c„ sin

c„ sin.>

d'où Ton tire , en faisant ? = £t ,

T§»=4 DE — £log.6,

comme au § 65.

§ 107. La série précédente se simplifie extrêmement au moyen des relations

sin. ?/ «(i+&) — \ — r, =

d'où Ton déduit

log.(l-f-csin.'^)-f-log.(l — csin.'ï)=log.(1 -4-c,sin. a ?,)— 21og. |-j •

En effet , en écrivant T(?) sous la forme

T(y) = - dig. a ? — - [log. (1 H-csin.'v) -+- log.(l — csin. a ?)]

^log.(l+c,,sin. a ? ,,)- llog.(l— c„sin. a y„) -+- etc.,

on obtient

— i[log. (l-f-c, sin. 1 ?, ) log.(l— c, sin.' ? ,)]

" -j^T ^.(l-v-c^sin. 1 ^) — -j^Iog^l-c^sin .\, ,)

— etc. ;

ce qui donne , par des substitutions successives ,

— ^-log. a - log. a, +-log. A„-t-etc.j.

§ 108. Pour appliquer aux upsilon la méthode des modules croissants , nous prendrons la valeur de eps. ? trouvée au §97 , qui est

eps. y = S'M' log. tang. (45° h-cy(m).

Cette équation , combinée avec les suivantes

dig. 9 = S' log. tang. ( -t- * ? M) ($ 86) ,

devient

El — 1

eps. v = dig. - r . -^r- cT(f*) :

multipliant les deux membres par — et intégrant, on a

Es' i p d

Dans le développement de m (,a), que nous avons donné en série convergente au § 95, on a une suite de termes de la forme C sin.

dont chacun devra être multiplié par

rf? t/ c" c

ce C • ■ • «

puis intégre; mais Ton trouve sans difficulté

'sni.;' H. ' I 1 -f- C (n)

— -log.

' COS. y

et l'on tombe ainsi sur la série convergente

/ Es.' — 1 1

r(ç,) = idig.' y -pp- c log. -

9 (c' log. 1 - Ç log. 1)

,og -i)-

Remarque. En multipliant par ^tous les termes de l'équation («) du §92 , et en profitant de l'intégrale (8), on parvient immédiatement à la formule (h) , déduite de la considération des kappa logarithmiques ; ce qui offre une vérification très-satisfaisante des diverses formules qui nous ont conduit à ce résultat.