h a qui se réduit facilement à
en faisant, pour abréger, v/i + a' -4- i' = m.
Si Ton place le sommet à Torigine des coordonnées , on
aura
ax -i- by -{- z
Si l'on fait coïncider l'axe du cône avec Taxe des z , il vient a = o, i = o, m = i, puisqu'on a sur cet axe yz=o^ ar = o, quel que soit z; et l'équation ci -dessus se réduit à
Cy
( * ) Il est aisé de voir que si Ton faisait « = o dans cette équation , le résultat, qui appartiendrait à la section du cône par le plan des x et Xf prendrait la forme de l'équation générale du second degré à deux inconnues , et qu'on pourrait , par ce moyen , montrer algébriquement l'identité des courbes du second degré avec les sections faites dans un cône droit par un plan ; mais cette voie serait beaucoup plus compliquée et moins générale que celle qu'on a suivie dans les n®" ISI- iiS6, puisqu'on y a considéré un cône quelconque. D'ailleurs, le calcul pour un cône oblique à base circulaire se trouve dans V Appendix de supcrjiciahus , placé à la fin du second volume de Vlntroduciio in annijsin infinitorum d'Kulor, imprimée en 17/1S.
de laquelle on lire , par réiévalion au carré ,
En faisant dans cette équation z = n, elle devient
équation qui appartient à un cercle dont le centre est dans
que toutes les sections faites par un plan parallèle à celui des X eijr^ dans le cône proposé , sont des cercles, ce qui est d'ailleurs évident par la nature de ce cône. On tire de l'équation ci-dessus ,
il est facile de voir que \ i — c' est le sinus de l'angle que fait le côté du cône avec Taxe des z , et que , par consé-
quent , / ^ est la cotangente de cet angle , ou la tan-
gente de celui que la même droite fait avec le plan des X et y.
Si l'on voulait que le sommet du cône fût à un point quelconque de l'axe des z , cet axe coïncidant toujours avec celui du cône , on aurait
En faisant z = o , on obtiendra l'équation de la courbe suivant laquelle le cône rencontre le plan des x et y, et qu'on peut regarder comme la base. Cette équation sera
ou
se clrnigr ■■! alors «i
cr
peat être mise sous la forme
X VI — ^ — cr =r r \ 4P* -4^ ^i^* Dans le cas où c = i, elle se réduil à
192. Cette dernière équation , qui ne contîont pUw f\\\v deux des trois coordonnées , appartient néannioinn i^ U surface cylindrique dans laquelle so transformo lo vfiwt^ ^ lorsque son sommet s'éloigne k Tinfini \ ckv^c dt^ignnnt lo cosinus de Tangle formé par la droite géiu^rairicu du riSnn et son axe, Thypothèse de c = i rond ool aiigU^ mil vi établit le parallélisme des deux droites dont il n^ngit. La première, en tournant autour de la seconde , dchu'il dono la surface d'un cylindre droit, porpendiculairo un plan des X et j, et ayant pour base, sur co plan , lo oc^rrio dcMil le rayon est r, et dont le centre est h rorigiiin don l'oordonnées.
Ceci conduit à remarquer qu*uno équation (|n()lroiM|iM«
'iSS APPENDICE.
qui ne contient que deux des trois coordonnées, et qui, sur le plan de ces coordonnées , ne désigne qu'une courbe, appartient, dans l'espace, à une surface , puisque la coordonnée qui n'entre point dans cette équation , se trouvant indépendante des deux autres, a une infinité de valeurs pour chaque point du plan cité; et ces valeurs répondent à tous les points de la droite élevée perpendiculairement au plan coordonné par le point que l'on y considère.
L'ensemble de toutes les droites élevées ainsi sur chaque point de la courbe constitue une surface cylindrique , en donnant à cette dénomination toute l'étendue qu'on lui assigne dans le Complément des Éléments de Géométrie,
Des courbes considérées dans r espace,
193. Lorsqu'on envisage les courbes dans l'espace, elles résultent toujours de l'intersection de deux surfaces, de même que la ligne droite résulte de la rencontre de deux plans (178). On peut, par exemple, indiquer un cercle, en donnant la sphère dont il fait partie et le plan qui la rencontre. Si l'on suppose que la sphère ait son centre à l'origine des coordonnées, et que le plan soit quelconque, le système des équations
(2) A47-hB^-hCz=D,
appartiendra au cercle , suivant lequel se rencontrent la sphère et le plan proposé , puisque ce système ne conviendra qu'aux points qui se trouvent en même temps sur l'une et l'autre surface.
Il est visible qu'on peut transformer le système des équations (i) et (2) en une infinité d'autres qui soient équivalents-, mais, le plus souvent, on élimine alternative-
APPEMHCE. a87
ment une des trois indëtermiDées j, i , r, et 1 ou «dMktit . entre ces quantités combinées deux à deas« trois é({iui« dons qoi appartiennent anx projections de la coarl^ cherchée, sur chacun des plans coordonnés.
Dans rexem|Je ci-dessus , on a
/D — Ax — Br\^
/D — Ax— C«\' /D — Bv — Bs\»
deux quelconques de ces équations donnent la troisième : elles appartiennent (138) à des ellipses qui sont les projections du cercle, sur chacun des plans coordonnés (CompL, 63).
Pour concevoir nettement de quelle manière une courbe est représentée par les équations de ses projections, il faut considérer que ces équations appartiennent à des surfaces cylindriques élevées perpendiculairement sur les projections (192) , de même que les équations des projections d'une droite désignent aussi ses plans proje- Unts (178).
Il suit de là que la courbe proposée résulte de Tintersection des surfaces cylindriques élevées sur deux de ses projections [CompL, 77).
194. Dans le plus grand nombre de cas, l'intersection de deux surfaces courbes ne saurait avoir tous ses points dans un même plan , et forme alors une courbe à double courbure : telle est , par exemple , Tîntersection d*unc sphère et d'un cylindre droit , lorsque Taxe du cylindre ne passe pas par le centre de la sphère.
Si l'on suppose que la sphère ait son centre a T origine , et que Taxe du cylindre étant parallèle à celui des z^
sa base, sur le plan des x et j, soit un cercle passant par l'origine, et ayant pour diamètre Taxe des x, les équations des surfaces, contenant la courbe proposée,
seront
jpj l j» 4- 2;2 __ r\
7,ax — j;* = j% et Ton aura , pour les projections en x et j^, en x el z ^
