin, des triangles G'OF, F'QF on conclut

g'0(/i):F'q(x)::fg'(^4--4-^Vff' = — + — +— '

ce qui donne pour dernier résultat ,

PQ = AF' =rr AF 4- FF' = r/ 4- — 4- — 4r — .

On étendra sans peine ce procédé au cas où l'équation proposée aurait un nombre quelconque de termes 5 et lorsqu'on aura obtenu assez de points pour caractériser la marche delà courbe, on reconnaîtra aisément de combien de racines réelles cette équation est susceptible.

DE TKIGONOMKTKIE. a57

174. Si le cours de la courbe est tel que le représente la ligne XEGILY {fig> 71), elle rencontrera cinq fois X^axe des abscisses , et indiquera par conséquent que l'é- «quation dont elle dérive a un pareil nombre de racines x^elles : cette équation ne pourra être d'un degré inférieur au cinquième. L'équation proposée sera

« -+- ôj: -h cx^ -f- dx^ -h ex^ -f- fx^ -f- etc. =: o ,

et celle de la courbe à construire,

y z=z a -\- bx -\- cx^ 4- dx^ -\- ex^ -\-fx^ -f- etc.

Il est évident que les valeurs numériques de l'ordonnée y ne sont autre chose que les résultats qu'on tire de l'équation proposée , en donnant à x les valeurs correspondantes aux diflerentes abscisses qu'on a choisies arbitrairement : la courbe XEGILY offre donc en quelque sorte l'équivalent du tableau dans lequel ces résultats seraient inscrits , mais avec cet avantage , qu'en vertu de la loi de continuité , qu'on sent bien mieux dans les lignes que dans les nombres, les intervalles entre deux substitutions successives se remplissent avec la plus grande facilité. Ayant calculé , par exemple , les ordonnées P'P, Q'Q^ R'R, fort proches les unes des autres, et joignant leurs extrémités par un trait continu, sans angles ni jarrets y on a d'une manière assez exacte les ordonnées intermédiaires.

On observera , 1°. que puisque l'équation de la courlu? ne renferme que des puissances entières et positives de x, chaque valeur de cette indéterminée ne donnera pour y qu'une seule valeur qui sera finie ou limitée tant que x le sera , mais que y sera susceptible de prendre des accroissements illimités, lorsque x en recevra de tels, et que par conséquent la courbe XEGILY doit s'étendre à Tin fini , de chaque côté de l'axe AC des j.

2". L'inspection seule de la figure fait voir que la courbe XEGILY ne saurait passer d\iu côté de Taxe AB à l'autre, sans rencontrer cet axe, ou, analyticjucmeiit

TRICOyOMKTRIK, lO*' édft, I7

258 TRAlïK ÉLÉMEiNTxUHE

parlant , que Fordonnée y ne peut changer de signe sans devenir nulle (*); d'où il suit que si deux substitutions faites dans V équation proposée y donnent deux résultats de signes contraires , il y a nécessairement une racine réelle comprise entre les valeurs de x employées dans ces substitutions.

3°. Si 1 on prend sur la même courbe deux points placés du même côté par rapport à Taxe AB , il y aura toujours entre eux un nombre pair d'intersections de la courbe et de cet axe ; on en voit, en effet, deux entre E et I, quatre entre E et Y, ou entre X et L , etc.; ou bien il n'y en aura aucune, ainsi que cela arrive entre P et I. Au contraire, il y aura certainement un nombre impair d'intersections, si les points que l'on considère sont placés de différents côtés 5 comme le sont X et E , X et I , X et Y, etc. De là résulte cette proposition analytique : Entre deux valeurs de X , qui y par leur substitution dans F équation proposée, donnent deux résultats de même signe, il ne peut y ai^oir quun nombre pair de racines réelles y et il y en aura un nombre impair si ces résultats sont de signes différents.

