CHAPITRE H

Des Machines élémentaires, et principalement des Engrenages.

1. Nous avons donné dans le I er chapitre (art. 3 i) la définition des Machines élémentaires, et le même chapitre contient l’explication détaillée de plusieurs d’entre elles. La légende du tableau de ces Machines Jàit connaître d’autres combinaisons binaires des mouvemens rectilignes et circulaires. Toutes ces combinaisons, dont le nombre est indéfini, n’ont pas le même degré d’importance dans les arts mécaniques ; plusieurs sont de pure curiosité; d’autres ne s’emploient que très rarement. 11 u’en est pas ainsi des mouvemens d’engrenage , qu’on trouve dans presque toutes les Machines, et qui seront l’objet spécial de ce chapitre. Avant d’exposer la théorie de ces mouvemens', nous ferons quelques observations sur les Machincsélémentaires du tableau, dont l’usage est le plus répandu.

Observations sur quelques Machines élémentaires.

a. La légende ci-jointe (après la page 272) se rapporte au tableau pl. 1" du I" chapitre, dont on a donné l’explication art. 35 , page ai. Chaque case de ce tableau contient une esquisse des parties principales d’une Machine élémentaire. •

En désignant les mouvemens rectilignes et circulaires continus, par les lettres R et C, et les mêmes mouvemeus alternatifs par les petites lettres retc, les dix combinaisonsbinairesdecesmouvemens,quicorrespondent aux dix séries du tableau, pourront être indiquées ou par un numéro, ou par les deux lettres qui désignent les mouvemens combinés. Les séries se succèdent dans l’ordre suivant :

n° 1 ou RR — n’ 2 ou Rr — n“ 5 Ou RC — n* 4 ouRc — n* 5 ouCr n* 6 ou CC — n* 7 ou Ce — n* fi ou rr — n' 9 ou rc — a* îoouce.

Une case du tableau est désignée comme un nombre de la Table de Pythagore, par le u° de la série d’une colonne verticale; et par la lettre d’une colonne horizontale. La composition des Machines qui sont représentées par les figures du tableau que nous allons expliquer, étant plus simple que celle des engrenages, on y consacrera les premières pages de ce chapitre. .

afia ' TRAITÉ

Série n‘ 1 ou RR. .

f Tableau, case 1 B;

Système de deux poulies ( Lëgcndc> x B

3 . Explication. Une force est dirigée suivant une droite donnée, et au moyen des deux poulies, il s’agit de la diriger suivant une autre droite qui , prolongée , ne rencontre pas la première. Pour résoudre cette question, on joint les deux droites données, par une troisième droite, et on place les gorges des deux poulies dans les angles que cette droite fait avec les droites données, de manière que les côtés de ces angles soient tangens aux cercles de gorge. Les points d’attache des chapes des poulies sont dans les plans de ces mêmes angles, et une corde étant pliée dans la direction des trois droites tangentes aux gorges des deux poulies, une force agissant suivant la première des droites données, transmettra son action suivant la seconde de ces droites.

Série u* 3 , ou RC.

ris avec écrou

Tableau, case 3 E.

Légende , 3 E.

4 . Il y a deux espèces de vis, l’une à filets triangulaires, et l’autre à filets carrés. Le filet triangulaire convient aux vis en bois , parce qu’il adhère par une plqj grande surface au cylindre qui sert de noyau à la vis. Les grosses vis en fer (*), à filets carrés, ont ordinairement de iô à 16 décimètres de longeur et i 55 millimètres (5 pouces) de diamètre, épaisseur du filet comprise. La saillie du filet sur le noyau est de 7 millimètres; son pas, mesuré sur le cylindre extérieur de la vis, est de 28 millimètres : cette hauteur comprend le plein et le vide du filet, chacun de i 4 millimètres; l’écrou a de hauteur 58 centimètres; le poids d’une vis construite sur ces dimensions, est d’environ i 5 o kilogrammes. Au moyen de cette vis et de son support, on obtiendrait une pression d’environ 30 mille kilogrammes, sur un plateau de 7 décimètres de côté, ou de 4900 centimètres carrés; ce qui donne à peu près 4 kilogrammes par centimètre carré. En comparant cette pressiou à celle qu’on produit par les presses hydrauliques (art. 284, page 162), 011 voit qu’elle est 17 lois moindre. Néanmoins, il y a des cas où les vis ordinaires sont

(*) f.e principal atelier de Paris pour la construction de ces vis , appartient à ! un de nos plus habiles artistes, M. Salueuye.

DES MACHINES. • # a 63

préférables, parce que le service est plus prompt; ce qu’on gagne en temps, dédommage de la perte qui résulte d’une pression moindre.

De la vis employée pour le monnayage.

5 . Il y a deux espèces de vis, l’une à filets triangulaires et l'autre à filets carrés. On emploie dans le monnayage une vis en fer de b seconde espèce. Le cylindre de celte vis porte deux et quelquefois trois filets parallèles. Pour frapper en virole les pièces d’or de ao et 4 o francs, les pièces d’argent de 1 et a francs, le diamètre extérieur de la vis frappante est de 109 millimètres; le diamètre intérieur est de ga millimètres; la hauteur du pas de vis est de 88 millimètres. L’assemblage de la vis, de l’écrou , du châssis de l’écrou , du levier auquel on applique les hommes qui frappent, porte le nom de balancier.

