AA' + BB' + CC

CQS V =

Si l'un des plans proposés, le second par exemple, était celui des x çt y, sur lequel on ai toujours z = o , il est évident que A' et B' deviendraient nuls dans cette supposition, et que cos V se réduirait à

On trouvera de même que le cosinus de Tangle formé par le premier plan proposé, avec celui des xei z^ pour lequel jr = o, A' = o et C = o , sera

et que le cosinus de l'angle du même plan avec celui des j^ et z , pour lequel x = o^ B' = o, C' = o, sera

Dans le cas où les deux plans proposés seraient perpendiculaires entre eux, on aurait cos V = o 5 et, par conséquent, AA' -H BB' -H ce =0.

Des surfaces du second degré.

190. Les surfaces , de même que les lignes , se divisent en ordres, suivant le degré de leurs équations. Le plan est la surface du premier ordre , parce que son équation ne monte qu'au premier degré. Les surfaces du second ordre sont toutes comprises dans l'équation

Ax- -hHy^-hCz^ + 2Dj:/4- 2Exz-h 2F7Z i __

28o APPEINDJCK.

la plus générale qu'on puisse former dans le second degré, avec les troîs indéterminées x^ j el z.

En résolvant cette équation par rapport à l'une de ces lettres, à z par exemple, on trouvera

Ej:-+-Fr-|-K

±:^v/[(K»-f-CL) +2(EK-CG)x-+-2(FK — CH)j

+ ( E' — AC ) x^ -h 2 ( EF — CD ) jcr + ( F' -- BC ) /'] .

Ce résultat fait voir qu'au même point du plan des x eiy répondent deux points sur la surface proposée, et que, par conséquent , chacune des valeurs de z pruduit , par la substitution de toutes les valeurs possibles de x et àey^ une portion de surface qui est, par rapport à la surface totale, ce que sont les branches d'une courbe par rapport à cette courbe : on donne à ces portions le nom de nappes.

On remarquera d'abord que la partie rationnelle de la valeur de z exprime l'ordonnée d'un plan tel , que si Ton en faisait partir les ordonnées de la surface, en posant

Ej7-4-FrH-K

l'indéterminée u aurait deux valeurs égales , l'une positive et l'autre négative : le plan dont il s'agit est donc, pour les surfaces du second degré , ce qu'est un diamètre par rapport aux courbes de ce degré.

On se ferait difficilement l'idée de la forme que doit aflccter une surface dont on a l'équation, si Ton n'en considérait que des points isolés 5 mais , au lieu de cela , on imagine une infinité de sections faites dans cette surface par des plans que , pour plus de simplicité , l'on prend ])arallèles à l'un des plans coordonnes : le cours de ces

diverses courbes étant connu , leur continuité rend sensible la forme de la surface proposée.

Tous les points d'un plan mené parallèlement à celui des X et jr^ k une distance désignée par a , étant compris dans Téquation z = a , si Ton substitue cette valeur dans Téquation générale des surfaces du second degré, le résultat

-+-2(Ert + G)a:4-2(F«H-H)r ) ^

exprimera la relation qu'ont entre elles les coordonnées du plan des x et y, pour les points de la surface proposée , distants de ce plan de la quantité a , et appartiendra donc, sur le plan des x et jr^ à la projection de la courbe dans laquelle le plan dont l'équation est z = a rencontre la surface du second degré ; et comme ce plan est parallèle à celui des x et y, on voit évidemment que la section faite dans la surface même ne différera pas de sa projection sur le plan dont il s'agit.

En prenant pour a diverses valeurs , on aura diverses sections parallèles au plan des xei y : si l'on fait flf = o , l'équation résultante

-h sGj: -h 2H^ )

donnera la courbe du second degré, dans laquelle la surface rencontre ce plan. On déterminerait de la même manière les équations des sections parallèles au plan des x et ^ et à celui des y et z.

On conçoit facilement , et l'on en a d'ailleurs vu l'exemple sur la sphère (484), que les surfaces, suivant qu'elles sont placées d'une manière plus ou moins symétrique , par rapport aux axes des coordonnées , ont des équations plus ou moins simples , et que , par conséquent , pour analyser les différentes espèces de surfaces que peut représenter Téqualion générale du second degré , il faut

aSa APPENDICE.

d'abord la débarrasser des termes qui ne dépendent que de la situation particulière des axes des coordonnées , ce qui peut se faire , soit en discutant le radical, d'une manière analogue à celle qu'on a suivie pour les lignes du second degré, dans les n°* \\i -120, soit en construisant des formules générales pour la transformation des coordonnées dans l'espace, et en disposant, comme dans les nO» 125-127, des quantités relatives à la position des axes, pour simplifier, autant qu'il est possible , l'équation générale. On peut consulter, sur ces détails qui sortent entièrement des éléments , le chapitre V du premier volume de mon Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral.

191 . Je ferai seulement remarquer qu'on peut tirer du n^ 185 l'équation du cône droit placé dans une situation quelconque par rapport aux plans coordonnés.

En effet , le cône droit étant engendré par le mouvement d'une ligne droite assujettie à tourner autour d'une autre, en faisant avec elle un angle constant, si l'on désigne par a , ^ , y les coordonnées du sommet , qu'on prenne pour la droite fixe, ou l'axe du cône, les équations

7— P = ^(« — 7)> pour la droite mobile, ou le côté du cône, les équations

le cosinus de l'angle de ces droites sera