ACD
fy
dans Tangle
ABcdy
dans l'angle
AD bc,
dans l'angle
AC bd,
Xy
dans Fangle
Abcd,
178. Une ligne droite est donnée toutes les fois qu'on connaît deux plans qui la contiennent, et dont elle est alors Fintersection , parce que les coordonnées de ses points sont communes aux équations de ces plans. Soient donc
(i) Aa?-!- Bj 4-Cz H- D = o,
les équations des plans donnés , en y regardant les coordonnées x^ y Cl z comme ayant les mêmes valeurs , il ne restera qu'une de ces quantités dont on puisse disposer arbitrairement, et les deux autres, calciUées en consé-
268 APPKjNDICK.
cl il vient les trois équations suivantes :
kx' -h B/ -h C2' -h D = o, kx" H- B/' + Cz" + D = o,
kx'" -h Bf -+- Cz'" -f- D = o,
ART au moyeu desquelles on détermine les quantités î^? p. î f.'»
et on trouve ^
ï>'~'x'[y"z"'--y"'z")—x"[y'z"'---y"z')-^x"'[yz"''y"zi
Il est aisé de voir que si Ton voulait déterminer les équations des projections d'une droite qui passe par deux points donnés, oa y parviendrait d'une manière analogue, en substituant les coordonnées de ces points, dans les équations générales x-= az -^ tx^y =zhz -\-^\ et l'on trouverait ainsi
X^x'^'^—^^iz^z'), y^y'^^l-JL.[z^z') (88).
180. Pour reconnaître quand deux lignes données sont dans un même plan, ou, ce qui revient au même, se coupent, il faut s'assurer si les indéterminées a: , y el z peuvent être communes aux quatre équations des projections de ces droites [CompL, 19) -, or il est évident qu'en éliminant x, y et 2 , il restera une équation qui exprimera la condition sans laquelle les équations des droites proposées ne sauraient avoir lieu pour le même point. Soient
X -=. az -{- y. \ .r =z a' z -^ X \ y — /;3-4-p l j= h'z-{-fi' (
APPENDICE. aG()
les équations de ces droites ; on en tirera sur-le-cbamp
et éliminant z , il viendra
181. Deux plans qui sont parallèles ont leurs communes sections, avec chaque plan coordonné, respect ivemenl parallèles entre elles (CompL, IS) 5 mais si
A^4-Bj-f-C3 4-D = o, A'^-f-B'j-hC'z-H D'= o
représentent les équations de ces deux plans , leurs communes sections respectives avec les plans des x et z ^ et des jr et. z , auront pour équations
Aa;-f-C3-h D = o, A'a;-{- C'a -f-D' = o, B/-t-Cz + D = 0, B'j-t-C'z-+-D' = o,
et ne seront parallèles deux à deux que lorsqu'on aura
Tirant de ces dernières les valeurs de A' et de B', ou obtiendra, pour l'équation du plan parallèle au premier,
— ( A^ -h B7 -t- Cz) + D' trr o.
On achèvera de déterminer le second plan , en supposant qu'il doive passer par un point dont les coordoniiécîs soient x',j^', z' : on aura
^ ( Ao:' + B/ + Cz' ) 4- D' = o;
retranchant cette équation de la précédente, D' dîspa-
raîtra , et divisant alors par —5 il viendra
l'JO Al»PKiNDICi:.
Il es l à propos de remarquer que si l'on regarde A , B, C comme des quantités quelconques, Téquation ci-dessus sera commune à tous les plans qui passent par le point proposé.
Puisque deux droites sont parallèles lorsque leurs projections , sur chacun des plans coordonnés , sont respectivement parallèles (CompL^ 20), leurs équations seront, dans ce cas , de la forme
x = rt2 H- a i X 7= az -\- ot! \
Si la seconde doit passer par le point dont les coordonnées sont x' ^ y' et z' , on aura, pour déterminer a' et |5', les équations
x' = az' -h a' et y' = ^^ + P',
dont on tirera, en opérant comme tout à l'heure,
X — x' •=. ai^z — z' ) , y — j' = ^ ( 2 — z').