La vis pèse environ 4 g kilogrammes; le poids du corps du balancier, en y comprenant l’écrou, est d’environ 1713 kilogrammes. Le levier ou la barre qui traverse la tète de la vis, porte à chacune de ses extrémités une boule; la distance des centres des deux boules est de 18 décimètres. Le poids de chaque boule varie suivant la grandeur des pièces à frapper: il est de i 4 kilogrammes pour les pièces de ao francs, et de a 5 kilogrammes pour les pièces de 4 o francs.

La hauteur dont la vis descend dans l'écrou est proportionnelle à l’arc de cercle que l’on fait décrire aux boules. Cet arc varie suivant le nombre d’hommes appliqués au balancier, et suivant la vitesse avec laquelle ils lancent les boules : ordinairement le centre de chaque boule décrit un arc de 70 degrés d’un cercle dont le rayon est de 9 décimètres. On emploie huit hoihmcs pour les pièces de 4 o francs, et 6 pour celles de ao francs, lis frappent de 5 o à 55 coups par minute.

Dans le système du frappage en virole, le flanc est frappé en tous sens; lorsqu’il est frappé, il ne sort de la virole qu’avec un certain cfTortqui est produit, au moyen d’ud mécanisme particulier, par le retour meme du balancier.

Pour le monnayage des pièces de 5 francs, à coins libres ou sans virole, on emploie dix à quinze hommes. La barre du balancier est plus longue et les boules sont beaucoup plus pesantes. Dix hommes font parcourir aux boules un arc d’environ 60 degrés, et ils frappent 5 o pièces par minute, et ao mille dans la journée; à quinze hommes, ils frappent 60 pièces à la minute, et l’arc de cercle décrit par les centres des boules du balancier, est de âo à 55 degrés.

Série n* 3.

Vis Nonius, de M. Prony

Tableau, case 3* A.

Légende, 3‘A.

G. Le noyau de cette vis est à deux filets, qui tournent dans le même sens, mais qui ne sont pas de même pas. Le premier du plus petit pas esta l’une des extrémités du noyau, le second au centre; la vis a pour supports trois montans parallèles dont deux sont fixes, et le 3 e mobile; le dernier est placé entre les deux autres. Le collet du noyau de la vis roule à frottement sur le premier montant; le filet du plus grand pas entre dans un écrou mobile taillé dans l’intérieur du montant mobile, et le filet du plus petit pas engrène l’écrou du second montant fixe. En faisant tourner la manivelle du noyau de la vis, on fait avancer ce noyau dans le sens de son axe, et la quantité dont il avance dans l’écrou fixe, est déterminée par le pas du filet de cet ccrou. Le noyau doit, en tournant dans l’écrou mobile, s’avancer dans cet écrou de la même quantité; or, le pas de cet écrou est plus petit ou pluà grand que celui de l’écrou fixe ; donc l’écrou mobile et le montant dans l’intérieur duquel il est taillé, doivent avancer ou reculer vers le collet du noyau de la vis, d’une quantité qui, pour un tour entier de la manivelle, est égale à la différence des pas des deux filets. Si les pas sont, par exemple, 5 et G millimètres, le noyau de la vis s’avancera, pour un tour entier de la manivelle, de 5 millimètres dans l’écrou fixe; mais pour ce tour il s'avancerait, dans le second écrou supposé fixe, de 6 millimètres; ce qui n’est possible qu’en supposant le second écrou mobile. Dans cette hypothèse, le support de cet écrou glissera dans des rainures et reculera vers le collet, d’un millimètre, différence des deux pas 6 et 5 millimètres.

Il est évident qu’au moyen de ce mouvement rétrograde, les chemins en ligue droite d’un point quelconque du noyau , sera de même longueur dans les écrous fixe et mobile. Ce mouvement rétrograde sera aussi petit qu’on voudra, puisqu’il est déterminé par la différence de deux quantités arbitraires. Ainsi, pour un tour entier de la manivelle, le montant ou support de l’écrou mobile pourra ne s’avancer que d’un dixième de millimètre. Pour obtenir le même eflfct au moyen d’une seule vis, il faudrait que son pas fût seulement de ce dixiéme de millimètre d’exécution d’une pareille vis présenterait les mêmes difficultés que b division effective d’une règle ou d’un limbe en parties aussi petites que celles qu’on obtient par la différence des divisions du limbe et d un nonius.

Diait ized-bM.Googl

DES MACHINES. a65

L’idée de cette vis à deux filets est due à M. de Prony, qui a proposé de l’appliquer aux lunettes, pour mouvoir les fils des micromètres.

Roue à

coquilles.

Tableau, case 5'B.

Légende, 5*B.

7 . La plupart des moulins construits sur les cours d’eau qui se jettent dans l’Isère et le Rhône, consistent en une roue horizontale, du diamètre d’environ a mètres, qui porte des aubes en coquilles ou cuillères. Ces aubes sont simplement assemblées à l’arbre par un tenon et nu» cheville ; on les fortifie en dessous par des planches minces qui les lient entre elles. Quelquefois, les cuillèros sont à l’extrémité de rayons contigus, soutenues par des licus assemblés à tenons sur ces rayons et sur l’arbre.

