EXPÉRIENCE

Ttms des chutes. . Espaces.

j» 1 partie.

i4 TRAITÉ

Du rapport des forces accélératrices et des temps du mouvement , tes espaces parcourus étant égaux.

19. Si les espaces sont égaux et les forces accélératrices différentes, les temps du mouvement seront comme les racines carrées des forces.

Expériences. Mettez 92/72 - sur le bassin Aet*ai/ra $ sur le bassin B; la masse totale sera 6 -t m, eu y comprenant le poids 19 m des bassins et la résistance 8//1 du rouage : le poids additionnel ~m est la ia8° partie de la masse totale; ainsi l’espace parcouru parla masse totale en i"sera ffi ponces ou 1 j pouce , et en G'', 36 x 1 î = 54 pouces. Fixez la plaque à la division 54 de l'échelle, cl le bassin A y frappera à la fin de la sixième seconde.

Otez - m au bassin B cl ajoutez -les au bassin A, la différence des charges de ces bassins sera 9 m, ou la 5 a' partie de la masse totale 64 m. L’espace parcouru par cette masse en 1" sera ^ ou 6 pouces; et en 3 ", 54 pouces. En effet, le bassin A frappe la plaque à la fin de la troisième seconde.

Dans celte expérience, les espaces parcourus sont égaux, et les forces accélératrices sont dans le rapport de j et a ou de 1 et 4 ; les temps employés à parcourir les espaces égaux sont 3 " et 6", dont le rapport C3t égal à celui des racines carrées des nombres 1 et 4 , ou des forces accélératrices.

De la mesure de la vitesse dans le mouvement uniformément accéléré.

30. On a vu (art. 8 ) comment on soustrait un corps en mouvemeut à la force accélératrice qui l’anime. Le poids additionnel, de forme obtongue , est arrêté par l’anneau fixé à l’échelle , et le corps continue à se mouvoir; alors le mouvement uniformément accéléré est changé ea un mouvement uniforme, et l’espace que le corps parcourt uniformément en 1” est la mesure de sa vitesse.

Expérience. Chargez les bassins comme il a été dit art. 17 , en ayant soin que le poids additionnel îrn soit une barre plus longue que le diamètre de l’anneau qui doit l’arrêter. Fixez cctanneau à la division 1 9 pouces de l’échelle, et la plaque qui doit arrêter le bassin, à la diyision 56 pouces; faites partir le bassin A du zéro de l’échelle, et vous observerez que le bassin A traversera l’aoucau après a”, et s’arrêtera sur la plaque ou l’étage après 4 ". L’espace parcouru uniformément eu a" est 94 pouces, doubla de l’espace ta pouces que le corps avait parcouru d’un mouvement

uniformément accéléré dans le même temps. Cette expérience confirme la proposition démontrée art. 3 .

La force accélératrice étant constante, on vérifiera facilement que les vitesses correspondantes aux temps du mouvement, sont proportionnelles à ces temps.

91 . proposition. Les vitesses sont en rapport composé des forces accélératrices et des temps du mouvement uniformément accéléré.

Expériences. Soit la masse totale 6-'i/n , et le pouls additionnel du bassin A, sm. Mettez l’anneau à la division 3 pouces, et la plaque a la division 9 pouces; le bassin À traversera l’anneau après 1", et s’arrêtera sur la plaque après a"; ainsi la vitesse acquise en 1" est de 6 pouces.

Soit 48 m la masse totale et le poids additionnel du bassin A, 1 m ou de la masse totale. Fixez l’anneau à 16 pouces, et la plaque à 5 a pouces : le bassin A traversera l’anneau après a", et atteindra la plaque après 3 "; ainsi la vitesse acquise en i"est de i6pouees.

Dans ces deux expériences, les termes du rapport composé des forces accélératrices et des temps du mouvement uniformément accéléré , sont jV X 1 ", X a" , et le rapport des vitesses est -fg ou § = ^ ^ (*).