4". Enfin il arrive quelquefois que, par suite des relations que peuvent avoir entre eux les coefficients a , J , c, rf, e,y*, etc., deux intersections consécutives, comme K et M, se rapprochant continuellement, viennent à se confondre, et la partie IKLMY de la courbe, prenant la forme du trait ponctué IL' Y, ne fait plus que toucher l'axe AB; alors les deux racines représentées par AK et AM deviennent égales entre elles et à l'abscisse AL'. On

(*) Cela est vrai dans ce cas, parce que l'expression de y est sans dénominateur en x; mais si l'on avait / = -, la succession des valeurs

jp = -+ I , jf = o et X = — I , donnerait j^-^-a. /• = , ou infini , cl

r = — a. C'est ainsi que les branches de l'hyperbole considérée cntro

SCS a:>yinplolc«4 sont liées enlrn elles ( 120 .

DK THlGOiNOMtTiUh:. 9.39

voit facilement que si Tëquatiou proposée n'avait pas d'autres racines réelles, la courbe qui en dérive ne couperait son axe nulle part, et qu'on ne pojurrait par conséquent faire changer de signe le premier membre de cette équation, par aucune substitution. Il n'en serait pas de même dans le cas où trois intersections se réuniraient : la courbe couperait au moins une fois Taxe, soit avant, soit après; et pour s'en convaincre, il suffirait de voir ce qui resterait de cette courbe si les trois points H , K et M , ou F, H et K, venaient à se confondre. En suivant ces considérations, on reconnaîtra que, par la réunion d'un nombre pair d'intersections , la courbe dérivée de l'équation proposée peut se trouver tout entière d'un même côté de Taxe, mais que cette circonstance n'a jamais lieu lorsque le nombre des intersections confondues en une seule est impair ; et on conclura de là que, lorsqu'une équation n'a pour racines réelles qu'un nombre pair de racines égales , il est impossible d'en reconnaître l'existence par aucune substitution .

Souvent l'inspection d'un petit nombre de points de la courbe suffit pour indiquer l'espace où elle s'approche le plus de l'axe des abscisses ; alors, multipliant dans cet espace le nombre des points déterminés, on parvient à s'assurer s'il y a un contact ou bien des intersections , et si par conséquent l'équation proposée a des racines rigoureusement égales , ou seulement peu différentes les unes des autres : dans ce cas , la construction de la courbe sert autant à faciliter la résolution numérique qu'à en éclairer la marche.

l6o APPENDICK.

Contenant les premiers Prlnelpes de l*Applieation de TAlsèbre auiL Surfaces eourbc^s et aux Courbes à double courbure.

Observation. — Je crois devoir prévenir les Lecteurs peu habitués à ce genre de considérations, qu'ils trouveront dans le Complément des Éléments de Géométrie les Notions préliminaires indispensables pour l'intelligence de ce qui va suivre.

Équation du plan et de la ligne droite,

175. La manière la plus commode de fixer la position d'un point quelconque M dans l'espace ( fig. 72 ) est de le projeter d'abord sur un plan BAC donné de position^ en abaissant sur ce plan la perpendiculaire MM', et de rapporter ensuite la projection M' à deux axes AB et AC, perpendiculaires entre eux, par les coordonnées AP et PM'. Cela revient à rapporter le point lui-même aux trois plans BAC, BAD et DAC, perpendiculaires entre eux j car les coordonnées AP et PM', situées dans le plan BAC, représentent les dîstarfccs MM''' et MM'' du point proposé M aux deux autres plans DAC er BAD. Les droites AB, AC et AD, suivant lesquelles les plans coordonnés BAC, BAD, DAC se coupent deux à deux, sont les axes des coordonnées ; et on les distingue entre elles par la lettre qui marque la coordonnée qui leur est parallèle. Ainsi , en faisant AP=: .r , PM' = j. M'M = 3 , la ligne

ABsera l'axe des x^ la ligne AC celui des /, et la ligne AD celui des z.