On voit sur la Garonne, ditBélidor (art. 668 , page 3oa, i"vol. A. H), des moulins d’une construction assez singulière. La roue motrice est une espèce de tambour qui a la figure d’une cuve renversée ; elle tourne dans une cuve de maçonnerie de même forme. Les aubes de cette roue sont appliquées obliquement sur la surface du tambour, où elles forment des portions de spirale. La figure jointe à celte description fait voir que l’eau motrice arrive par un canal entre la cuve et le tambour, frappe les ailes spirales, à une certaine distance de l’axe, et s’échappe par le fond ouvert de la cuve, à une distance moindre (*).

Roue mise en mouvement par la réaction de l’eau

Tableau, case 3*E.

Légende, 3'E.

8 . Explication. L’axe de ces roues est creux ; l’eau d’une source coule dans un entonnoir placé à l’extrémité de cet axe, se répand dans des rayons creux qui communiquent avec l’axe, et sort de ces rayons par des ouvertures latérales. La réaction de l’eau sur les parois des rayons opposées aux orifices latéraux, *fàit tourner les jantes et les

(*) M. Navier a fait remarquer l'analogie de cette roue arec celle que Ilorda a examinée dans son Mémoire de 1767, et avec une autre Machine, proposée parM. Mannour} - Dectot, qu'on trouve décrite dans l'édition de 1819, de l’Essai delà composition des Machines, page 4 >, et enfin, avec la roue des moulins du Basacle , à Toulouse, décrite par Bélidor. (Voyez les Annales de Physique et de Chimie , octobre 1818, tome IX, page 146).

La même observation s'applique à la vis d’Archimède , employée comme roue hydraulique (voyez art. a 53 et a 55 , page 14a do co Traité).

sf>r, ^ TRAITÉ

raies qui composent la roue ; le mouvement de l’axe de cette roue se transmet à une meule, ou à tout autre système de corps.

J’ai fait exécuter pour le cabinet des modèles de l’École Polytechnique, une roue à axe creux, dessinée en plan et élévation, fig. 4 et 4a, p|. 4 du I" chapitre. L’eau d’une source M coule dans l’entonnoir G, remplit l’axe et les rayons de la roue, et sort par les orifices latéraux placés aux extrémités des quatre rayons OA, OB, OC, OD [fig. 4 (a)]. La pression latérale exercée contre les parois des rayons opposés aux orifices, fait tourner la roue et son axe dans le sens de la pression, comme on l’a indiqué par les flèches f. L'—"

Un poids L (fig. 4) est suspendu à la corde KL, qui passe sur une poulie K, et s’enveloppe sur l’axe. Cet axe, en tournant, soulève le poids L, et' la hauteur dont il s’élève dans un temps donné, est un des facteurs de l’effet dynamique transmis.

Ces roues ne s’emploient, comme celles qu’on nomme roues à coquilles (art. 7 , chap. II), que dans le cas où il y a plus d’avantage à simplifier le mécanisme d’un moulin qu’à diminuer la dépense de l’eau; d’ailleurs on ne trouve dans aucun écrit le rapport de l’eau dépensée et de l’effet dynamique correspondant- Néanmoins, nous pensons qu’on lira avec intérêt l’extrait suivant du rapport de M. Carnot, fait à l’Académie des Sciences le ai juin 181 3, sur un moulin construit par M. Mannoury d’Hectot:

a Le mécanisme de ce moulin est fondé sur le principe de la réaction de l’eau, contre le vase ou réservoir dont elle s’échappe.

» Concevons, par exemple, une cuve remplie d’eau, et que près du fond de cette cuve on fasse une petite ouverture ; l’eau jaillira par cette ouverture avec une vitesse due à sa hauteur dans la cuve; mais en même temps elle repoussera la cuve elle-même en sens contraire, avec «ne force égale au poids d’uns colonne qui aurait pour base l’orifice et pour hauteur le double de celle du réservoir (*), tellement que si cette cuve était portée sur des roulettes parfaitement mobiles et sans frot-

(*) Nommant O l'aire de l'orifice, g la gravité, h la hauteur de la cuve; la vitesse du liquide sortant par l'orifice, sera, page 3, chap. l* r , y" a»h, et le volume d'eau écoulé en i", O. \/ agh. Multipliant ce volume par la vite.'se y’ agh , et par la densité de l’eau prise pour unité , on aura pour la quantité de mouvement g. ahO , expression qui mesure le poids d'une oolouac d’eau de la base O et de la hauteur ah , double de celle de la cuve, *

t ornent, elle roulerait avec une quantité de mouvement égale à celle que l’eau prendrait dans le sens opposé , au sortir de cette ouverture.

» Si l’on conçoit deux cuves semblables portées aux extrémités d'un levier horizontal soutenu à son milieu sur un pivot, cl que ces cuves aient des ouvertures égales placées en sens opposés, les jets sortons de ces ouvertures concourront à faire tourner le. levier dans un même sens, contraire à celui des jets.