Usage de la Machine d’Atwood, pour démontrer les lois du mouvement uniformément retardé.

as. On a supposé jusqu’à présent, que le poids additionnel était placé sur le bassin A, et que le mouvement avait lieu de haut en bas dans la direction du fil vertical , à l’extrémité duquel ce bassin est attaché. Chaque point du système, après un certain temps, a acquis une certaine vitesse; et si, au moyen de l’anneau fixé à l’échelle, l’on cnlèveJe poids additionnel, le bassin continue à se mouvoir uniformément. On conçoit qu’au moyen d’un second anucau fixé à l’échelle, et d’un second poids additionnel égal au premier, qu’on a placé sur cet anneau, le bassin montant B, qui traverse l’anneau, peut emporter avec lui cc poids additionnel , dans le même instant où le bassin A perd le sien. Alors la vitesse decc bassin

(*) Puisqu'on a (page 3, art. 4. note), u=gt; on a pour une nouvelle force accélératriceg, u' — g’C ; donc u\u\\gC.g‘(. A cause de u— t/ïgï, et u' = 1/ a gh', on voit que si h =ss ht, u l u' :: Ve : V'?; ce qui est encore facile à vérifier par la Machioe d'Alvood.

diminuera à chaque instant de la vitesse que le bassin B aurait acquise, en partant de l’état de repos avec son poids additionnel cl le bassin A ; or, dans cette hypothèse , les vitesses acquises par les points du second système des bassins li et A, seraient proportionnelles aux temps; d’oùil suit que les décroissemens de la vitesse acquise par un point du premier système sont aussi proportionnels aux temps; le mouvement de ce point sera donc uniformément retarde, et on pourra faire, pour cette espèce de mouvement, les expériences analogues aux précédentes sur les forces retardatrices, sur le rapport des. espaces parcourus aux temps employés à les parcourir, et sur les vitesses.

De V action des moteurs comparée à celle de la pesanteur; définition de l’unité d’ejf 'et dynamique, ou, pour abréger, de V unité dynamique.

aâ. Les moteurs applicables aux Machines 'sont l’eau, le vent, la chaleur et les animaux.

L’eau se meut ou dans des tuyaux fermés, ou dans des canaux, ou sur des lits naturels; chaque molécule prend uuc vitesse qui dépend de la pente plus ou moins régulière de la conduite. Cette vitesse est croissante jusqu’à ce que le frottement et l’adhérence qui lui correspondent, fassent équilibre à l’accélération due à la pesanteur; alors le mouvement de l’eau est régulier; et en ne considérant l’action de ce moteur que pendant une seconde , la vitesse moyenne de la masse d’eau, dans cet instant, est constante, et par conséquent comparable à celle qu’elle prendrait si elle était soumise à la pesanteur.

L’air atmosphérique, second moteur, agit comme l’eau, par sa masse et sa vitesse. Le poids d’un volume d’air est déterminé par sa pression et sa température ; quelques-unes des causes naturelles qui font varier sa vitesse, ont été indiquées, mais elles ne sont pas soumises au calcul. Dans un instant déterminé , toutes les molécules d’air qui fout mouvoir une Machine, sont animées de la même vitesse, et quelle qu’en soit la cause, les c fiels de ce moteur sont comparables à ceux de la pesanteur.

a<*. Les combustibles donuent naissance ù des gaz ou vapeurs élastiques, qui pressent les parois des vases où elles sont formées, et tendent à s’échapper avec une vitesse due à la pression. L’action de ce moteur est produite par une petite masse qui est animée d’une grande vitesse ; et il est facile de concevoir qu’on pourrait obtenir une action équivalente avec

Une masse plus grande et une vitesse moindre, égale, par exemple, à celle que la pesanteur lui imprimerait.

a5. Les moteurs animés, tels que le cheval, l’homme, etc., agissent sur un centre de résistance, soit en tirant, soit en poussant, et exercent sur ce centre une pression qui résulterait d’une certaine masse animée de la vitesse imprimée au point résistant. Cette action est évidemment comparable à celle d’une autre masse soumise à la pesanteur. Les pressions d’un moteur et les poids sont des quantités de même espèce, qu'ou nomme, dans la Mécanique rationnelle, quantités de mouvement.

