Traité élémentaire des fonctions elliptiques; ouvrage destiné a faire suite aux traités élémentaires de calcul intégral

Pendant longtemps, les fonctions logarithmiques, exponentielles et circulaires , ont été les seules transcendantes sur lesquelles se soit fixée l'attention des géomètres. Ce n'est que dans le siècle dernier, qu'ils ont commencé à en considérer d'autres. Parmi celles-ci, il faut distinguer les fonctions nommées elliptiques, dont la première idée appartient à l'immortel Euler, qui trouva l'intégrale algébrique complète de l'équation différentielle

dx du

|/<x -+- (ix yx 1 -+- <?x l ex* Va. /3y ry' <ty 3 *y 4

composée , comme on le voit , de deux termes séparés ,

mais semblables. Après lui , Lagrange se signala dans la

même carrière , en donnant une méthode générale pour

ramener , par des transformations successives , l'inté-

Vdx

, dans laquelle P est une fonc-

tion rationnelle de œ, à une autre intégrale semblable, plus facile à évaluer par approximation. Mais le premier qui ait approfondi la nature de ces fonctions , est l'illustre Legendre, qui depuis l'année 1786, où il a fait paraître ses premières recherches sur les arcs d'ellipse ,

na cessé de perfectionner cette nouvelle branche d'analyse , dont on peut , à juste titre , le considérer comme le créateur. Après avoir jeté les fondements de sa doctriné , dans ses Exercices de ealcul intégral, il rassembla les résultats de ses longues recherches , dans le Traitédes fonctions elliptiques , publié en 1827. Jusque là, comme il le dit lui-même , les géomètres n'avaient pris presqu aucune part à ses travaux; mais à peine son ouvrage avait-il vu le jour, à peine son titre pouvait-il être connu des savants étrangers , qu'il apprit , avec autant d'étonnement que de satisfaction , que deux jeunes mathématiciens, MM. Jacobi (C.-G.-J.) de Kœnigsberg, et Abel(*) de Christiania , avaient réussi à perfectionner la théorie

O Niels Henrik Abel , naquit le 25 août 1802, à Frindoë, sur la côte occidentale de Christiansandstiflt , en Norwége. Ses travaux sur les fonctions elliptiques, et sur d'autres transcendantes auxquelles on a donné le nom de fonctions ultra-elliptiques ou àbéliennes, témoignent assez ce qu'il fallait attendre de lui, si une mort prématurée n'était venue l'enlever aux sciences, le 6 avril 1829. Les géomètres les plus distingués de notre temps , parmi lesquels il suffit de nommer Poisson et Legendre, n'ont pas hésité à placer Abel au premier rang des analystes , et s'il eût été contemporain de Newton , nous pensons , avec M. Crelle (à qui nous empruntons ces détails), qu'on aurait pu dire de lui ce que Newton disait de Cotes : a S'il eût vécu plus longtemps , il aurait pu nous apprendre encore bien des choses ! *> Il est à remarquer qu'Abel , et son digne rival Jacobi , ont marché , pour ainsi dire, de front dans leurs recherches sur les fonctions elliptiques, sans se connaître et sans se rencontrer.

Voici la liste des mémoires d'Abel sur les fonctions elliptiques , publiés dans le journal de M. Crelle :

Tome II. Recherches sur les fonctions elliptiques, page 101. Tome III. Suite du mémoire précédent , page 160.

Sur le nombre de transformations différentes qu'on peut faire subir à une fonction elliptique , par la substitution d'une fonction donnée de premier degré, page 394.

Théorème général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce , page 402. Tome IV. Note sur quelques formules elliptiques, page 85.

Théorème sur les fonctions elliptiques, page 194.

Précis d'une théorie des fonctions elliptiques, pages 236 et 309.

des fonctions elliptiques dans ses points les plus élevés. Néanmoins , tout en rendant justice aux savantes recherches de ces géomètres, on doit convenir, avec M. De Pontécoulant {Théorie analytique du système du monde, tome III), que sous le rapport du calcul pratique, c'est véritablement Lcgendre qui a rendu les services les plus éminents à cette partie du calcul intégral. En ramenant

à la forme C— — ^ , l'intégrale générale traitée par

Euler et Lagrange, il a, pour ainsi dire, mis en évidence une foule de propriétés, qui seraient peut-être restées inconnues , sans cette ingénieuse transformation de la source des fonctions elliptiques. Non content d'être le principal auteur de la théorie de ces transcendantes , il a fait pour elles ce que les successeurs de Néper ont fait pour les fonctions logarithmiques et trigonométriqucs : il a construit des tables , au moyen desquelles on peut, dans chaque cas , trouver la valeur numérique d'une fonction quelconque des deux premières espèces , avec toute la précision désirable , sans être astreint à des calculs laborieux . Le secours de ces tables , qui sont à elles seules un travail immense, rend l'emploi des fonctions dont il s'agit, presqu 'aussi facile que celui des logarithmes et des ares de cercle.

Après Legendre, la première place appartient incontestablement à M. Jacobi. Sans parler de son beau théorème , et des autres richesses d'analyse spéculative qu'il a prodiguées dans ses Fundamenta (*), la découverte de la transcendante ï, au moyen de laquelle on peut réduire

O Fundamcnta nova theoriœ functionum ellipticarum ; KœDigsberg. chez les frères Borntrseger ; — Paris , chez Ponthicu et chez Trcuttel et Wiierz.

à des fonctions de deux arguments , les transcendantes elliptiques de la troisième espèce , à paramètre logarithmique y lui assure à jamais la reconnaissance des géomètres , même en ne l'envisageant que sous le seul point de vue de son utilité pour le calcul pratique des transcendantes qu'on vient de mentionner.

