ax — X
Le centre de la sphère se trouvant sur la surface du cylindre, la courbe proposée pourrait se décrire en fixant une pointe de compas sur cette surface, et faisant tourner l'autre sur la même surface , avec une ouverture égale au rayon de la spbère (CompL, 77).
Pour en trouver tant de points qu'on voudra , il faut déterminer les coordonnées/ et z au moyen dé l'abscisse a:, par les équations des projections, qui donnent
X =■ \7,ax — a?', z = ^r' — 7>ax»
On reconnaît l'étendue de la courbe proposée en assignant les cas dans lesquels ces coordonnées deviennent imaginaires -, or on ne trouve de valeurs réelles pour j que depuis X = o jusqu'à j: = 2 a , et pour z , depuis j: = o
jusqu'à Jt: = - — ? du côté positif, et depuis x = o jusqu'à
l'infini, du côté négatif 5 mais il est évident qu'il ne faut prendre que la partie de l'abscisse a:, commune aux deux projections, puisqu'il suffit qu'une des coordonnées devienne imaginaire pour que la courbe ait atteint sa limite : elle ne s'étendra donc que depuis a:= o jusqu'à ce que x
égale la plus petite des quantités 2 a et — •
La considération des projections elles-mêmes confirme ce résultat. L'équation en XQly^ appartenant au cercle
AE'F'e' [Jig' 75) , qui sert de base au cylindre, et celle qui renferme .r et z, appartenant à la parabole WVh"^
dont le paramètre = 2a, et la distance AI' = — > il est
évident qu'on ne peut employer à la description de la courbe proposée que les portions E'Ae' et H"I'A", qui correspondent à la partie AF de l'axe AB.
195. Enfin, pour s'assurer que la courbe proposée n'est pas plane , il faut chercher si elle ne peut être rinlerseclion d'aucun plan , avec l'un quelconque des cylindres élevés sur ces projections. Eu désignant par
Ajt -h Bj 4- Cz = D
l'équation d'un plan quelconque , son intersection avec le cylindre élevé sur la parabole H''I'/i''sera représentée par les équations
Ajc4- Bj-I- C2;=D,
la projection de cette intersection , qui aura pour équation sur le plan des y ei z ,
Ai ^ -+- Bj 4- Cz == D,
devra coïncider dans tous ses points avec celle de la courbe proposée , sur le même plan des y et z , et dont Téquation est
or on tire^de la précédente
2flD — Ar' — 2aC5 -h Az'
il faudra donc que, pour toutes les valeurs de z , on ait
2flD — Ar' — 2flCz-f- A2-\' , , [r'^^z-'Y
2flB / 4«
TBIGONOMETRIE , lO" éfiU. U)
ago APPENDICE.
En développant ce résultat, on lui fera prendre la forme
P2i« 4- Qz'-hR3*H-SzH-T = o,
les lettres P, Q, R, S et T désignant les coefficients formés des quantités A, B, C , D ^ et , pour que cette équation soit vérifiée indépendamment de ^ , il faudra qu'on ait séparément
. Pour satisfaire à ces équations , on ne peut disposer que des trois coefficients nécessaires de l'équation du plan coupant (176). Si l'on effectue le calcul, ou trouvera
Q= — 4i3AC,
R = 4«'C' -+- 4a AD — 2 r' A» 4- (4fl' — 2r») B%
S =(4flr'A — 8fl'D)C,
T = 4û'D' — 4fl/-'AD H- r< A' — (4«'r* — r*) B%
et l'on verra que P ne saurait disparaître, à moins qu« A = o, B= o, conditions dont la première fait encor^^ évanouir Q 5 mais il reste
R = 4a'C% S = — 8a*DC, T=4a»D%
qu'on ne peut rendre tous nuls , parce qu'il est impossibles que C soit zéro en même temps que A et B : il n'y a donc^ aucun plan qui comprenne la courbe proposée 5 et, si l'or», voulait déterminer ^ par l'équation ci-dessus, on n'aurai c au plus que quatre valeurs , en sorte que la courbe pro^ posée ne saurait être coupée par un plan , en plus de quat r<3 points.
RIOTES.
NOTE A, page lo.
Dans le tome XI des Annales de Mathématiques pures et appliquées ^ M. Gergonne a inséré (à la pag^e 323) le procédé suivant, donné par M. Sarrus, pour parvenir, presque sans construction, aux expressions de sin (adczb) «t de ces (adzb) qui , jointes à la relation sin a* •+- cos a' = R' ( 10) , sont le fondement de toute la théorie des lignes trigonométriques.
