CHAPITRE XII
Théorème de M. Jacobi.
§ 109. L échelle île modules dont nous avons traité jusqu'à présent, a été découverte par Lagrange en 1784. La loi de sa formation est très-simple ; mais cette loi peut varier , et , par conséquent , il peut exister différentes échelles de modules. Longtemps après Lagrange (en 182o), Legendre en découvrit une seconde, dont la loi est plus compliquée, mais qui jouit de propriétés analogues (*). Enfin, peu de temps après, M. Jacobi a démontre qu'on peut former une inûnité d'échelles de modules , à chacune desquelles correspond , par conséquent , une infinité de transformations diverses du même digamma , en d'autres fonctions de même espèce , dont les modules et les amplitudes sont tous déterminables par des opérations algébriques. Le théorème de M. Jacobi peut s'énoncer de la manière suivante : « Soit p un nombre impair pris à volonté , que j'appellerai l'in- » dicc :
>• Soit a, , <t % , a 3 a P —i une série d'amplitudes qui correspondent
>» aux équations transcendantes
dig.(c, *,) = -D(c) , dig.(c, «,) = --D(c) ,
dig.(c, * 3 ) = -D(c) dig.(c, a ) =£D(c) :
» Soit
< U G-( C > ?) = A* dig.(*, » une équation transcendante hypothétique, dans laquelle l'ampli-
(') Traite des fonctions elliptiques , tome 1 . chap. xxxi.
• tude v peut avoir une valeur quelconque, depuis zéro jusqu'à >» l'infini :
» Je dis que le module secondaire kf le coefficient que j'appcl- » lerai le régulateur, et l'amplitude f , pourront toujours être déter- » rainés en fonction du module donne c, du nombre donné p, et » de l'amplitude donnée «. La relation entre v et ; sera
f\) I — sin. ; =
(i±îiiL.V (i T sin - ? V (i-ii^)"
\ sin..>,/ \ anvv \ *ia.xj
v * r; l — c'sin.^sinX l — c 2 sin.\sin. ^ 1— c'sin.^sin.^-i
>» dans laquelle on prendra les signes supérieurs ou inférieurs , selon » que p sera de la forme 4f» h- 1 ou An — 1 . »
La démonstration de cette belle propriété des fonctions elliptiques de la première espèce (*), a reçu le dernier degré de rigueur, dans les suppléments dont Legendre a fait suivre la publication de son traité. Mais celle qui nous a paru mériter la préférence, sous le double rapport de la méthode et de la clarté , a été donnée par le célèbre Poisson, dans un rapport sur l'ouvrage de M. Jacobi (**). Elle se divise en trois parties , que nous allons exposer successivement, avec les modifications et les développements que nous avons crus nécessaires.
§ 110. Considérons la différentielle
dx
V{\ — ax) (l —a'x){ i—a"x) (1 — a"'x)
dans laquelle a, a', a", a'", sont des constantes données, et proposons-nous d'y ramener une autre différentielle de la même forme , savoir :
/udy
V\\-by){\- b'y) ( 1 - b"y) ( l - b"'y) '
(') Legondrc a prouvé qu'elle se vérifie d'une manière analogue pouf les fonctions de seconde espèce (Traité des fonctions elliptiques, tome III . page 59).
(**) Lu à l'académie des sciences. le 91 décembre 1829. { Mémoires de V Institut, (onie X).
in prenant pour y une fonction rationnelle île r, et en déterminant eoiivenablemcnt /x , b, b', b", b'", en fonctions de a, a" «"'. On suppose ces quatre constantes inégales, ainsi que i, 6', b'\ b'" \ de de manière que ces différentielles ne sont point intégrantes sous forme finie.
Désignons par U et V deux fonctions rationnelles et entières de x , premières entre elles, l'une du degré p, l'autre du degré/? — 1. Pour que leur rapport y — y soit une intégrale de l'équation
dx ftdy — = — — ,
V ( 1 -ax) (1 -a'x) ( t -a"x) ( 1 -a"'x) ^(\ -by) (1 -by) {\-b"y) ( 1 - b"'y)
il faudra qu'en substituant à y sa valeur " , dans l'équation précédente , le résultat
(1) (V — MJ)(V ATJ)(V-6"U) (V—fc'"U)*=
/ di) d\
y? (1 ax ) ( 1 - a'x, ( 1 - a"x) ( I - a'"*) V — - U -~
\ dx dx
soit identiquement vrai.
Lorsque les polynômes U et V renferment un grand nombre de termes, la substitution dont il s'agit devient excessivement laborieuse, quelquefois même impraticable. C'est pourquoi nous allons chercher à remplacer la condition exprimée par l'équation (S), par une autre plus aisée à vérifier.
Lemme. Soit T tin troisième polynôme en x : si la valeur y ~y rend identique l'équation
(2) (V MJ)(V— 6'U)(V— À"(J)(V— 6"'CJ) =
(1 ax) [\ — a'r){\—a"x){\-a'"r)T* ,
je dis quon aura nécessairement
I dV dV\
A étant une constante; d'où il suit que, si A était précisément égal à les équations (1) et (2) seraient les mêmes , et que , par conséquent , la valeur y = y rendrait identique l'équation (l) ; condition qui équivaut , comme nous l'avons vu , à la vérification de l'équation différentielle proposée.