Il suit de là, que les forces développées en un temps déterminé par les moteurs appliqués aux Machines, sont équivalentes à celles qui élèveraient, dans le même temps, un poids donné, à une hauteur plus ou moins grande; en sorte que leurs effets sont exprimés par le produit de deux nombres; Tun qui représente un poids, et l’autre la hauteur à laquelle ce poids est élevé; e’est ce produit que nous avons nommé (à) effet dynamique.

a fi. Pour fixer l’unité d’effet dynamique, ou plus simplement l 'unité dynamique, on prend le kilogramme pour unité de poids, et le mètre pour unité de hauteur. De mille unités de cette espece, on forme la grande unité dynamique, qui est le produit du poids d’un mètre cube d’eau par un mètre, ou d’un kilogramme par un kilomètre. En général, funitô de poids étant P, et l'unité de hauteur H, l’unité dynamique est PH. Quel que soit un moteur constant ou variable, l’effet dont il est capable en un temps très court, tel qu’une seconde, est mesuré par un produit nPH;n étant un nombre donné d’unités dynamiques, etaprès un temps T, il aura pour mesure le produit PH .TN ; N étant le nombre total d’unités dynamiques. Ces quatre quantités P, H, T, N sont les élémens de l’effet dynamique du moteur dans le temps T, et en déterminent la valeur absolue.

Objet des Machines propres à transmettre le mouvement

97. Pour connaître le véritable objet des Machines qui transmettent le mouvement, il faut observer que les élémens d’un moteur, ou les quantités qui en déterminent la valeur, sont renfermés entre des limites fixées par la nature de ce moteur. Les animaux ne sont capables que d’un effort détermine, et la durée d’un travail journalier continu est seulement de quelques heures. La poudre à canon produit par une explosion momentanée , tout l’effet dont elle est capable ; néanmoins, si

l’on demande que cet agent si puissant soit remplacé par des moteurs animes, ce remplacement ne pourra s’effectuer qu’au moyen d’une Machine qui transmette instantanément, sur un projectile, l’action accumulée de ces moteurs. En général, une Machine a pour objet de changer un effet dynamique exprimé par le produit des quatre quantités N, P, II, T, en un produit pareil NT'H'T'. Le premier effet provient d’un moteur dont l’action est dans une direction déterminée, et s’exerce sur une partie de la Machine; on obtient le second dans une autre direction, en dehors de la Machine, elsur des corps dont le mouvement détermine une certaine résistance.

y 8. Quel que soit le moteur, et quelle que soit la Machine qui transmette son action NPIIT sur une partie de cette Machine, une autre partie quelconque mobile de la même Machine, pourra être considérée comme un moteur secondaire, dout la valeur N'P'HT' sera nécessairement moindre que NPHT. En effet, on ne peut changer la direction d’une force qu’en la décomposant en deux, l’une dans b nouvelle direction donnée, et l’autre dans la direction du point fixe qui la détruit. De plus, le changement des élémens d’un moteur se fait par des corps intermédiaires , dont le frottement détruit nécessairement une partie des effets dynamiques du moteur; d’où il suit, qu’une Machine ne peut transmettre qu’une partie de l’action du moteur qui la met en jeu. Les effets dynamiques d’une Machine, ou plutôt de la partie de la Machine qui devient moteur secondaire, étant déterminés, le moteur principal doit être capable de produire ces effets , plus ceux qui" se perdent dans la transmission du mouvement.

39. L’objet vraiment utile des Machines est de rendre nn moteur quelconque capable d’un effet dynamique donné; de faire, par exemple, qu’un homme soulève et transporte seul un poids qui demeurerait immobile, même en y appliquant l’action réunie et directe de plusieurs hommes; qu’il imprime à un corps une vitesse plus grande que celle qu’il pourrait donner à ce corps , en le projetant de toutes ses forces- Les Machines, considérées sous ce point de vue, sont des instrumen» propres à accumuler les effets dynamiques qu’un ou plusieurs moteurs produisent en un certain temps , et qu’on emploie dans un autre temps donné, pour obtenir d’autres effets dynamiques déterminés.