Les plans coordonnés reçoivent eux-mêmes des dénominations semblables. Le plan BAC s'appellera le plan des X et y, parce qu'il contient les coordonnées .r eljr. La projection M'' du point M, sur le plan BAD, étant rapportée aux deux axes AB et AD, par les coordonnées AP = a: et PM'' = M'M = z , ce plan sera désigné sous le nom de plan des .r et z. Enfin, la projection M^'^ du

point M, sur le plan-DAC, étant rapportée aux axes AC et AD, par les coordonnées AQ = PlM' = r et QM'" = M'M = z , ce plan sera désigné sous le nom d(î plan des y et -z.

Cela posé, les coordonnées j* et z sont nulles en même temps pour tous les points de l'axe des x , AB •, il en est de m.ême de x et de z relativement à Taxe des j", AC ; enfin de :r et de y relativement à l'axe des z , AD.

Pour tous les points du plan BAC , la coordonnée ^ est nulle , et elle a une valeur constante dans tous ceux d'un plan quelconque, parallèle à ce premier; en sorte que l'équation z = c , lorsqu'elle est seule , et qu'on n'a aucune autre détermination relativement aux deux coordonnées restantes x et y, doit être regardée comme désignant tous les points du plan mené parallèlement à BAC , à une distance égale à c. De même, la coordonnées^ est nulle pour tous les points du plan BAD, et l'équation du plan qu'on mènerait parallèlement à ce premier, h une distance i, serait y = b.

Si l'on réunit ensemble les deux équations z = c et y= i, c'est-à-dire si l'on suppose qu'elles aient lieu en même temps, elles désigneront une droite parallèle à l'axe des x, et menée par le point dont les coordonnées sur le plan des j^ et z soûl c et h ; car il est facile de \oir que cette droite peut être rep;ardér comme riulcrsection

2Gi APPENDICK.

de deux plans respeiîtivcment parallèles aux plans BAC, BAD.

Enfin, dans le plan DAC, la coordonnée x sera toujours nulle, et x=^ a sera l'équalion du plan mené parallèlement à ce premier, à une distance égale à a. Les trois équations z = c, yz=b^ x=a, étant réunies , ne peuvent plus appartenir qu'au point qui se trouve dans l'intersection des trois plans respectivement parallèles à chacun des plans coordonnés.

176. Je vais examiner maintenant ce que signifierait une seule équation , entre deux des trois indéterminées a:, Y et z'^ et je prends pour exemple z = Ax. On voit d'abord (87) que cette équation appartient à une droite AN'' ( fig. 73), menée dans le plan des x et z, BAD, mais elle a encore un sens plus étendu*, car, si Ton conçoit que la droite AN'' se meuve parallèlement à elle-même le long de FaxeAC, desj^, dans quelque position qu'elle s'arrête, l'ordonnée z , ou M'm , prise au point quelconque M' situé sur la droite PM', parallèle à AC, sera égale à l'ordonnée Pm", correspondante, dans le plan BAD, à Fabscisse AP = QM'. La droite AN", par le mouvement que je lui suppose , décrit le plan N"AC , passant par les droites AN" et AC : on aura donc z = Ax pour tous les points de ce plan.

On trouverait des conséquences analogues pour les autres plans coordonnés , en prenant des équations entre les indéterminées qu'ils contiennent 5 mais il vaut mieuxr passer tout de suite à un cas plus général , et considérer^ r équation z = Ax -+- By.

En y faisant j- = o, il viendra z = Ajr , d'où l'on con — dura que la droite AN", qui se trouve comprise dans cette:::!^ dernière , renferme tous les points communs à la surfacc^^ représentée par l'équation z = Ax -{- i^y, t^t au plar"^ coordonné BAI), sur lequel y est toujours nul , et que

APPEINDICK. 263

par conséquent, cette droite AW est l'inlersection de ce plan avec la surface proposée.