Pour démontrer le lent me précédent , je fais observer :
1° Que les deux polynômes U et V étant premiers entre eux , et les coefficients o, b' t 6", 6"', inégaux, les polynômes V — 6U, V — Z/X, V — 6"U, V — 6"'U, sont aussi premiers entre eux ;
2° Que si les facteurs du premier degré en x du polyuome T, sont représentés par X, X', X", etc., ceux de T 1 sont X% X'% X'"\ etc.. que j'appellerai facteurs doubles ;
3° Qu'il résulte de ce que les polynômes V — 6U, V — fc'U, etc. , n'ont pas de facteurs communs , que les facteurs doubles de T a ne peuvent provenir de la multiplication de deux facteurs égaux contenus dans deux polynômes différents, et que , par conséquent, T ' n'aura pas d'autres facteurs en x que les facteurs doubles d'un ou de plusieurs de ces quatre polynômes ;
4° Que, réciproquement, puisque les coefficients a, a', a", a'", sont aussi inégaux , tous les facteurs doubles des quatre polynômes précités (facteurs que je désignerai par F% F'% F"% etc.) ne peuvent être compris que dans T a ; d'où il suit que T" doit être de la forme
T = /•(.*). F\F'\F"* ; mais en vertu de la remarque 3°, T 1 n'a
pas d'autres facteurs en x que F% F", F"\ etc. : par conséquent, f{x) se réduit à une constante, que je dénoterai par x' a ; ce qui donnera
8° Que p étant le degré de U, le premier membre de l'équation (2) sera du degré Ap. Ainsi T' doit être du degré kp — 4 , et , par conséquent , T du degré 2j» — 2 ; de sorte que ce nombre 2p — 2 sera celui des facteurs F, F', F", etc. ;
6° Qu'il suit de l'identité
, , . .dU d(V — bMU) dV „</V dx ax ax ax
que tout facteur double de V — i^U est un facteur simple de V S" — ^S" (*)" Par cons cquent, ce polynôme renfermera le produit
(*) Kn effet, fW j étant un des facteurs doubles du polynôme V — bWV , le polynôme dérivé ^ V "^^^ . et. par conséquent . le premier membre de l'identité précédente ne sera divisible que par la première puissance de V^K
de tous les facteurs F, F', F", etc.; ce que nous exprimerons en écrivant
dl d\ . ,,
or dx
e'quation dans laquelle le second membre doit être au moins du degré 2/> — 2 , puisque , d'après la remarque précédente , ce nombre est celui des facteurs F, F', F", etc. Mais, puisque U est du degré />, et V du degré p — 1 , le premier membre est précisément du degré 2j» — 2 ; d'où l'on conclut que y (a?) est une constante.
En rapprochant Féquation T= A'F .F'.F".... , de la précédente, on voit qu'elles coïncident, à un coefficient constant près; ce qu'il s'agissait de démontrer.
Dans l'application que nous voulons faire du lemme ci-dessus aux transcendantes elliptiques , il suffira de considérer l'équation différentielle
dx ftdy
dans laquelle c est une constante donnée , et n et k sont des constantes inconnues : l 'équation (2) sera alors remplacée par celle-ci
(4) . . (V 1 - U*)(V a — *TP) = (1 — **) (1 - c'**)TV
De plus , si nous faisons x=siii.^, y = sin.^, l'équation (3) deviendra
dv fidp V\-e sin.' ? V\ — *'sin7> 7
ce qui donne , en prenant les intégrales de ses deux membres, de
manière qu'elles s'évanouissent avec les variables y et <p ,
§ 1 1 1 Soit , en général ,
<%(<-•> r) ~*- dig.(c, V = dig.(c, *) ■■ dig.(c, v ) - dig.(<, o) = dig.(c, <r) :
d'après les formules du § 18 , on aura
sin.y cos.0 s (c, 0) ■+- sin.Ocos.? A (c, •,) l — c sin.'ysin.'O
sin.vcos.O a (c, 0) — sin.O cos. f a (c, > r ) d'où résultent les équations
sm.cP= : ~ : ~ — — ;
1 — c'sin.'? sin.'o
2sin. v cos.O s (c, 0)
sin.<r + sm.fe ■ . - ■ ■ ,
1 — c 2 sin.'y sin. 3 ô
sin. v — sin. 0
sin.? sin. J> =
1 — c' sin. a ? sin.*0 donc
(1 — sin.ir) (1 — sin.cT) =
1 — c'siu.*? sin.'ô -4- sin.' y — sin.'G — 2sin.?cos.0 a(c, </) , — . — -■ ■ — ■ #-
1 — c 1 sin.'? sin.'O
Désignons par dig.(c, 0) et dig. (c, 0') deux digamma complémentaires: on aura sin. e'= -3^» et le produit précédent deviendra
COS.'O |l -
sin.? ^
sin///
w v ' v l— c sin. ?sin. O
Prenons 0 =amp. — : nous aurons 6 =amp. ~y~*> » tl 011 " su,t que , si l'on écrit a m au lieu de 0, il faudra écrire x p m au lieu de 0\ Soit aussi dig. (c, ?) = z : on aura
mD ml)
dig.(c, ff ) = * •+- — , dig.(c,e/) = 5 — — ,
et , par conséquent ,
/ mD\ / mD\ sin.(7 = sin.arap. ^s-*- — j, sin.cf= sin amp. ^ s — J.