Les moteurs n’agissent pas tous avec la même uniformité; l’action de l’eau et du calorique s’exerce avec plus de régularité que celle des animaux et du vent ; les Machines offrent encore cct avantage , de

combiner ensemble des moteurs de differentes natures, et de foire disparaître les inonvemens irréguliers qui proviennent d’un ou de plusieurs d'entre eux. Quelqu’irrégulier que soit un moteur employé à faire mouvoir une Machine, les parties de cette Machine peuvent être tellement disposées, que la force transmise soit indépendante des irrégularités du moteur. Cette propriété des Machines est encore de la plus grande utilité dans les arts mécaniques.

Conclusion.

3o. L’action d’un moteur a pour mesure l’effet dynamique de la partie de la Machine qui reçoit directement cette action. Les effets des parties mobiles d’une Machine à laquelle un moteur est applique, sont exprimés en unités de meme espèce; chacune de ces unités est le produit d’un poids par la hauteur à laquelle ce poids est élevé. On prend, pour mesure de faction d’une Machine, l’effet dynamique qu’une partie déterminée de celte Machine transmet à la résistance. En général, les points de communication de la Machine avec 1a puissance et la résistance, éprouvent des pressions et se meuvent avec des vitesses qui déterminent les effets dynamiques exprimés par les deux produits NPHT et N'P'H'T(art. a6).

11 y a deux conditions à remplir, pour qu’une Machine soit la meilleure possible; il fout, i*. que le produit NPHT soit le plus grand possible. Quel que soit le moteur, ce produit varie pour les diverses Machines auxquelles il est appliqué. La valeur absolue des forces qu’un moteur animé peut développer, est inconnue; mais on sait par expérience, que la valeur relative aux diverses Machines auxquelles on applique ce moteur, est très variable.

La seconde condition à remplir, c’est de diminuer autant que possible la différence des deux produits NPHT, N'P'H'T', qui expriment les effets dynamiques des points de communication de la Machine avec la puissance et la résistance.

Des Machines élémentaires, et de leur division en dix séries.

5i. De toutes les lignes qu’un point peut décrire dans un plan, les plus simples sont le cercle et la ligne droite. Si ce point décrit une circonférence entière, en touniant constamment dans le même sens, on nomme cette espèce de mouvement circulaire continu. Si après avoir décrit la circonférence entière, ou une portion de circonférence dans un sens, le point tourne en un sens contraire pour reprendre la position

ao TRAITÉ

primitive, son mouvement est circulaire alternatif. S’il décrit une ligne droite sans changer de direction, son mouvement est rectiligne continu.

S’il change de direction sur la même droite, pour revenir au point de départ, le mouvement est rectiligne alternatif. Les Machines simples ou élémentaires sont celles qui transforment l’un des quatre mouvemens circulaires et rectilignes d’un point mobile, en un autre de ces mêmes mouvemens ; les Machines les plus composées en sont des combinaisons, et l’examen des premières conduit naturellement à la connaissance de tout cc qui a été inventé jusqu’à présent en Géométrie appliquée à la Mécanique.

Dans l’art du mécanicien, ainsi que dans tous les arts dont les produits sontsoumis à une exactitude d'exécution tant pour les formes que pour les dimensions, on évite autant que possible l’emploi des solides d’une forme irrégulière. Lu plupart des surfaces courbes dont on fuit usage, sont ou de révolution ou réglées; quelques-unes de ces dernières sont cylindriques ou coniques; toutes ont pour génératrices la ligne droite ou le cercle, ou des lignes dont la génération sc déduit du mouvement d’un cercle ou d’une droite. C’est principalement par celte raison que les Machines élémentaires, considérées comme moyeu de changer les élémens (art. a6) des moteurs, ont toutes pour objet de combiner les mouvemens circulaires et, rectilignes. >.

Les quatre espèces de mouvemens simples, circulaire continu ou alternatif ; rectiligne continu ou alternatif, combinés deux à deux , donnent six combinaisons diHérentos; de plus, chaque mouvement se combine avec lui- mèmejCc qui donne encore quatre combinaisons. Ainsi il y a dix manières différentes de combiner entre eux les quutrc mouvemens simples, et à chacune d’elles correspond une série de Machines élémentaires.