» La même chose arriverait, si à un axe vertical porté en bas sur un pivot et retenu en haut par un tourillon, l’on adaptait fixement et horizontalement une barre creuse dont les deux bras seraient égaux. En supposant celte barre fermée par les deux bouts, mais ayant prés de ces bouts de petites ouvertures latérales égales entre elles cfpercées en sens opposés, il est clair que si l'on remplit celte espèce de volant avec de l’eau, il tournera en sens contraire des jets qui se formeront aux deux ouvertures, et que son mouvement se maintiendra, si à mesure qu’elle dépensera l’eau quelle contient, elle est remplacée par de nouvelle eau aflluentc vers l'axe. Ce dernier mécanisme est celui de M. Mannoury.

» L’auteur fait entrer l’eau dans sou volant par la partie inférieure, le long de i’axc; la colonne qui amène cette eau, renferme le pivot sur lequel il tourne. Cette eau arrive du réservoir pur ud canal courbe, au moyen de quoi le volant et le moulin qu’il Lit aller, sc trouvent placés à côté du réservoir, et non au-dessus ni au-dessous, ce qui nuirait beaucoup dans la pratique à la simplicité de la Machine, comme nous le ferons remarquer plus bas.

» L’idée d’employer en Mécanique la réaction de l’eau comme moteur n’est point nouvelle. Daniel Bernoulli calcule l’ctlèt de cette réaction dans son Hydrodynamique. MM. Euler, père et fils, s’en sont occupés à l’occasion d’une Machine decc genre, imaginée en 1750, par M. Segner, de l’Académie de Berlin : Bossut a donné le calcul de celle Machine dans son Hydrodynamique.

» 11 existe de ces Machines; nous en connaissons une très puissante à la manufacture de coton de la Ferlé- Alais sur l’Essonne , qui a etc construite par M. White à peu près sur les principes de M. Segner; elle produit très bien soh effet, et suilit seule à tous les besoins de la manufacture.

» Cependant il ne paraît pas que la pratique ait jusqu’à présent tiré un parti aussi avantageux qu’elle aurait pu le faire de la Machine à réaction. En effet, de la manière dont. elle a été proposée, elle a dû paraître

moins simple que celles dont on fait usage ordinairement. C’est un tambour de forme conoïdale, garni d’un grand nombre de petits tuyaux inclines, par où l’eau coule; ce qui la rend lourde et volumineuse. L’eau, en y arrivant par le dessus, en augmente considérablement la pesanteur, et empêche qu’on ne puisse la mettre en œuvre sans engrenage, ce qui absorbe une grande partie de la force mouvante.

» M. Mannoury, en amenant l’eau par le dessous, au moyen d’un canal, comme nous l’avons dit, réduit sa Machine à un simple volant, à l'axe duquel est immédiatement fixée la meule courante de son moulin. Tandis que dans la plupart de nos moulins actuels, la roue qui reçoit l’action de l’eau n’agit sur la meule que par l’intermédiaire d’une ou de plusieurs roues dentées.

» Cette disposition des moulins ordinaires sc trouve nécessitée par le peu de vitesse de l’eau qui agit immédiatement sur les aubes ou sur les godets. Comme il faut, pour unebonne mouture, que la meul e(du diamètre s mètres) Fasse à peu près soixante tours par minute , elle irait trop lentement, si elle était fixée sur l’axe même de la roue qui reçoit l’impulsion de l’eau (*). C’est pourquoi l’arbre de celle-ci porte communément un rouet qui engrène avec une lanterne dont l’axe porte la meule. Le nombre de dents du rouet et celui des fuseaux de la lanterne sont combinés de manière à ce que celle-ci, et par conséquent la meule fixée à son axe, fasse, comme cela doit être, soixante tours par minute, ou un tour par seconde.

» Il existe cependant quelques moulins dont la roue exposée au choc de l’eau, est horizontale et fixée sur le même axe que la meule : tels sont les moulins du Basaclc à Toulouse, et ceux que l’on fait dans certains pays de montagnes, tels que la Provence et le Dauphiné, où l’on a des chutes d’eau propres à remplir cet objet. Mais le local se prête rarement à cet arrangement, et presque tous les moulins de France, particulièrement ceux des départemens du Nord, ainsi que les moulins à vent, sont construits comme nous venons de le dire.

» Ceux de M. Mannoury, qui n’exigent pas plus de chute que nos moulins ordinaires et même moins, ont donc un grand avantage, en ce que le volant qui reçoit l’action de l’eau, porté immédiatement sur son

(*) Lorsque lu force motrice diminue , ïe mécanisme du moulin restant le même, on règle la vitesse des meules en laissant arriver pics ou moins de bled entre les meules (noyez art. r5i, cbap. I").

DES MACHINES. aG<>

axe la meule courante , ce qui simplifie beaucoup le mécanisme et diminue considérablement les résistances.

» Quoique feou entre avec peu de vitesse dans le volant, elle le fait cependant tourner très vite, parce que les ouvertures de sortie étant beaucoup plus petites que l’ouverture d’entrée, la vitesse à l’entrée doit être réciproquement beaucoup plus petite que celle de sortie : mais celte vitesse de sortie n’est point une vitesse absolue, car autrement il en résulterait une augmentation spontaucc de forces vives, ce qui ne s’accorderait pas avec les principes de la Mécanique; il faut au contraire, pour le maximum d’effet, qu’au sortir du volant, l’eau ait perdu toute sa vitesse dans l’espace; car toute celle qui lui resterait serait en pure perte. La vitesse absolue de l’eau au sortir du volant doit donc être zéro , c’est-à-dire que ce fluide doit tomber verticalement; mais comme sa vitesse relative, à l’égard du volant, est au contraire très grande, il s’ensuit que la vitesse réelle du volant dans le sens rétrograde, doit être pareillement très grande ; «u plutôt on doit la déterminer suivant le besoin qu’on en a , en établissant le rapport convenable entre l’ouverture de l’eau et la somme des ouvertures de sortie.