Soient deux arcs quelconques AM = a , AN = b {Jig. 76 ) et qu'on tire la corde de l'arc NOM = a — b; on aura par lo ti'iangle NMG , rectangle en G,
Mn'=NG -+-Mg'=(CQ-CP)' + (PM-NQ)«,
ce qu'on peut écrire ainsi :
[corde (a — &)]* = (cos&— cosa)'-|-(sin a — sin&)' (A).
Prenant le rayon égal à l'unité , ce qui donne
sin fl' 4- cos fl* = I , sin &' -i- cos 6' = 1 ,
et développant, il viendra
[corde {a — b)]* = -i —2 cos a cos & — 2 sin <i sin fc .
Quand on fait 6 = 0, il en résulte
( corde a )' = 2 — 2 cos a , formule qu'où peut appliquer à un arc quelconque : on a donc aussi
[corde (a — &)]'=: 2 — 2 cos {a — ù).
Cela posé, i° en égalant cette dernière expression à la première, divi- **ant l'équation par 2, et changeant les signes, on obtient
cos (a — i) =1: cos a cos fc -H sin a sin A (l). a». En changeant 6 en a — & , il vient l'équation
cos b = cos a cos (a — h) -{- sin a sin {a — b),
'l ni , par la substitution de la valeur de cos {a — b) tirée de l'équation ( I } , <ïonnc
cos b =z cos a' cos b -4- cos a sin a sin b -f- sin a sin {a — b).
Remplaçant ici cos a* par sa valeur i — sin «', réduisant et tirant la valeur de sin ( a — ft ) , on trouve
sin ( a — ft ) = sin a cosb — sin b cos a (II).
:5o. Enfin, changeant a en a -h 6 dans les équations (I) et (II), on parvient aux suivantes :
cos a = cos (« -h fc) cos & -+- sin (a -f- 6) sin i, sin fl = sin ( a -h i ) cos b — sin b cos ( « -+- A ) ,
qui , par l'élimination , doiAent successivement les valeurs de cos (uH-fc) et de sin(a-\-b)y conformes à l'énoncé du n^ 11.
L'auteur de ce procédé se borne à ce qu'on vient de lire , parce qu'il s'appuie sur un principe d'application de l'Algèbre à la Géométrie , exposé au nO 76 de ce Traité; mais on y supplée par l'examen des diverses situations respectives que peuvent avoir les points M et N, et qui ne font que changer en + un ou deux des signes — compris dans les parenthèses du second membre de l'équation (A).
Quand ces points ne tombent pas du même côté du diamètre BB\ c'est un cosinus qui change de signe , et un sinus lorsqu'ils sont l'un au-dessus et l'autre au-dessous du diamètre AA'. En effectuant les calculs dans ces divers cas , ce qui ne présente aucune difficulté , on voit que les fon^ules se modifient de la même manière que l'indiquent les considérations des no« 22 et 25.
NOTE B, page 45.
Au lieu de chercher, comme à l'endroit cité, l'expression de sin -C, on pourrait trouver tout de suite celle de sin C; ca» on a d'abord
sm C = I — cos C = I — i .-,-7, — - :
puis , réduisant le dernier membre au même dénominateur, on obtient
sin C = ,
dont le second membre se décompose en facteurs, dans la forme
(2fl&H-fl«H-i» — c») ('2ab—a} — b'-^c')
/,rtH»
\ { n-^h-^c. {a-^h — c) {c-hn — h)
rt* b
NOTES. agS
et si l'on fait, comme dans le numéro cité, a-i-b-hc = f^ on aura enfin
ab
Cette formule , renfermant quatre facteurs sous le radical , est moins simple que celle du texte , et elle a de plus l'inconvénient de ne pas faire connaître si Fangle cherché est ai{;u ou obtus, puisque le sinus d'un angle est le même que celui de son supplément (22), tandis que la moitié du plus grand angle obtus étant nécessairement moindre que i7,on obtiendra toujours, sans ambiguïté, la valeur de l'angle | C par celle de son sinus.