5a. Il est important de remarquer que les quatre mouvemens d’un point, circulaires et rectilignes, quoique continus en direction , pourraient être interrompus par une discontinuité de l’action du moteur; ainsi une roue peut tourner sur son axe et toujours dans le même sens, quoique la force appliqué à cette roue n’exer-e pas sur elle une action continue. Celte circonstance donnerait lieu, s’il était necessaire, à une nouvelle division des Machines élémentaires; mais leur nombre n’est pas encore assez étendu, pour qu'il soit nécessaire d’avoir recours à cette division. II en résulte que le mot continu ou alternatif ne. s’entend que de la direction d'un point mobile, quel que soit d’ailleurs-le moteur dont l’action peut être couliuuc ou discontinue,

DES MACHINES. ai

33. Dans nne machine élémentaire, il faut distinguer trois mouvemens, >*. celui qui est produit par le moteur, et qui est rectiligne pour toute espèce de moteur; a*, le mouvement circulaire ou rectiligne de la partie de la Machine qui reçoit directement l'action du moteur, et la transmet à une autre partie de la Machine, que, par cette raison, on peut regarder comme un moteur secondaire; 5*. le mouvement circulaire ou rectiligne qui est transmis par ce moteur secondaire, à la résistance.

Prenons, pour exemple d’une Machine élémentaire, le treuil à tirer l’eau d’un puits. Le moteur agit tangentiellcment au cercle décrit par un point de la manivelle, et le sceau qui contient l’eau s’élève verticalement; l’arbre et la manivelle du treuil reçoivent dircctemcut l’action du moteur, et la transmettent à la corde qui enveloppe l’arbre; celte corde devient un moteur secondaire qui communique au poids de l’eau et du sceau, un mouvement rectiligne.

54. Parmi les Machines élémentaires, les plus simples sont celles qui ont pour objet de changer le mouvement rectiligne du moteur en un mouvement circulaire, ou en un autre mouvement rectiligne. Telles sont la poulie, l’aile du moulin à vent, les roues, etc. Dans la première deccs Machines, il n’y a à considérer que les mouvemens des deux extrémités de la chaîne ou de la corde qui passe sur la gorge de la poulie. Cet Ouvrage contient la description des Machines élémentaires ou composées, qui transmettent directement l’action des moteurs à une résistance; il est divisé en trois chapitres; dans le premier, on considère les moteurs dans l’ordre suivant : animaux, eau , vent, chaleur.

Le deuxième chapitre est relatif aux machines élémentaires, et on y traite principalement de celles qui sbnt connues sous le nom à’ engrenage.

Le troisième chapitre contient la description de plusieurs Machines employées dans les constructions. Les séries de Machines élémentaires, qui correspondent aux dix combinaisons de mouvemens simples, circulaires et rectilignes, sont représentées dans les cases du tableau (pi. 1). Lorsqu’on traitera de quelques-unes d’entre elles, dans le cours de cet Ouvrage, on indiquera la place qu’elles occupent sur cette planche, par une notation que l’on comprendra facilement, après avoir lu l’explication suivante.

Explication du tableau des Machines élémentaires.

55. Ce tableau comprend dix séries: chaque série renferme un certain nombre de Machines quisout dessinées dans de petites cases. Ou désigne

a a TRAITÉ

chaque case, comme un nombre île la Table de Pythngore , par le chiffre correspondant à la série qui est placée sur une colonne horizontale, et par une des lettres A, B, C, D, etc., placées sur une colonne verticale; ainsi la case îD est à la rencontre de l’horizontale menée par le chiffre i, et de la verticale abaissée du point D.

Lorsque les cases d’une meme série occupent plusieurs colonneq horizontales, elles sont marquées d’un même nombre accompagné d’ex* posans a, b, c, d, etc., qui indiquent le rang de la colonne horizontale; ainsi, la case 3*D représente une Machine (le moulin à vent) de lu troisième série, placée sur la verticale abaissée de la lettre majuscule D, et sur la colonne horizontale 3‘.

N°' du séries.

î” série

xo c

Combinaisons binaires des moneemens cirent aires et rectilignes.

rectiligne continu..

id.

id.

id.

circulaire continu..

id.

rectiligne alternatif.

id.

circulaire alternatif.

rectiligne continu, rectiligne alternatif, circulaire continu, circulaire alternatif, rectiligne alternatif, circulaire continu, circulaire alternatif, rectiligne alternatif, circulaire alternatif, circulaire alternatif.