» Il faut remarquer que celte Machine, quand elle a reçu ses justes proportions, prend d’elle- meme le mouvement qui convient à son maximum d’effet; parce qu’une fois que la force mouvante lui a été convenablement appliquée, la somme des forces vives qu’elle tend à déployer, ne peut pas plus s’anéantir que se multiplier; conformément au principe de la conservation de ces forces vives dans tous les systèmes de mouvemens qui changent par degrés insensibles.

» En faisant le calcul analytique de la Machine de M. Mannoury, nous sommes parvenus à des résultats remarquables par leur simplicité et la facilité de leur application; c’est que les ouvertures pour l’entrée et la sortie des eaux étaut proportionnées comme elles doivent l’élrc pour obtenir le plus grand effet, alors,

» i*. La réaction, c’est-à-dire la force de pression qui s’exerce sur le volant à chacune des ouvertures de sortie, est égale au poids d’une colonne d’eau qui aurait pour base celte ouverture et pour hauteur celle du réservoir.

» a*. La vitesse de rotation du volant au même point, laquelle a lieu dans le sens même de cette réaction, esta la vitesse duc à la hauteur du niveau de l’eau dans le réservoir, comme l’ouverture de l’entrée de l’eau dans le volant, est à la somme des ouvertures de sortie.

a-jo . TRAITÉ

» D’où il suit, en multipliant cette force et cette vitesse, que l'effet produit par la Machine dans un temps donné, est égal au poids de toute l’eau que peut fournir le réservoir pendant ce même temps, par la hauteur du niveau de l’eau dans ce réservoir; or, ce produit est, comme ou le sait, le plus grand de tous ceux qu’on peut attendre des meilleures Machines hydrauliques. (Fin de l’extrait du rapport de M. Carnot.)

Pendule hydraulique de Perrault { Légcn d e) 4A.

g. Ce pendule, inventé par Perrault, architecte de la galerie du Louvre, est (pl. g du Ill'chap. , fig. A 4 ) une caisse ABCD mobile sur des tourillons m-, il est séparé en deux parties par une cloison CD. Lorsque le fond AB de cette caisse est horizontal, l’eau de la source. M tombe en C milieu de la cloison; aussitôt qu’il s’incline, l’eau tombe dans la .partie telle que B, élevée au-dessus de l’horizon ; cette partie de la caisse augmente de poids à mesure qu’elle s’emplit d’eau; lorsqu’elle est pleine, la caisse entière tourne sur son axe, et l’eau de la source tombe dans la partie AC de cette caisse, qui s’emplit et dont le poids fait de nouveau osciller le système des deux caisses; ce mouvement d’oscillation se transmet à une verge de pendule ou à tout autre corps attaché à la double caisse.

On fait rarement usage de ce pendule, et avec raison; la force transmise par la caisse ne doit être qu’une très petite partie de la force employée à la mouvoir, mais cette Machine est intéressante comme moyeu simple de changer un mouvement rectiligne (celui de l’eau d’une source) eu un mouvement circulaire alternatif de pendule; c’est sous le même rapport qu’il faut considérer un autre pendule hydraulique proposé par M. Boitias. (P'oyez le Rapport de M. Molard, Bulletin de la Société d’ Encouragement, 7' année, page 3 o 5 , décembre 1808.)

„ . ...... f Tableau, cases 4D, 4E.

Autres pendules hydrauliques | u : gendC) . 4D 4E

10. Le pendule 4 D est décrit dans V Architecture hydraulique de Bélidor, tome I", première partie, page 382; il est formé de gouttières en zigzag, fixées sur l’axe d’un pendule qu’on fait osciller. Chaque gouttière se compose de trois planches, et aux angles du zigzag sont des , clapets qui s’ouvrent pour laisser entrer l’eau, et ensuite se referment pour l’empêcher de descendre.

' ' fcr

DES MACHINES. a;i

Eu faisant osciller ce pendule, l'extrémité de la gouttière inférieure qui plonge dans l’eau, se relève; l’autre extrémité s’abaisse, et l’eau coule, comme sur un plan incliné, dans la gouttière adjacente. Celle Machine a beaucoup d’analogie avec une vis d’Archimède, dont le filet serait une série de gouttières rcclilignes, inscrites à une hélice tracée sur un cylindre de même axe que le noyau de la vis.