Soit encore sin.?=;e, sin. f=y, et l'équation (5) pourra s'écrire sous la forme
[l-sin.a ro p.^!^)][l-sin.amp.(,-^)] ('-jjjj^J
cos.\im 1— c'.r*sin. a a»i
De plus , si l'on se rappelle que le signe du sinus de l'amplitude T change avec celui de l'amplitude , et que ce dernier change avec le signe du digamma , on pourra mettre — x et — s h la place de x et de s, et l'on obtiendra cette double expression
[ I± si n . a mp.( ï + ^)][l ± s i n. a mp.(,-^)]= ï -i^^.
§ 1 13. Considérons maintenant l'équatiou (A) du§ 109, et écrivonsla , pour abréger , de la manière suivante
\ sin.^-a/ \ sin.^-4/ \ sin.g, / l h 3^ l= F^-i c ^ 8 i n .^ a , | c --vsin.^/' l-<;\r'sin. '
en vertu de la formule de transformation qui termine le § précédent , cette équation devient
(lq=sin.amp.*)P (7) . . . . I— y = ,
COS. 'Jtj COS. *« j. , . .COS. ''dp— i
P désignant le produit des p — 1 facteurs [l"| . . ldrsin.amp.^s ùj, [2] . . Idt sin.amp.|a-4- - d|,
[3] . . lzpsin.amp.^a— ~dJ, [4] . . l:psin.amp.|s-+- -dJ,
[5] . . lisin.amp.^s— ?d|, [6] . . lrfcsin.amp.^s-4- ? ûj,
[7] . . 1 =p sin.amp.^ d| , [8] . . lqpsin.amp.^s-f- - ùj ,
[9] . . Irfcsin.amp.^s — — dJ, [10] . . I =b sin.amp.^ »-?I>j,
[II] . . Icf sic. ara p. Dj, [12] . . Inpsin.amp.^an — Dj,
[18] . . l±sin.amp.|s— ^dJ, [U] . . 1 =b sin.amp.|a-+-~D|,
[p— 2] . 1- sin.amp.^— -— I 'f>j , [p— 1| . 1-sin.amp.^ qu'il s'agit de transformer de nouveau.
A cet effet, je décompose le produit P en trois autres P', P", P"\ tels que
P' désigne le produit des facteurs notés par les numéros d'ordre
[1M*L P], [10], [là], [U], etc.;
P" le produit des facteurs [8], [7] , [11], [15], etc. ; P"'lc produit des facteurs [4], [8], [12], [16], etc. Cela posé, jé ferai remarquer qu'en vertu du $ 26, on a
sin. amp.(Ç -4- 2D) = — sin. amp. Ç, sin. amp.(Ç -+- 4D)=sin. amp. K ,
quel que soit £. D'après celte propriété, nous mettrons 2 -+- 21) à la place de z f dans les facteurs de P', et nous changerons les signes des sinus qu'ils contiennent ; nous augmenterons z de 4D daus les facteurs de P", cl nous ne ferons éprouver aucun changement aux facteurs de P'". On reconnaîtra pour lors :
Que les facteurs [I] , [5], [9], [13] , etc. , forment une série
P lv =£l=f:sin.amp.^-t-^ — ~d|J jjipsin.amp.^s-»-— — ~d|J.... j
Que les facteurs [2], [6], [10] , [14], etc. , forment une série
P v =£l=F8in.amp.^aH--^^DjJ£l^ ;
Que le produit P ,v . P" est égal à P' ; d'où il suit que
P = =P".P"'.P lT .P T .
En multipliant P" par P v , et P'" par P' v , on décomposera P en deux séries S' et S'', de chacune p -~ facteurs , savoir :
S'^^l^sin.amp.^-Ç-Djjlqpsin.amp.
X j^*^ sin.amp.^s^-^^D|J^lq^sin.arap.^^--^^DjJ - | , vS"= jj^l q= sin. amp. ■+- - D jj£l zp sin. amp. |s -4- — "|
X J^l=f siii.amp.|s 4 — ^d|J£i =f sin.amp.|s-»- — — -dJJ j.
On pourrait croire , au premier abord , que les deux premières lignes forment deux séries distinctes , ainsi que les deux dernières ; mais il est aisé de s'assurer du contraire , en observant que Ton a
2/>-f-2 = 4p — 2(/>-l), 2p + 6 = 4p-2(p — 3), etc.', 2/>-2 = 2(/>-l), 2p-6 = 2(p 3), etc.;
et comme tous les nombres p — 1 , p — 3 , p — 5 , etc. , sont de la
forme 2», tous les multiples de D, dans les quatre lignes, seront
de la forme --D.