En examinant les différents cas que présente la résolution des triangles rectilignes obliquangles , on voit aisément qu'il n'y en a qu'un seul où le triangle proposé n'est pas entièrement déterminé , quoique l'on y connaisse trois choses parmi lesquelles se trouve un c6té ; c'est quand on a deux côtés et un angle opposé à l'un de ces côtés : par exemple, les côtés a et c et l'angle A {Jîg. 16); car alors la proportion a : c i: sîn A : sinC (54) ne (ai^nt point connaître si l'angle C est aigu ou obtus, les données conviennent à deux triangles différents, pour l'un desquels la perpendiculaire abaissée du point B, sur le côté &, tombe en dedans, et pour l'autre en dehors {Élém. de Géom., 5iî).
Ce n'est pas tout encore que la rigueur mathématique des formules , lorsqu'il s'agit de les appliquer : il faut , de plus, rechercher la commodité des calculs et l'exactitude numérique des déterminations.
Sous le premier rapport, il faut, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer aux n*** 50 et 37, que les expressions des quantités -cherchées soient, autant que cela est possible , composées par multiplication et par division , afin que l'emploi des logarithmes soit facile. Cependant M. Gauss, dans le tome XXVI de la Correspondance allemande de M. de Zach, page 498, a donné des moyens de suppléer à cette condition, et M. Matthiessen a publié à Al ton a , en 1817, une Table pour calculer promptement le logarithme fie la somme ou de la différence de deux quantités données seulement par leurs logarithmes.
Quant à l'exactitude du calcul numérique, il faut que la quantité cherchée immédiatement subisse dans son état actuel les plus grandes variations possibles. S'il s'agissait d'un sinus par exemple, il faudrait qu'il n'appartînt pas à un arc fort près du quart de cercle; car, dans cette situation, les sinus croissant bien moins que les arcs, quelques unités d'erreur sur le logarithme dû sinus, déduit par une combinaison d'autres logarithmes dont le dernier chiffre est souvent fautif, en occasionneraient %une bien plus importante sur l'arc. Lorsqu'on doit employer un sinus à la détermination d'un angle, il est donc à propos que cet angle ne soit pas
trop grand ; et c'est encore là un avantage que l'expression de sin - C (58)
aura souvent sur celle de sin C.
11 y aurait le même inconvénient à déterminer un petit arc par son
TRICONOMKTRTK, lO^édU, 1 9*
cosinus; mais il n'en est pas de même des tangentes, parce que leur accroissement est toujours de plus en plus rapide.
Je ferai encore observer ici que les cosinus et les tangentes , changeant de signe lorsque l'angle devient obtus (25, 24), ont, sur les sinus, quand on a combiné les signes dans le cours du calcul, suivant les règles de l'Algèbre, l'avantage de faire connaître si l'angle qu'on détermine par leur moyen est aigu ou obtus, ce qui est souvent utile, comme on peut le voir au n° S7.
Ce que je viens de dire ne se rapportant qu'à l'emploi des Tables trigonométriques, il faudrait encore y ajouter les précautions qu'exigent la recherche et la mesure des données, précautions qui sont également nécessaires pour la construction graphique : c'est de faire en sorte , lorsqu'on doit obtenir un point par l'intersection de deux lignes , qu'elles ne se rencontrent pas sous des angles trop aigus ou trop obtus, parce qu'alors cette intersection, qui est toujours une petite surface, est plus large, et que , de plus , une petite erreur commise dans la direction des droites en occasionne une beaucoup plus grande dans le lieu de Fintersection. C'est d'après cette dernière remarque que, lorsqu'on forme sur le terrain, comme on le verra au n^ 40, des triangles pour déterminer la situation respective de plusieurs points , il faut que ces triangles n'aient pas des angles fort petits ou fort grands.
NOTE C , pages 64 et 278 .
Si l'on supposait connues les expressions des coordonnées polaires ( 149 et 188) dont on fait usage dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie, on en déduirait , par le même procédé , les équations fondamentales des deux Trigonométries.
Ce procédé consiste à chercher l'expression de la distance de deux points, en les considérant d'abord sur un plan et ensuite dans l'espace. Soient M et M' {fg. l\i) ces points situés dans le plan BAC, pour'le premier cas ; désignons par 9 et 9' les angles M AB et M'AB , par r et r ' les distances AM et AM', au point A , origine des coordonnées a; et j^ ; on trouvera sans peiiie qu'au point M »
X T= r cos ç) , y ■=-r sin 93 , au point M',
x' = r'cos9', .r'= ''' sin 9',
et , par conséquent,
= (rcosy — r' 00s 9' )*-+-(/• sin 9?— r'siny')'.