Le pendule suivant *E, de M. Boilias.u pour moteur une eau courante. On place à l'extrémité inférieure d’un pendule, une aube très large, mobile sur des tourillons qui tournent sur les brandies parallèles d’un châssis fixé au pendule. Cette aube prend alternativement la position verticale et la position horizontale; dons la première, elle plonge dans . le courant et reçoit l’impulsion de l’eau ; l'eau se meut en même temps que le pendule ; arrivée au point le plus haut de l'oscillation, un contrepoids la liât tourner sur son pivot et lui donne la position horizontale; alors le pendule, dont le poids n’est plus contre-balancé par l’action de l’eau, prend, ainsi que l’aube, la position verticale, et commence une nouvelle oscillation. Au lieu d’employer un contre-poids pour ouvrir et fermer l’aube, on pourrait y substituer deux fils ou cordes attachés à des points fixes et à l’aube; ces fils tendus par le pendule tireraient l’aube à la fin et au comincucement de l’oscillation, et lui feraient prendre successivement scs deux positions horizontale et verticale. Le penale hydraulique n’oscille pas comme le pcudule ordinaire des deux cotés de la verticale; il n’oscille que du côté de la verticale où il est poussé par l’action de l’eau; arrivée au point le plus haut de l’oscillation, l’aube s’ouvre, l’eau neprouve d’obstacle que delà part du châssis qui porte l’aube, et cet obstacle n’est pas suffisant pour empêcher le pendule de reprendre par son propre poids la position verticale; mais comme dans cette position l’aube retenue par les bords du châssis se ferme, le pendule oscille de nouveau.

Des Machines élémentaires dites Engrenages, de la série n* 6 , ou CC.

11. Un engrenage se compose de deux parties, dont chacune tourne autour d’un axe fixe. Considérant deux points de ce système, dont lis distances aux axes des rotation sont invariables, et supposant qu’une force appliquée au premier point fasse décrire à ce point un arc de cercle, en un temps donné, la Machine transmet ce mouvement de rotution au second point , qui décrit dans le même temps un autre arc de cercle. La forme de l’engrenage dépend et de la position respective des

* 7 a TRAITÉ

deux axes de rotation , et du rapport des arcs de même rayon , décrits dans le même temps par les deux poiuts invariablement fixés sur ces axes. Nous considérerons seulement le cas où ce rapport est constant, et nous déterminerons la forme de l’engrenage dans les deux hypothèses; 1 *. de deux axes de rotation parallèles; a’, de deux axes qui se coupent; nous indiquerons les recherches qui ont été faites sur la forme de l’engrenage, dans le cas où les deux axes de rotation ne se rencontrent pas.

De l’engrenage à rotation uniforme autour de deux axes parallèles.

îa. Lorsqu’un point décrit un cercle, sa vitesse absolue a pour mesure l’arc qu’il décrit dans l’unité de temps; le rapport de celte vitesse au rayon de l’arc, est la mesure de sa vitesse angulaire.

Les deux axes de rotation parallèles étant donnés, on leur mène un plan perpendiculaire qui les coupe en deux points, tels que A et d (pl. 1 , chap. II), et on joint ces deux points par la droite A d. Connaissant le rapport des vitesses angulaires des deux points fixés aux axes parallèles d et A, on divise la droite Ad en deux parties AB, B d, qui soient entre elles dans le même rapport, et des points A, d, comme centres, on décrit les cercles des rayons AB, B d, qui se touchent au point B. Quelle que soit la force (P), appliquée tangentiellemcnt au cf^ple du rayon AB , il est évident que la transmission du mouvement de rotation de ce premier cercle au second du rayon Brf , se fera' par le point de contact B , et que les arcs décrits dans le même temps par deux points déterminés des deux cercles, seront de même longueur; d’où il suit que les vitesses absolues de ces deux points sont égales ; mais les arcs , de même longueur et de rayons différens, mesurent, sur les circonférences auxquelles ils appartiennent, des angles qui sont entre eux dans le rapport inverse des rayons de ces circonférences ; d’où il suit que les vitesses angulaires et simultanées de deux points quelconques pris 8ur les circonférences des rayons B d, AB, sont entre elles dans le rap-

port gj de ces rayons.

i5. On a supposé les axes de rotation A et J fixés invariablement aux deux points donnés, et par conséquent aux deux cercles des rayons AB , B d : donc les mouvemeus de rotation de ces deux points, se feront d r„, tu même temps quo ceux des cercles, et les arcs d’un même rayon, emi.laUes à ceux iju'ilsdécriront simultanément ou tour des axes parallèles A et d, seront entre eux dans le rapport inverse des rayons AB, Bd.

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S*D, Tiqe mol f nT °î KllM tlscvilic^U* li*

séries, pl. 1 "% cliap. r r .

Traite des Machines, pag. 371

porte

JE, Mouche.

7 4 A , Roue tournant à frottement sur son aie; rochet place snr la roue et engrenant »*ee une roue liste à l’aie ; levier portant deux chaluts, dont l’une s'enveloppe sur l’axe.

7 **B, i*. Roue portant une rame qui presse un levier, a", un levier portant une cam« qui presse une cheville fixée sur une roue.

7 *C f Cylindre 1 cames.

7 *D, Levier de L-igaroust, applique à une roue i rochct.

Idem, applique k une roue portant des fuseaux.

7* ^ * Idem , applique h une roue il -couronne.

7 * B , Roue A rochct avec détente et levier.

7* C , Système de trois roue* , dont l’une n’eu dentée que sur U moitié de la circonférence.

7 *D , Échappement à paient*.

7 *E , Échappement à ancre.

7 * A, Échappement & cheville».