§ 113. Il suit du paragraphe précédent, que la valeur de 1 — y, donnée par l'équation (7), peut s'exprimer par
[l=psin.amp.s]^l^sin.amp. ^-4-^DjJ...^l=psin.amp.^-i-^^DjJ cos. a, . cos. a a 4 . cos.'a 6 cos.^,
Celte formule nous montre que la quantité 1 — y ne changera pas , si l'on met s + ^Dà la place de s; car alors , chaque facteur du numérateur se changera dans le suivant , et le dernier dans le premier. Il en résulte que 1 — y ne changera pas non plus , en mettant 2+ — D à la place de z , m étant un nombre entier quelconque , positif ou négatif. Or, en faisant z=0 dans la première expression deP,
P=|^l±sin.amp. |z — -d|J|^1 drsin.arap. |s -f- - d|J . . . . , cette expression devient
£l =psin.auip.?Dj^X -j-»in.amp.*Dj|^l ±»in.arop.^D j£l:p»in.ainp.^Dj..... ou
2 4 ^ 6^ p-\ ^ cos.'amp. - D.cos.'amp. - D.cos.'amp. -D....cos. amp. D;
et comme on a généralement amp. ™ D = *,„ ($ 111) , la formule (7) donnera y = 0 pour 3 = 0, et aussi pour a = ~ D.
Écrivons maintenant l'équation (6) sous la forme 1 —y s= - ; d'où
en prenant
V=(l— c'^sin.X) (1— cVsin.'« 4 ) (I-cVbd,^.,),
et en désignant par Z une fonction rationnelle et entière dex, qui sera du degré p. La fonction V — Z sera nulle, ainsi que y, pour s ~ -y D, c'est-à-dire, quand on fera # = sin. amp. ^ D ; d'où il résulte, que les racines de l'équation V — Z = 0, seront
A 8 2p— 2 • 0, rfcsm.amp. - D, ± sin. amp. - D, zh sin.amp- D ,
ou , ce qui est la même chose,
0, ± sin. amp. - D, rfc sin. amp. - D , ± sin.amp. D,
parce que
b sin. amp. —
± sin. amp. — D= =b sin.amp. 2D D
( 2 \ 2 = qp sin. amp. D j = ± sin. amp. - D.
Nous aurons donc pour facteurs de V — Z ,
sin.'a., sin. 3 «, sin'. 2 a tl sm. jc /) ,
mais, puisque ces facteurs forment, par leur produit , un polynôme du degré p , il su (lira , pour reproduire la fonction V — Z , de joindre à ces facteurs variables un facteur constant. Nous ferons voir , à la fin de ce §, que ce facteur constant a pour valeur^, ft désignant la même quantité que dans l'équation (3), si cette équation a pour intégrale y = -^- Z .
Il suil de ce qui précède, que si l'on prend
/u \ sin. «,/ \ sin. <*,/ \ sin/at,,-i/
la valeur de y aura pour expression
U x \ sm.'aj \ sm.'tfj/ sin.
V ii (l-c^ 2 sin.X)(l— c'jr'sin.^) 1— c'x'sin. ,
Pour déterminer ju, j'observe qu'en faisant .r = dr 1, selon que Kj* — 0 scra P a » r 00 impair, l'équation (6) donnera y = 1 , dans les deux cas. Dans le premier, je fais à la fois x=\ et y — \ dans l'équation (9) : le nombre des facteurs binômes de son second membre étant £ (p—\) , et par conséquent pair, il en résultera
cot.'a . cot.'a, r cot.\z„i
fl — ! . . ' .
(1— c'sin.X) (1 — c'siu.'o,). . . . (l—<; a sin.
Dans le second cas (celui où ±{p — I) est impair) , on fera y= 1 , X — — 1 : le nombre des facteurs binômes du second membre de l'équation (9; étant impair, le produit de ces facteurs donnera un ré-
* i sultat négatif par la substitution de — cot.'a,,, au lieu de 1 — - |h — •
Le signe de ce produit se combinant avec celui de r, ou tombera sur la même valeur de
Les fondions dig. (c, £„,), dig. (c, x p - m ) élanl complémentaires (S Ul), on a
COS.'<t m
(10) *\nSx P - m = - , , a ;
1— c'wn.\
au moyen de quoi la valeur précédente de /* , devient plus simplement
... sin.'-x,. sin. « 3 sin. a jc«--.
sin. a ty-i. sin"^3 sin.V,
Nous avons promis, tout à l'heure, de démontrer que le coeflicient (i doit être le même dans les équations (9) et (3) , pour que la première soit une intégrale de la seconde. A cet effet , nous ferons remarquer que l'équation (3) ayant pour intégrale transcendante dig. (c, - r ) = i adig. [k, , si l'on suppose y et <p infiniment petits, celte intégrale donne d^ — fjLd} ; ce qui est aussi le résultat auquel on parvient, en faisant la même hypothèse dans l'équation (9). La première condition exigée pour l'accord des équations dont il s'agit,
est donc que le coefficient p ait même valeur dans Tune et dans . l'autre.