En développant et réduisant la dernière expression , au moyen des équa-
NOTES. agS
çj' -H cos 9' = I , sin f'* -+- cos p'* =l i ,
lions
sin "'' -*- '*'^* '^^ "^~~ ï "•* <«" ■ <»/\e »-.'* — on trouvera
MM' = r' H- r" — arr' (cos ^ cos y' 4- sin f sin y>' ) ; observant ensuite que
cos f cos 9' -h sin 9 sin y' = cos (9 — 9' ) (11) ,
il viendra
MM' =r'-|-r" — arr'cos(9 — 9').
Si maintenant on représente MM' par r", et Tangle ^ — ^' = MAM', par y", on aura
r"* = r* -hr'* — 2 rr' cos y",
c'estr*à-Klire Tune des équations (A) de la page i43 , où la lettre^c est remplacée par la lettre r.
Quand les deux points proposés , que je désigne toujours par M et M', sont rapportés dans Tespace, à trois axes rectangulaires, par les coordonnées X , >-, r , x't j('f «', on a
MM''= (x-.r')» 4- (r— >'')'-+- (a- «')• (184),
et Ton se sert de la transformation du n^ 188; mais il faut substituer à l'angle nommé 6 dans cet article, son complément, c'est-à-dire Tangle compris entre l'axe des g et la droite menée par l'origine des coordonnées , ce qui change sin en cos d , et vice versa. Continuant à représenter par r, r' les distances de l'origine aux points proposés, et par r" la distance MM', on aura
X = r sin Ô cos 9 , ^ = r sin sin 9, 5 = r cos 6 , a:' = i'8iriô'co8 9', ^' = r'sîn Ô'8in9', «' = r'cos^',
d'où
(r sin ô cos 9 — r' sin $* cos 9')' -h (r cos — r' cos Ô')',
.."« — ^ -H (r sin ô sin <f> — r' sin 0' sin 9')»
valeur dont le développement
; ' [sin 6* (cos 9* -h sin 9* ) -h cos 0* ] 4- /• " [sin ô" ( cos 9'* H- sin 9'* ) H- cos $'* ] — 2 rr ' [sin Ô sin ^' ( cos 9 cos 9' -+- sin 9 sin 9') -h cos 5 cos 6' ]
se réduit à
;• "' = r' -h r '* — a rr ' [sin ô sin $' (cos 9 cos 9' -i- sin 9 sin 9') -+■ cos ô cos ô'] .
Ce résultat ne diffère de celui qui se rapporte au plan que par le coeHScieut
de 2 rr', dans lequel on peut d'abord remplacer cos ç? cos ç?' -h sin y &in y' par cos (f — f');et comparant ensuite les deux expressions de r"*, 011 obtiendra
cos y" = cos 9 cos Ô' -h sin ô sin ^' cos (9 — 9')
pour celle du cosinus de Vangle compris entre les deux droites données.
Cela posé, si l'on conçoit maintenant que ces droites soient SM et SN (Jtg. 23), que SS' soit Taxe des g, et que du point«S comme centre, avec un rayon égal à l'unité, on ait décrit une sphère, les droites SS', SM, SN détermineront un triangle sphérique ABC, dans lequel Fanglo BSC, ou l'arc BC sera y", les angles ASB et ASC, ou les arcs AB et AG, seront 6 et 0', et enfin l'angle M'S'N', compris entre les plans projetants MSM', NSN', des droites SM et SN, ou l'angle A du triangle sphérique , sera 9 — y'. Alors l'expression de cos y" deviendra
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ,
suivant la notation du n° 47, et sera la première des équations ( B ).
On peut, au lieu des angles et 9, introduire les angles a, /3, -/ des équations
X cos a X cos ^
3 cos y g cos y
e n observant que , d'après la convention faite ci-dessus , y = ô , et qup , par conséquent,.
r = rco8y, ^ = rcos/3, a: = rcosa.
Pour une autre droite, on aurait
r' = r'co8y', ^' = r'cos/3', r' = r' cos a'
et l'on trouverait le cosinus de l'angle des deux droites, tel qu'il a été obtenu sur la page 27G.
Il faut remarquer en même temps les deux expressions de r"', parce qu'on en a besoin dans plusieurs applications importantes de l'analysé à l'Astronomie et à la Physique.