Le titre du livre de M. Jacobi , semble annoncer un traité exprofesso, dans lequel la théorie des fonctions elliptiques se trouve établie sur des bases nouvelles. Cependant, pour tout ce qui concerne l'origine, la classification, la comparaison et même la plupart des propriétés de ces transcendantes, l'auteur renvoie constamment à l'ouvrage de Legendre. On doit donc regarder le livre de M. Jacobi, plutôt comme un précieux complément de celui de Legendre , que comme un traité spécial , où se trouvent présentées , dans leur entier et sous une face nouvelle , les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques.

Dans une note de ses Exercices de calcul intégral (t. I er , page 18), Legendre fait remarquer que les fonctions elliptiques réunissant un grand nombre de propriétés, il peut devenir nécessaire de leur imposer un nom particulier. « Il semble, dit-il, qu'on caractériserait assez bien la

fonction F(?)= en lui donnant le nom de nome,

parce que celte fonction a la propriété de régler tout ce qui concerne la comparaison des fonctions elliptiques. Peut-être conviendrait-il, en même temps, de donner . . les noms d'épinome et de paranome^ aux fonctions E et II, qui constituent les deux autres espèces. » L'absence de dénominations convenables , rend très-pénible , en effet , l'énonciation des propriétés de certaines fonctions analytiques, sans le secours de l'écriture. C'est surtout dans

renseignement que cette difficulté se fait sentir; si elle ne se trouvait levée à l égard de la fonction / — , par exemple, par l'usagé du mot logarithme, comment énoncerait-on la proposition , que le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs ?

Malgré ma répugnance pour les innovations, j'ai cru devoir donner des noms aux trois espèces de fonctions elliptiques, et j'ai choisi ceux de digamma, à' epsilon et de kappa, en réservant la dénomination de nome, pour une transcendante particulière, dont la découverte est due à M. Jacobi , et que ce savant a désignée par la lettre q. J'ai dû changer aussi la notation de Legendre, pour mettre le nom de chaque transcendante , en harmonie avec le signe destiné à la représenter, et avec la notation usitée pour les fonctions logarithmiques ettrigonomélriques. Ainsi, j'ai dénoté par

<%-(c,?), eps.(c t5 .), kap. (n,c, f ), les transcendantes que Legendre représente par

notation qui a le grave inconvénient d'attribuer aux lettres F et II, employées dans l'analyse comme signes généraux de fonctions, une signification particulière ; ce qui empêche d'en faire usage concurremment avec d'autres transcendantes, sans avertissement préalable. Les motifs qui m'ont porté à préférer les dénominations précédentes, à celles de nome, d'épinome et de paranome , sont les suivants :

1° La lettre F , employée par Legendre pour désigner la fonction i porte en grec (*) le nom de âtyotu.fia.

O Les Éolicus se servaient de cette lettre . pour remplacer le signe d'aspiration que les grammairiens appellent l'esprit rude.

2° La lettre D . initiale du mot digamma , que j'ai employée pour dénoter la fonction complète de première espèce , précède , dans Tordre alphabétique , la lettre E , adoptée par Legendre , et que j'ai conservée pour désigner la fonction complète de seconde espèce.

3° En donnant aux fonctions de seconde et de troisième espèce , le nom de la lettre qui représente leur valeur devenue complète , j'ai suivi l'exemple de Legendre lui-même , qui a nommé le gamma de p, et dénoté par

r(/>), l'intégrale définieyX^log.ij P .

L'avantage de la nouvelle notation sur celle de Legendre , devient frappant , si l'on considère que je propose d'énoncer le kappa circulaire de > , de cet de 9 , et de désigner par kac. (X, c, 9), la transcendante que Legendre a nommée fonction elliptique de troisième espèce, à paramètre circulaire, et dénotée par II ( — l-(-j6 2 sin. 2 > , c, <p).

Pour ne pas sortir du cadre d'un livre élémentaire , j'ai cru devoir passer sous silence , ou rejeter dans des notes placées à la fin du volume , tout ce qui ne se rattachait pas directement à la théorie des transcendantes elliptiques , ou qui me paraissait offrir un caractère trop particulier. Indépendamment du grand traité de Legendre , dont celui-ci n'est en quelque sorte qu'un abrégé, j'ai fait des emprunts plus ou moins considérables aux ouvrages de MM. Jacohi, Lacroix, Poisson, De Pontécoulant, ainsi qu'au journal de M. Crelle ; et si j'ai cru pouvoir profiter de celte occasion, pour livrer au public les résultats de mes propres recherches , je n'ai usé de cette faculté qu'avec une extrême circonspection. Parmi ces résultats, je me bornerai à citer, en les recommandant à l'indulgence des géomètres :

La formule générale qui sert à réduire aux transccntlantes elliptiques l'intégrale J ■=====. y dans laquelle

Q désigne une fonction rationnelle quelconque de sin. 2 ?.

La représentation géométrique des fonctions elliptiques par des secteurs de courbes polaires, ainsi que de la transcendante T par un héliçoïde.

La réduction (sous forme imaginaire) des transcendantes elliptiques de troisième espèce , à paramètre circulaire, à des fonctions de deux arguments.

Les développements des fonctions elliptiques en séries convergentes, pour toutes les valeurs du paramètre, du module et de l'amplitude.

La démonstration de la formule approximative

L'application de la double méthode des modules croissauts et décroissants , au calcul de la transcendante Y , ainsi que le développement de cette transcendante , tant en fonction de q et de as, qu'en fonction de r et de x.

Enfin , la plus grande partie du chapitre XIV, qui contient l'expression transcendante de la loi de dérivation des paramètres successifs , dans les fonctions elliptiques de la troisième espèce , et une nouvelle méthode pour calculer les fonctions complètes des deux premières espèces, avec un grand nombre de décimales exactes.