§ 1 14. Pour s'assurer que l'équation (9) donne véritablement la valeur de y en fonction de x , il resterait à substituer cette valeur dans l'équation différentielle (8), et à prouver que les deux membres deviennent identiques , en déterminant convenablement le module k , qui reste encore inconnu. Mais le calcul qu'exige cette substitution , ne serait praticable que pour des valeurs assez petites du nombre jj, telles que/) = 3, S, 7, et il cesserait absolument de l'être, en laissant la formule dans son état de généralité. La difficulté qui se présente ici est d'une telle nature, qu'il ne resterait guère d'espoir de parvenir à la démonstration générale , si M. Jacobi n'eût trouvé un moyen aussi simple qu'ingénieux, d'éviter la substitution à faire dans l'équation différentielle , et d'y suppléer par une propriété particulière de celte équation , qui doit être commune aux intégrales qui la représentent. Celte propriété consiste dans la remarque aisée à vérifier, que si l'on substitue à la fois — a la place de x, et à la place de y , l'équation différentielle sera satisfaite.
La détermination du module k, se déduit immédiatement de cette double substitution opérée dans l'intégrale hypothétique
y= - = -•—-(*). En effet, si l'on écrit — à la place de x dans le
V fx V CX
facteur général
sin. a nl
1 — c a jr* sin. X, w
qui sert à composer la valeur de -y dans l'équation (9), ce facteur devient
1 1 — c \r*sin. a « m
c 2 sin. 4 a m . .r J
sin.X,
O AV. comme on le voit . désigne le facteur pair qui multiplie JF .
donc, la quantité—, formée du produit de plusieurs facteurs semblablement exprimés, deviendra ^. ^, en faisant , pour abréger ,
sin. 4 *, sin.Vj siu. 4 <x 6 sin. 4 ^ , ,
et à la place de l'équation
on aura
fSck x W
y = ~T' ~fj.' Y*
Or , il est visible que ces deux équations s'accorderaient entre elles , si l'on avait k—f^ck ; c'est-à-dire, en substituant la valeur de^a,
(12). . . A = c p sin. 4 a, sin.fz 3 sin. 4 a 5 sin. 4 * 8 :
il est donc démontré , que la double substitution de ]- à la place de x, et de- A - à la place de y, qui peut se faire, sans donner à k aucune valeur dans l'équation (3), pourra se faire aussi dans l'équation finie y = y, pourvu qu'on donne à k la valeur qu'on vient d'assigner.
Enfin , c'est en combinant le principe de la double substitution avec le lemme du § 1 10, que nous allons éluder la vérification de l'équation différentielle (3).
Il résulte de l'équation (9), que y change de signe avec x : si donc , on met — x et — y à la place de x et de y dans réquai ion (6), on aura la valeur de 1 +y ; et , en la multipliant par celle de 1 — y, et prenant la racine carrée du produit , on en conclura
\ sin. a p J \ sin. a p A J \ sin.'*,/
( l — c'x" sin.'« a ) ( l — ex" sin. V,) ... ( l — c ! x* sin. **,,,)
J'efTectuc maintenant la double substitution de tt. et ~ , au lieu de x et de y, dans cette équation : en divisant ses deux membres par il vient
\ sin.'a 2 / \ sin. 'a, }
où Ton a dénoté par G le produit
c / 'sin.Xsin. , * 1 sin.^—a. sin.'a, sin.'o, 5in. 3 ^,.
Ayant multiplié l'équation précédente par ky, je substitue dans son second membre, la valeur de y donnée par l'équation (9) : en tenant compte des valeurs de fi, de k, et de S , j'obtiens
(U) ....... y—kY «=
. ( 1 --c , j? a sin. a «p a )(l — c'Vsin.'a»-^). . . ( 1 — c*Vsin. a <z.)
(1— c'j? a sîn. a ap i)(1 — c Vsin. a «j, 3)...(1 — c'Vsin.**,)
Au moyen des formules (18) et (14) , nous aurons
en posant , pour abréger ,
\ sin. a, / \ sin. <x 3 / \ sin. xp-ij
Q'=(l— c'jr'sin.'ajfl— cVsin.Vj (1 — cVsin. V->) >
et prenant pour V la même valeur que précédemment. Si donc , on met ^ à la place de y , on aura l'équation
(V 5 — U') (V'-*'lï') =(1 — * a ) (l-c'OQ a Q'\
Or, il résulte de la première partie de la démonstration :
1° Que si l'on prend QQ' pour T dans l'équation (4) , QQ' sera
2° Que si A se trouvait être égal à /te , l'équation différentielle (3) serait vérifiée.
Il ne reste donc plus qu'à déterminer A : à cet etfet, je remarque d'abord que l'on a
d'où
/ dU d\\ AV a /U\ dy
dy
QQ'= AV a -^;
mais si Ton suppose z et y infiniment petits dans les polynômes Q, Q\ V, et daos lcquation (9), la relation ci-dessus se réduit à 1 = * : donc A = (t.
Remarques. L'usage du théorème de M. Jacobi , suppose la détermination préalable des quantités a m , qui satisfont à l'équation dig. (c, a m ) = — D(c). Ces auxiliaires étant déterminées par les formules du § 21 , on connaîtra les constantes jx et k par les formules (11) et (12), et l'amplitude y pourra être calculée par la formule trigonométrique (A).
L'équation différentielle
ayant pour intégrale générale transcendante
<%-(c, f )=/<[dig.(A, <l) h- dig. «)],
« désignant une constante arbitraire , on obtiendra l'intégrale générale algébrique de la même équation , en changeant sin. <p en
sin. f cos.qa(*, o)-f- sin. wcos.^a(*, ^) 1 — sin.^sin.'û)
dans le premier membre delà formule (A).