182. Pour trouver Téquation d'un plan perpendiculaire à une droite donnée, il faut se rappeler qu(^ les communes sections de ce plan, avec chacun des plans coordonnés, sont perpendiculaires aux projections de la droite donnée [CompL, ÎÎ2). Soient
X z=i az -\- OL. Y =■ hz -\- ^i
les équations de cette droite , et
Aa: + Bj -f- Cz -t- D = o
celle du plan cherché ; les communes sections de ce dernier, sur le plan des x et r: , et sur celui des r et z, seront représentées par
Aj: -f- C3 -h I) = o ou X = ^
• V #1 «-v \.tZ \}
!> ) -}- C ?. 4- D = o ou ) — — :
APPENDICE. :î7I
et, pour que ces droites soient perpendiculaires aux projections de la droite donnée, il faudra qu'on ait
Substituant les valeurs de A et de B, tirées de ces é([na~ tions , dans celle du plan cherché , on aura
et si ce plan doit passer par le point dont les coordonnées sont x\ y' et z\ son équation deviendra
rt (or — jp') H- ^ (7 — /) -h D = G.
Si l'équation du plan était donnée, et qu'on demandât celles de la droite qui lui est perpendiculaire, il faudrait alors remplacer « et i par les valeurs indiquées ci" dessus \ il viendrai t
pour les équations de la droite perpendiculaire au plan représenté par A x -f- Bj -hC.2-hD = o, et assujettie à passer par le point dont les coordonnées sont x', > ' et z\
183. La distance entre l'origine A et le point M (^g'. 70) dont les coordonnées sont a?, y et z, a pour expression
V ApV PM'V MM'' = y/jc'-hr' + z' {CompL, 24).
Celle de deux points quelconques M et m s'obtient en prenant PO = pm', M/N = m'/n, et en considérant les triangles w'OM' et wNM, rectangles l'un en O, l'autre en N : il en résulte
/;/'M' = m'O + M'O, /;/M =r wN -f- MN ;
l'JQ, APPENDICE.
mais cil désignant par x', j\ z' les coordonnées point m , il vient
et , observant que mN = m' M', on trouve •
184. Ceci mène à l'équation de la sphère, puisque ton les points de sa surfece devant être également éloignés J sou centre, si l'on suppose d'abord qu'il soit h rorigined que le rayon soit r, on aura, dans tous ces points,
et si les coordonnées du centre sont x' ^ y\ z\ il viendri
{x - x'f 4- [y-yy + (2 - z'Y = r\
185. Ce qui précède fait trouver d'une manière trtV simple l'expression du cosinus de l'angle compris entr deux droites données. Soient
j-y=3^(z~z') j' y^yr=b'[z^z')
les équations des projections de ces droites qui se conpoi
au point dont les coordonnées sont x', y' et z' -^ si l'o
imagine qu'elles se meuvent parallèlement à elles-mêmes
jusqu'à ce que leur point d'intersection soit à Torii^inc
leur angle ne tliangera pas, et les équations ci -dessus i
réduiront à
X z= az \ X ■=. a! z
y=zhz y y z=: b' z
Si l'on conçoit ensuite une sphère qui ail son centre l'origine, et dont le rayon soit représenté par r, la dii tance des points où sa surface coupera chacini des c6t< de l'angle cherché , sera évidemment la corde de cet angl On trouvera les coordonnées du point de rencontre de
s^remière droite avec la surface de la* sphère, en déterminant x^ jr et z par les équations de cette droite et par "••«^lle de la sphère ; on aura ainsi
ar br r
Jnommant x\ y' et z^ les coordonnées du point de renïcontre de la seconde droite avec la surface de la sphère , fon aura de même
' L'expression du carré de la distance de ce point au précédent sera (x — ^')* -f- (^ — y^y~^(^ — ^^V''> et en y mettant pour x — x\ jr — y\ z — z\ leurs valeurs , on trouvera , après les réductions ,
,r ^{i-^aa^ + bb') 1
Mais en nommant V Fângle cherché, sa corde sera
v/aR»— aRcosV (15),
R désignant le rayon ^ et faisant ce rayon = i , on aura , pour le carré de la corde ,2(1 — cos V ) 5 puis , comparant avec l'expression trouvée ci-dessus , dans laquelle on fera
aussi r = I , il viendra