7 * B, Échappement à cylindre.

Séria n* 8 , on ét.

On ne connaît pat de Alachines pour combiner le mouvement rectiligne alternatif avec lut- même.

Série n* 9 , ou re.

Les Machines de cette série ont pour objet de combiner le mouvement rectiligne alternatif avec le mouvement circulaire alternatif.

Î)A, Levier dont une branche est terminée par uu arc de cercle denté, tandis que l’antre branche rectiligne est percée d’une rainuie : l'extrémité circulaire de ce levier engrène dans une crémaillère , et la rainure glisse dans une cheville fixée k une mut mobile sur sou centre.

9 B, Système de deux poulies mur» par une même chaîne, dont les extrémités sont attachées h égales distances de l’axe d’un levier droit.

9 C, Suite de parallélogrammes de côtés égaux et constat», et d’angle* variables.

gD, Levier. — 9 E, v« et vient, appliqné au foret.

g a A, Archet k forer. — g 4 B, tige verticale mobile entre deux collets, et un levier droit réunis par nne bielle , dont 1 rs extrémité» tournent sur des axes fixe* au levieret h la tige.

9 «C, Parallélogramme» d'angles variables et de côtés constant; les sommets de deux angles «le ce parallélogramme sont mobile» sur deux tourillons fixés sur la branche d'un levier droit; le sommet d'un troisième angle est mobile autour d'un point fixe; le sommet d’an quatrième angle porte une tige droite qui s’écarte peu de la verticale dans k mouvement du levier droit. (On applique ce mécanisme aux pistons des pompes.)

cy“D, Cette Machine remplit le même objet que la précédente; une tige vert h-ale placée au milieu d’uue bidie fine aux extrémités rie deux leviers droit» , ne change pas u-usiblemrnt de direction.

9 *E, Chèssi» mobile avec deux pignons dont le mouvement «le rotation aur leurs axe» change de direction. *

Série n° 10 , ou re. 1 •

* Les Machines de cette série ont pour objet de changer le mouvement circulaire alternatif en circulaire alternatif.

toA, Pendule avec roue k rochct*.

10 B, Système de deux pendule».

joC, Pédale da tour.

joD , Roue umniant à frottement snr son axe ; manchon glissant dans nne partie carré* fixée h l’axe, an moyen d’on levier qui nuit ce manchon A la roue.

toE, Système de deux roues mues par une corde »aos fin ; la seconde roue tournant k frottement sur son axe, prend une position fixe par rapport h cet axe, an moyeu d’un levier qui soulève !.i roue ju-.qu’à oc «pie deux cheville* placées l uae sur l'oie «t l’autre sur Je plan de la roue, se croisent U angles droits.

Désignant par les lettres M , M', les deux points donnés, qui tournent l’un autour de l’axe A , et l’autre autour de l’axe d, les vitesses angu-

laires de ces deux points seront dans le rapport constant et donné

des rayons B d, AB, quelle que soit d’ailleurs leur vitesse absolue.

Une Machine, composée seulement des deux cercles A et d, qui rouleraient en sc touchant au point B , ne transmettrait le mouvement du premier cercle au second que par un simple frottement au poiut de contact; et aussitôt que le contact cesserait, ce qui arriverait au bout de très peu de temps, la transmission du mouvement n’aurait plus lieu. C’est pourquoi on a imaginé plusieurs mécanismes plus durables, pour luire tourner les deux cercles, comme si la transmission du mouvement se faisait par l'élément de contact de ces deux cercles. La construction de ces mécanismes étant une application des propriétés géométriques de certaines ligues courbes , nous allons d’abord faire connaître ces ligues.

i4. Lorsque deux cercles qui se touchent , sont dans un meme plan , et que l’un des deux roule sur l’autre sans cesser de le toucher, un point quelconque du cercle mobile décrit une courbe qu’on nomme Epi cycloide plane.

Le cercle mobile peut rouler ou à l’extérieur ou à l’intérieur du cercle fixe; dans ce dernier cas, si le cercle mobile a pour diamètre un rayon du cercle fixe, l’épicycloïdc devient une ligne droite; cette droite est lo rayon du cercle fixe qui passe par le point ou il est touché par le cercle mobile considéré dans sa première position. En effet, soit B (fig. 1 , pl. a , chap. II) le point où le cercle mobile, dans sa première position AIIKJi, touche le cercle fixe BEFG; dans une autre position quelconque ACD, il touche le cercle fixe en D, et prenant l’arc DC de même longueur que l’arc BD, le point C, extrémité de l’arc DC, sera un des points de la ligne décrite par le point mobile B du cercle AUKB; de plus, ce point sera sur le rayon AB. En effet, qu’on suppose un moment qu’il soit en G hors de ce rayon; l’angle BAD a pour mesure ou l’arc BD entier, ou la moitié de l’arc CD; or, cet arc CD est d’un rayon moitié de celui de l’arc BD ; donc , pour qu’il soit en degrés doubles de l’arc BD, il fout que ces deux arcs soient de même longueur; mais l’arc DC' est, par construction, de même longueur que l’arc DB; donc ces deux arcs, qui appartiennent au même cercle , sont égaux, et les points C et C' se con-

De Vépicycloïde plane (pl. a, chap. II).

fondent; d’où il soit que I epicycloïde , décrite par le point B du cercle mobile AHKB, se réduit à la ligne droite AB (*).

x5. Lorsque le cercle mobile est d’un rayon infini, «auquel cas il devient une ligne droite, fcpicycloïde plane devient une développante du cercle fixe ; si c’est le rayon du cercle fixe qui est infini , l’épicycloïde devient une cyc/oide .