§ 115. Le théorème de M. Jacobi offre de nombreux corollaires, dont nous nous bornerons à rapporter les plus importants.
Corollaire J fr . Remarquons que dans la formule (A) , on peut changer à la fois -«- s'm.<p et sin. y, en — sin. <p et — sin. r (§ 114): de plus , on a , en général ,
1 dr sin. •■!/ ,
î s ^ = u BB .'(W±*f),
sin.jorbsin.o tang. (£/> rfc £o) sin.p qz sin. g ~ tang.(i/ï i Ç )
An moyen de ces relations , la formule (A) devient
tang.(45- — {}) =»
lan-.(4S"qri.) . lan îT->(*/>->^>) • tang^fa-4HPv)...tang4(a,- ? ) °* 2f tang.i^.-aqzv) . tang.i(^4rbç)...lang.^(jt,H- ? ) '
mais l'amplitude ^ peut se déduire de ^ , par une formule encore plus élégante , que nous allons démontrer.
L'équation
VY — c'sin.^ V\— V sin.> ' comparée à l'équation (14;, donne pour cfy ,
c/? 1 — c* sin.^sin.X 1 — c' sin. 2 ysin. a <x,, a
Oii • ■ » « » j
1 — c'sin.^sin. 1 — c a sin.'?sin.X
en égalant le second membre de cette équation à une suite de la forme
d 'rl n H' H" H'" \ (15) ^=- r H + - ; + H )
dans laquelle a', a", a'", etc., représentent les dénominateurs des fractions qui entrent dans l'expression de dp, on reconnaîtra d'abord, en faisant sin.y égal à l'infini, que le terme U a pour valeur
sin. 2 *, sin. 3 ^ . . .sin. a «p a
sin. «,sin. a u . . . si n. x p — t
c'est-à-dire qu'il est précisément égal à /u.. Ensuite, les autres termes auront , pour expression commune ,
1 — c J sin. u f sin.X™ '
m ayant successivement toutes les valeurs 2 , 4 , 6 p — 1 , et M
désignant un coefficient général indépendant de f .
La première idée qui se présente pour déterminer les coefficients H', H", H"', etc., c'est de commencer par faire disparaître les dénominateurs a', a", a'", etc., des fractions partielles, puis d'égaler le numérateur de la fraction ainsi obtenue , à celui de la fraction proposée ; ce qui donnerait équations renfermant les ^j- inconnues représentées par le coefficient général M. Mais il est évident que ce procédé, très-laborieux si p n'est pas un petit nombre, est complètement en défaut quand la valeur numérique de p n'est pas donnée. Nous serons donc obligé d'employer une autre méthode.
Si nous représentons par ^ , le polynôme que nous voulons uccomposer; et par R , l'ensemble des termes autres que le terme gene-
ral que l'on considère , nous aurons l'identité
Q ~~ 1 — c' sin.' f sin.X R '
d'où
RM N(l - c 7 sin.^sin.X) = p -
Cette équation devant se vérifier, quelle que soit la valeur du facteur
1 — c'sin.'e; sin.X«î aura également lieu si 1 — c' sin^ sin. a « m = 0 ,
c'est-à-dire si c* sin.'f = ^7— ; — . Représentant par[R] et par [P] ce que deviennent R et P dans cette hypothèse, il viendra
ce qui donne, après avoir substitué à c 1 sin.'? sa valeur ^ ^ ,
/ sin.XN ^ sin, a ^\ / sin. a ^-,\
\ sin.xJl sin-X,/ \ sin -X, /
(sin. a £t a \/ sin.V,\ / sin.Xn,\/ sin. J a m ^- a \ / sin. a <x p -i\
~sin. 3 *J\ "sin.X,/ \ sin.X, j\ sin.X. j \ sin.X. /
ou , en tenant compte de la valeur de /x,
/ sin.X. W sin.X. \ / sin.X \
M \sin.X /\sin. a flc, / \sin.X— a /
^"" pn.X, \/sin.X A ( s'"-X, A/ sin.X» \ / sin.X w \"
\sin.X J\sin.'« 4 / \sin.X»- a j\sin.X»+ a / \sin.X-» /
Je fais observer que le nombre des facteurs du numérateur du second membre , étant désigné par n, celui des facteurs du dénominateur sera n — 1, et que l'un de ces deux nombres sera nécessairement impair; d'où il suit que si l'on- intervertit l'ordre des termes dans chaque facteur binôme, tant du numérateur que du dénominateur , la fraction changera de signe, et l'on aura
\ sin.X—»/ in.Xi-,/\ sin.X.+J \ sin.X-»/
mais, comme la valeur de M, donnée par cette équation, est fort compliquée , uous allons chercher à la transformer en une autre plus simple.