Lorsqu'on fait a: = o , on obtient z =r By, équation qui appartient à une droite AN''^, menée par l'origine A , dans le plan DAC , et qui est l'intersection de ce plan avec la surface représentée par l'équation ^ = Ax -H B/.

Si maintenant on conçoit que la ligne AN"' se meuve parallèlement à elle-même le long de AN'', elle décrira le plan N'"AN"^ et, quand elle sera parvenue dans une position quelconque m" M, la portion Mm de l'ordonnée M'M sera égale et parallèle à Ç^m!" : on aura, par conséquent ,

d'où il résulte que le plan IN '"AN", passant par les lignes AN "et AN'", dont les équations sont

z = Ax, z = Bj, a lui-même pour équation

Si le plan proposé, au lieu de passer par l'origine A , se trouvait dans une position G"'EG", déterminée par les lignes EG", EG'", respectivement parallèles à AN " et à AN'^ il serait parallèle à N"'AN"5 et, en prolongeant l'ordonnée de celui-ci jusqu'à ce qu'elle rencontrât le premier, on aurait

M'L = M' M -h ML = M'IVH- AE :

en nommant donc D la distance AE , et z l'ordonnée M'L , il viendrait, d'après ce qui précède,

z = Ax + Bjr -f- D.

Telle est l'équation d'un plan mené dans une position quelconque : il est aisé de se convaincre qu'elle repré-

2{)l\ APPKNDICE.

scMilc l'équation générale du premier degré fi trois indéterminées ^ car cette dernière ne peut être que de la

forme

et, en la divisant par y, elle rentrera dans la première, lorsqu'on aura posé

On voit donc que le coefficient y n'ajoute rien à la généralité de Téquation : je le conserverai néanmoins pour rendre les formules plus symétriques, et je représenterai l'équation d'iui plan quelconque par

A JT 4- B/ -h Cz H- D = o ;

mais il faudra se rappeler que, dans tous les résultats, il y aura un des coefficients qu'on pourra supposer égal à l'unité, ou déterminer par des conditions particulières (voyez, à la fin de Touvrage, la noteE).

177. En faisant successivement x^ j eiz nuls, dans l'équation de ce plan , on trouvera qu'il coupe celui des y çt z , dans une ligne dont l'équation est B/ -}- C z -f- D = o ^ celui des x et z^ dans une ligne dont l'équation est Ax -\-Cz -{-D = o^ et enfin celui des x et j-, dans une ligne ayant pour équation A Jt' -t- Bjr -H D = o.

L'étendue des plans étant indéfinie, il faut concevoir <jue le plan G'"EG" soit prolongé derrière les plans coordonnées BAD, DAC ; il rencontrera alors le plan BAC , et passera dessous. Toutes ces circonstances peuvent se lire dans son équation , en observant que chacune des indéterminées a;, y et z doit être prise positivement et négativement , et que si les |)arties AB, AC et AD (Jig* 72) des axes des coordonnées répondent aux \aleurs positives dr ces quantités, les parties opposée? \h, Ac, Ad répoii-

(Iront aux valeurs négatives. Cela peut se prouver immédiatement par le cours des lignes situées dans les plans BAC 5 BAD et DAC -, on y parviendrait encore en transportant chacun de ces plans parallèlement à lui-même, de mauière à rendre positives les coordonnées négatives qui lui sont perpendiculaires , et l'on raisonnerait alors comme on Ta fait à l'égard des lignes (76).

Il suit de là que , par le moyen des signes dont les coordonnées sont affectées , on peut distinguer dans lequel des huit angles trièdres que les plans coordonnés forment autour du point A , tombe un point proposé : il suffit, pour rela , de remarquer que , lorsqu'on prend

on a

dans 1 an^ie

AlStiL»,

dans Fanglc

ABCr/,

dans Tangle

ABDr,

dans Tangle