36. Les Machines d’une série quelconque, de la troisième , par exemple, sont celles qui ont pour objet de changer le mouvement rectiligne continu en un mouvement circulaire continu, et réciproquement. Cette réciprocité consiste à placer dans la même série, les Machines qui ont pour objet de changer le mouvement circulaire continu en rectiligne continu, et il est à remarquer qu’on emploie rarement la même Machine pour produire ce double changement. La vis, par exemple, qui transforme le mouvement circulaire continu d’une manivelle, en un mouvement rectiligne du cylindre qui porte les Blets de la vis, n’est pas employée pour changer le mouvement rectiligne du cylindre en uu mouvement circulaire de la manivelle. Celte observation s’applique aux Machines des six séries a, 3, 4, 5, 7, 9, dans lesquelles un mouvement simple ne se combine pas avec lui-même. Chacune de ces séries est composée de deux classes bien distiuctes de Machines ; les unes qui changent un mouvement A en un mouvement B, et les autres qui changent un mouvement B en un mouvement A.

On trouvera au commencement du second chapitre , la légende explicative des Machines contenues dans les dix séries du tableau. Ceux qui désireront des notions plus étendues sur chacune de ces Machines, consulteront l’Ouvrage que M. Lanz et moi avons publié en 1808, sous le titre d 'Essai sur la composition des Machines, avec le Programme des leçons du premier cours des Machines, qui a été fait à l’École Polytechnique (*).

f*) Sur le Cours des Machines de t École Polytechnique.

( Extrait dn registre des dilîbération* dn Conseil d'instruction de l'Ecole Poljtediuique , séance du I? août 1808.1.

Le projet d’un cours des Machines à l’usage des Élèves de l’École Polytechnique, fait partie de la première organisation de cette École. Le rapport de M. Fourcroy , lu au nom du Gouvernement, le 3 vendémiaire an 3 ( &4 septembre 1794 )» suivi d’un développement dans lequel M. Monge , après avoir fait connaître le but de l’École Polytechnique et le plan général de cet etablissement , propose do consacrer deux mois de la première année d'étude* à la description des Élément des Machines , et des Machines en usage dans les travaux publics, u On entend , dit M. Monge , par Élémens i> des Machines , les moyens par lesquels on change la direction des mouvemens , ceux v par lesquels on peut faire naître les uns des autres, le mouvement progressif eu ligue y* directe , le mouvement de rotation , le mouvement alternatif de va et vient. On sent p que les Machines les plus compliquées ne sont que les résultats des combinaisons de » quelques-uns de ces moyeus individuels, dont il faudra faire en sorte que l’énumération i> soit complète, n

Les programmes des cours d’ouverture de l’École Polytechnique , imprimés en pluviôse an 3 ( janvier 179 b), renferment les tableaux que chaque professeur a présentes pour faire connaître le système de son enseignement; M. Monge a donné pour les quatre dernières leçons de son cours de Géométrie descriptive, le résumé suivant.

u Exposition des divers mécanismes au moyen desquels on peut convertir les uns dans 1 » les autres les différens genres de mouvemens.

n Mécanismes par lesquels on facilite les mouvemens de tous les genres, n Description des principales Machines connues dans les arts , et mues par les anin maux ou par des forces prises dans la nature, n En rendant compte des cours préliminaires, dans le premier cahier du Journal de' r École, ce savant développe encore ses idées sur la partie de l’enseignement relative aux

Machines . .

u Les forces de la nature qui sont à la disposition de l'homme, ont trois élémens disr> tincts, la masse, la vitesse, la direction du mouvement. Rarement, dans ces forces,n les trois élémens dont il s’agir out les qualités qui conviennent au but que l’on se pron pose, et les Machines ont pour objet principal de convertir les forces dont on peut p disposer, en d'autres dans lesquelles ces élémens soient de nature à produire l'effet P déjiré. Chaque Machine est composée de plusieurs pattics élémentaires, dont chacune