Il suit du § 1U, que si l'on remplace y par sa valeur - • on a
d'où
dx \\Ydx Ydx) '
WV ~*' X \\\dx Ydx]'
Les polynômes V, W, Q et Q' étant des fonctions paires de x, il conviendra de faire x*=z, et l'on aura l'équation
QQ'-VW d\\ dY 2*VW ~ \yJz~~~ Ydz
Représentons par j.— - un facteur quelconque de W , et
soit
l'équation précédente deviendra
QQ-Vwy df f ( d ^__^\
2sVW' " ~ dz ' \ Wdz ~ Ydz ) 9
et devra être identiquement satisfaite pour une valeur quelconque de/. Or, si l'on suppose /•=<), d'où 5=sin.X., l'équation se réduità
QQ / df 2sVW dz '
expression dans laquelle il faut encore substituer à z et à % les va-
leurs particulières qui résultent de l'hypothèse /*=0, c'cst-à-dirc 5 = sin. 3 a m , et d .~ — tiu.lg,/ L'identité des deux membres exige donc que , pour toute valeur de m, on ait
do œi---*.
[Q]» [Q']i (V]» L^'l» dénotant ce que deviennent les polynômes <J, Q', V, W, quand on y remplace a?* par sa valeur sin.'*,,,, savoir :
[Q'] = (l — c'sin.'a^sin.'j!,) (I — c'sin.^sin.^-j) ,
[V] = (1 — c'sin.'a^sin.'aj (1 — c^sin.^sin. **,,,) ,
(sin. a « \ I sin.'sf \ / sm ' ,x ,„ \( s ' n,, *„, \ / sin '' x m \
Si l'on compare ces valeurs des polynômes [Q] et [W], à la dernière expression de ^ , on reconnaîtra que l'on peut écrire
- iwr
et, par conséquent , en vertu de l'équation (16),
l M [V] (1 — o'sin.'a^sin.'a,)...^ — c 5 sin.*«„, sin. , a p ,) ^ '7 = Wî ~~ (l - c 1 sin.X,sin. 2 « l )...(l — c^sin.^sin. 2 ^-,)'
Cette valeur est celle de développée en facteurs, lorsqu'on
suppose v = £„, l ' ans l'équation (14); mais alors, comme il y a toujours un des facteurs de W qui s'évanouit, on a sin.'t^O, en vertu de l'équation (9); et \ ~ se réduit à a(c, «„,).
Cela posé, l'intégration de l'équation (15), se trouve réduite à celle d'une suite de termes de la forme
1 — c 1 sin.'a TO sin. 2 ? " ~ cos.'? -+- a 3 (c, cc m ) sin. 2 ? '
dont chacun a pour intégrale 2? m , en faisant
tang. ?m = tang.?A(c, a m ) :
donc on aura , en général ,
Celte nouvelle formule entre les amplitudes f et ^ , peut remplacer avec avantage l'équation (A).
§ 1 16. Corollaire II. Dans l'équation (9), y (ou sin. peut devenir nul par l'évanouissement de l'un quelconque des facteurs
sin.X ' sin. 2 *,,-, évanouissement qui répond aux équations
sin. % == 0, sin.? = db sin.ac, sin. - r = =fc sin. */>-,,
ou (*) '
Xp—t
— £, ) t — ctf,— i
dont le nombre est 2 -f- ^(^-y-) = 2p, et dont chacune correspond à sin.^ = 0. Il résulte de là un rapport curieux, entre les digamma complets D(c) et D(&), que nous allons démontrer ainsi qu'il suit : Désignons par C',€'\ etc., les amplitudes précédentes, disposées par ordre de grandeur, de sorte que £°==0 : appelons <l> et H', deux circonférences égales et superposées, R(,) et R(^) leurs rayons. Marquons, sur la circonférence*, des points w°, m', m" ,...m^ p ~ l \ qui correspondent aux amplitudes etc., comptées à partir
de puis, concevons que les rayons R(^) et R(i) , confondus à l'origine «*°, s'écartent simultanément de cette position initiale. Les amplitudes et croissant ensemble, bien que par des degrés différents, lorsque R(- r ) sera parvenu au point le plus voisin m' , le rayon R(-i) aura atteint le premier point de la circonférence Y, qui donne sin. :=0, c'est-à-dire qu'il aura décrit une demi-circonférence; il en décrira une nouvelle, tandis que R( r ) passera de m' en m", et ainsi de suite : de manière qu'il aura décrit "2p demi-circonférences (ou p circonférences entières) , lorsque R( r ) sera revenu au point de départ. Nous exprimerons cette propriété par les équations simultanées
ç, = 2t , et = 2/>x ;
(*) Parmi les arcs qui ont même sinus, nous considérons uniquement ceux qui sont moindres qu'une eireonléience entier»'.
d'où
dig. (c, 2t) = /u, dig. (*, 2pr) , 4dig.(c, £*•) = 4,udig.(*, p.ir),
et enfin
ce qui est le rapport cherche.
