L'expression de cos y donnant
v/i -+- fl' 4^ b^ = 5
' cos 7
si l'on substitue cette valeur dans celles de cos a et de cos (3,
on en tirera
cos a , cos Ô
cos 7 cos 7
et les équations de la première droite donnée deviendront
[x — x') cos 7 = ( 3 — z) cos a ,
(7 — jr')cos7:=(z — z')cosp.
Si l'on substitue ensuite les valeurs de a et de Z> dans
réquation du plan perpendiculaire à cette droite, savoir
dans
fl(ar-.y)-f-^(/ — /)-+-«— «' = (182) ,
on obtiendra ce résultat très-symétrique :
(x — y) cosa -4- (/-f-y)cosp + (2.— z')cos7 = o«
Enfin, si l'on désigne«par a', jS', y' les angles qu'une seconde droite fait avec les axes des coordonnées , ce qui donnera
COS a' , , CCS fi'
cos 7 cos 7
l'expression du cosinus de l'angle que celte seconde droite fait avec la première (185) , se changera en
cos V =: cos a cos a' H- cos p cos p' 4- cos 7 cos 7' ,
si l'on observe que cosa'-f-cosp*-f-cos7'=:i, cosa"4-cosp'*-f-coS7'' = 1.
188. L'utilité de ces formules peut faire désirer de les obtenir immédiatement, ce qui est facile par les considérations géom^riques.
i^. En supposant que la droite donnée soit transportée parallèlement à elle-même, à l'origine dès coordonnées , et représentée par AM {fig. 74) » on observera que le triangle APM est rectangle en P, puisque le plan M'PM" est perpendiculaire à Taxe AB, et l'on en conclura
COsPAIVIrr— . = ,=:^,^ . . ,
en mettant pour AM, y/x* -f- x' "+" ^' (^83), et pour x et y leurs valeurs az et bz.
On trouverait de même
cosQAM = ^= , ^ =-. ,''
cos RAM =^= ' '
AM y'j.» ^ ^2 ,. .7 ^/i+rtî^.^:
Ainsi on parviendrait sur-le-champ, par ce moyen, à la relation
CCS F AM + ces QAM H- ces RAM = i .
2^. Les triangles APM, ARM donnent
AP = AM ces PAM , AR = AM cos RAM ;
et comme AR = PM", il viendrait
AP cos PAM ,, , X cos a
£- =z 5 U ou — = — — î
PM" cos RAM z COS7
en représentant par a et 7 les angles que la droite AM fait avec Taxe des x et celui des z. On aurait de même
y cos p z cos 7
j3 désignant Tangle compris entre la droite proposée et Taxe des y,
3**. Enfin on indique quelquefois une droite par l'angle MAM' qu'elle fait avec sa projection sur le plan des x et j^ et par l'angle M'AP que fait cette projection avec l'axe des x. Soient 6 le premier angle et 9 le second; on aura
MM' = AM sin MAM% ou s = AM sin 9 ,
AM' = AM cos M AiVr , ou AM' = AM cos ô ,
PM' = AM'sinM'AP, ou / = AMcos ôsiny,
AP = AM' cos M'AP, ou x = AM cos cos tf .
Si l'on rapproche ces dernières expressions de x, dej^ et de z , de celles qui résultent des équations
x cos a X cos p
z cos y z cos y
en faisant attention que y, désignant l'angle RAM, est le complément de MAM' ou de d , il viendra
cos 7 = sin , cos ^ =: cos sin ^ , cos a =r cos B cos tf .
En carrant ces dernières équations et les ajoutant, on
retrouverait encore, comme ci-dessus,
CCS 7' ■+• CCS P' -f- CCS a* = I .
En faisant AM = r, on a , par ce qui précède , z = r sin ô , yz=ir cos 8 sin ^ , x •=. r cos Ô ces y ;
et alors le point M est déterminé par le rayon vecteur r, les angles d et f , qui sont les coordonnées polaires , dans l'espace (149).
Je terminerai cet article en faisant remarquer que toutes ces relations rentrent dans des résolutions de triangles sphériques rectangles (58). Voyez aussi la note C à la fin du livre.
189, Le cosinus de l'angle que deux plans quelconques font entre eux se déduit immédiatement du n° 185 5 car cet angle est égal à celui que font deux droites menées perpendiculairement à chacun des plans proposés , par un point quelconque de leur commune section [Compl, ,46). Ces plans étant représentés par les équations
Aa:-f-Bj4-C2J-|-D = o, A'^ir-h B'/H- C'z ;+- D' = o,
si l'on conçoit qu'ils se meuvent parallèlement à euxmêmes, jusqu'à ce qu'ils soient parvenus à l'origine des coordonnées , leur angle ne changera pas , et leurs équations se réduiront à
Ax-hBy-hCz = o, A'x-hB'x -hC'z = o;
celles des droites qu'on mènera perpendiculairement à chacun d'eux , par ce point, seront (182)
Substituant donc , dans l'expression de cos V, au lieu de a ci b, de a' cl i', les valeurs que donnent ces équations,
il viendra