NOTE D, page 98.
Pour se rendre raison du principe posé au commencement de cet article, il faut considérer ce qui arriverait si l'on changeait l'unité à laquelle sont rapportées les lignes employées dans les calculs de la question. Il est évident que si l'on prenait une unité qui fût double, triple, etc., de la première , les nombres qui expriment les lignes deviendraient deux fois , trois fois, etc., plus petits que parla première utiité; qu'au contraire, ils deviendraient deux fois, trois fois plus grands si la nouvelle unité était
deux fois , trois fois plus petite que là première. Les aires éprouveraient des changements analogues, marqués par le carré du rapport des deux unités linéaires, et ceux des volumes le seraient par le cube de ces rapports.
Cela posé , pour mieux fixer les idées , concevons qu'il n'y ait dans la question que trois quantités connues a, b, c, et que l'inconnue x soit
représentée par la fraction -> où P et Q soient des expressions entières
en a y b, c f ce qu'il est toujours possible d'obtenir par des réductions convenables ; enfin désignons par a', b', c', x' les nombres résultant des changements d'unité dans la mesure des lignes : l'expression de la nouvelle
inconnue sera x' = — ,» P' et Q' étant composés en a', b', c', comme P et Q
le sont en â , &, c , puisque , par la supposition , la ligne prise d'abord pour unité ne fait point partie des données du problème , et n'entre point dans le calcul algébrique de l'inconnue. Si le rapport de la seconde unité à la première est n , et que x soit une ligne , on aura en même temps
azsina', b = nb\ c = nc\ x=nx'.
11 faudra donc que ta = " 7y » ce qui ne saurait arriver à moins que P et Q
ne soient homogènes en a, &, c, et qu'il n'y ait dans P un facteur de plus que dans Q , puisque la lettre n n'entre dans ces quantités qu'avec les lettres a , i, c , au degré marqué par la somme des exposants de ces lettres.
ûb
Soit pour exemple l'expression x = 7 (^} > on aura d'abord
a'b' t' = -; — » et le changement de a et de & en nn' et nb\ dans l'expression de X , donnera
na' H- nb* ~'
n —. — =1 nx'
Il est bien aisé d'étendre ces raisonnements aux expressions d'une ligne dépendante d'un nombre quelconque d'autres lignes. Quant aux expressions des aires et des volumes, il faut observer de plus que pour les
premières on doit avoir - = «' — , et pour les secondes ^ = «• — ;
mais, dans tous les cas, il faut que P et Q soient des quantités homogènes , pour qu'il ne reste pas des puissances diverses de n dans les différents termes do P et de Q, lorsqu'on les déduit de P' et de Q'. (/^ dois cette remarque à Deflers , maître de conférences à l*Lcole normale , et qu'une mort prématurée a enlevé aux Mathématiques, qu'il cultivait d'une manière distinguée. )
.et appH./y./
A/ftttn. J»*«^» ■
Trit'ouo . e t appli . PI. i
ro
^^ftyt. r S ^^ttcau^A
Ax/ain iTi-MÙ» ■
Trifi'oiio.ct aoyïi.Jy.^ .
lria:oiio.et appli ./y..>
Sj
Aiiwni <$«wip
NOTE E, page 264.
Dans son Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie (page 89), M. Lamé a présenté, sous une forme symétrique et homogène, l'équation du plan, sans y ^introduire aucun coefficient superflu : cette forme est
X jr z
Les quantités a^h^c sont ce que l'auteur appelle les paramètres du plan; elles expriment les distances entre Toriginc des coordonnées et les points où le plan rencontre les axes des x, des y et des z.
On s'en assure en faisant successivement nulles deux des trois coordonnées ( i7«> ) , ce qui donne la valeur de la troisième , au point où le plan proposé coupe Taxe sur lequel cette coordonnée est comptée. En
posant, par exemple, x = o, j' = o, l'équation ci-dessus devient - = i
et donne « = c ; c'est, sur la fg. 73 , la distance AE. On y marquerait les
deux autres en prolongeant, jusqu'à leurs rencontres respectives, les
droites G"E et AB, G^'E et AC, et l'on formerait ainsi une pyramide ayant
son sommet au point A, et sa base sur le plan G"EG'" prolongé derrière
l'origine A.
La nouvelle équation du plan étant comparée avec
AxH-BrH-C»-HD = o, mise sous la fornic