§ 117. Corollaire ///(*). Soit h le complément du module k : si dans l'équation (3), on écrit au lieu de c, de k, de x = sin. ? , et de y = sin. les valeurs
VT^ÏÏ, VT^h\ V~~\ tang. <r, l/^T tang. r,
on obtient %
du dx
dont l'intégrale est
dig. (b, <r) =- ,u dig. (h, t) ;
ce qui fait voir qu'il est permis de passer des modules primitifs à leurs compléments , sans changer de régulateur , au moyen d'une détermination convenable de r en <r, qu'il s'agit maintenant de déduire des formules précédemment démontrées. Pour cela , reprenons les équations (9) , (13) et (14) , qui ne sont autres que
(17) sin.* =
j s ' n * 3 ? | sin. a ¥ sin.'y
sin.y sm. 2 a, sin.^ sin.^,
fx, 1 — c'sin.^sin. 9 *, 1 — c'sin.^sin. 2 ^ 1 — c , sin. 2 ^8in. J a p i
(18) cos. $ =
j sin.* ? sin.'y ^ sin.'y
sin. 3 a, sin.'at, sin.'a.,— ,
cos. y
1— c'sin.'^sin. 1 ^—! 1— c'8in.^siu. 3 ^ 3 1 — c'sin.^sin.'a, '
1 — c'sin.'çsin.'a, 1 — c-sin.^sin.^ 1 — c'sin. , ç.sin. 9 a / , î(
1— c sin.'ysin.X 1 — tfsin.^sin. 2 *, I— c'sin.'fsin.'*^/
(*) Ce corollaire se trouve rapporté par Lrgrudrr, sous le titre de Théorème U de M. Jacobi.
d'où
(20) tang.f
sin. 3 « sin.'w sin.'y 1 — 1 I- 1 -
tanff. 9 sin.X sin.V, sm. a p ,
M ^ sin.'v ^ sin.'p ^ sin.'?
sin.**, sin. a a 3 sin. u « / , î
En substituant, dans l'équation (20) , au lieu de
tang. </» , tang. c , sin.'? , leurs valeurs respectives
1/ — l.sin.r, V / — l.sin.<y, — tang.V,
on obtient immédiatement
(21) sin.r =
sin.o- l-t-cot. a a,sin. a <7 1 -+-cot.Vj$in.\r 1 -f-cot. sin. a < ^ ' l+cot.^^sin.V l+cot. a ^ 4 sin.V 1 -f-cot. 2 ^, sin.V
En représentant par
✓ sin.'o
/ 1- . , [ sin. a p m
COS. s. m :
M — c 2 sin. a y sin.^y
le produit qui compose le second membre de l'équation (18), celle-ci donne, par la substitution de — l — et de — î— , au lieu de cos.^ et
7 r cos. T cos. G
de cos. y ,
1 — sin. 3 ? sin.X
(1 — c' sin.? sin. ct m \ : — r \ :
on remplacera, dans celte formule, sin. a © par sa valeur . 8 '°* * :
, sin. a — 1 cos. a
puis, en vertu de l'équation (10), on écrira - — - — — au lieu de
Sin. Xp—m
1 — c'sin.X,* Alors, toute réduction faite, il viendra pour cos.t,
(22) COS. r =
cos. 5 *, . cos. 2 « 4 cos. a <x.,, .
1 — — sin.'<7 1 :— - — — sm.V 1 : — £ — sin.V
sin. sm. a ; ,4 sin.'a,
COS.<7« ; : — — n — — . . . -— — : — - — ,
1 -4- cot. x p 2 sm. *<r 1 -+- col. a p i sin.V 1 +- col. sin.V
et pareillement
j cos.'«,sin.'ff j cos.'a^sin.V ^ cos.'a^aSin.V
sin/a-, sin.'tf^j sin.\x,
1 -t-cot. a <x,sin. 2 <7 I -f- cot.'^sin.V 1 cot.\tj, a sin.*<r
Il résulte de 1 équation (21), que r et a croissent simultanément, quoique d'une manière inégale, et que l'on ne peut avoir sin. t = 0, à moins que d'avoir aussi sin. <?=0. En effet, pour que sin. r devint nul, par un facteur autre que sin.c, il faudrait pouvoir poser 1 cot. a <x ra . sin.V = 0 ; ce qui donnerait pour a des valeurs imaginaires. Je dis maintenant que l'on ne peut avoir t = <t h- (2/h-1)t (hypothèse qui donnerait aussi sin. r = 0 , pour sin. <r — 0) , car il s'ensuivrait que cos. r= — cos. c; ce qui est contraire à l'équation (22). Ainsi, r = 0, quand c — 0 ; et il faudra faire croître l'amplitude <t jusqu'à 2t, pour que r devienne égal à une circonférence. On déduit de là la relation
qui donne, pour valeur du régulateur /u,
Cette équation , jointe aux formules (21), (22) et (23) , contient la loi suivant laquelle les deux digamma se déduisent l'un de l'autre. Cette loi est telle, que r est plus grand que <r, tant que c n'est pas égal à zéro ou à un nombre quelconque de demi-circonférences. En effet, chacun des facteurs qui multiplient cos. c dans l'équation (22), est visiblement moindre que l'unité, tant que sin. V n'est pas nul.
En comparant la valeur précédente de /x , à celle que nous avons trouvée par le corollaire II , on obtient la relation suivante entre les digamma complets des modules donnes c et b, et les digamma complets des modules inconnus k et h,
§ U«. Corollaire IF. Dans l'équation (24) dig.(o, <0 =^c%.(A, 0,
A etr sont déterminés en fonction de b et de o-, par le système de formules
a m = amp. — D (|/ 1— J ) = amp.— De), sin. a, sin. cep — *
sin. ctp—i sin. ct 2
^ (V^T^y smM r ...... sin.% 2 :
cos.'a, . cos a ^, .