(*) Celte propriété donne la solution du problème suivant : Transformer le mouvement circulaire (T un point A, en un mouvement rectiligne alternatif d'un autre point B, de manière que f arc de cercle et la portion de droite parcourus dans le même temps par les deux points A et B , soient dans le rapport de l'arc développé à son sinus verse .

M. Withe a décrit dans le tome 19, n* des Annales des Arts , la Machine élémentaire qui satisfait aux conditions de ce problème. On l’a représentée sur le tableau des Machines élémentaires , b M série Cr, case 5 ‘ A (pl. 1, cbap. !•*) , et sur la pl. 2, du chap. II, lig. a et b. Elle se compose de deux roues, l’une CD, CD' (fig. a et b) dentée intérieurement; l'autre cd (fig. et) d’un diamètre égal au rayon de la première, dentée extérieurement. Un axe A'I/ (fig. é), supporté par un poteau EK, E'F', et dirigé vers le centre A (Isg. a) de la grande roue , fait tonrner le centre a de la petite roue cd f cette dernière roue est traversée par le petit côté ab de l’axe coudé abf dont l'antre côté bfest fixé sur Kaxe principal A'B'. En même temps que le côté ab décrit un cylindre autour de A'B', la petite roue tourne à frottement libre sur ce côté ab qui lui sert d’axe ; si le centre a (fig. a) de cette petite roue tourne dans le sens Vv ou Oo indiqué par la flèche , elle engrène la grande roue fixe, et chaque point de sa circonférence tourne en sens contraire autour de son centre mobile a; il résulte de ce double mouvement, qu'un point quelconque I, T de la petite roue, situé à l'origine du mouvement sur la verticale passant par le centre a, ne s'écarte pas de la verticale. D'011 il suit qu’une bielle IK , l'K', traversée par un boulon 1, 1', autour duquel elle tournerait à frottement libre, aurait un mouvement rectiligne alternatif tel, que le point de suspension de cette bielle au boulon, s’élèverait ou s’abaisserait du double de la distance primitive de ce point à l’axe de rotation A'B', tandis que le centre <1 de la petite roue ferait une demi-révolution autour du même axe. Mesurant le sinus verse d’un arc décrit par ce centre, sur le cercle qui a pour rayon la distance primitive du point de suspension à l’axe de rotation A'B', ou cette distance à l’origine du mouveraeut, ♦le point de suspension s’élève ou s’abaisse dans le même temps d’une hauteur verticale «gale à ce sinus verse.

J’avais fait exécuter pour l’Ecole Polytechnique, le modèle d’après lequel les fig. a et b ont été dessinées; M. White, qui en avait dirigé l’exécution , a profité de cette occasion, pour faire connaître son système de roues dentées, dans lequel le» dents sont remplacées par des filets hélices, taillés sur les bords des deux roues cylindriques qui s’ëngrènent. (Le Mémoire descriptif de ce système est de 1812, in- 4 ®, de l’imprimerie de Colas, rue du vieux Colombier, à Paris.)

Le même modèle fait voir l’usage du volant VO, V'O' qui est fixé sur l’axe de rotation A , A'B' (fig. a et b)\ la force motrice est appliquée à la poignée M , M' du volant.

DES MACHINES. * s 7 5

De la description de l’épicycloïde plane.

16. Soit A (fig. 3, pl. a) le centre d’un cercle fixe, et AB son rayon. Un cercle mobile du rayon Ba roule sur le cercle fixe; T est le point de contact de ces deux cercles dans leur première position. Lorsque le cercle mobile arrive en BMD, le point T de ce cercle s’est transporté en un point M du cercle BMD, tel que l’arc BM du rayon BA, est de même longueur que l’arc BT du rayon BA ; cette condition détermine pour chaque position du cercle mobile, le point de J’épicycloïdc décrite par le point T, qui correspond à celle position.

Des êpicydoides planes ralongèes et raccourcies.

17. Tandis que le cercle mobile roule sur le cercle fixe, le centre du premier cercle décrit une circonférence qui a son centre au point A (lig. a, pl. 3), et dont le rayon est égal à la somme des deux rayons AB e’t Bot. La première position de ce centre étant en a', sur le prolongement du rayon AT, on augmente ou l’on diminue le rayon a'T du cercle mobile d’une quantité TN ou Tn; dans le même temps que le poiul T décrit une épicycloïde ordinaire TM , les points N et n, mobiles avec le rayon a'T, décrivent des courbes N/N'/nv, nm'v 1 qu’on nomme l’une épicycloïde ralongée , l’autre épicycloïde raccourcie. Soit a\I l’une des positions du rayon aT du cercle mobile , portant sur aM la droite M/7i=TN, et la droite Mm' = Tn; les points m et m! appartiennent l’un à l'épiey cloïde ralongée , et l’autre à l’épicycloïdc raccourcie. BMD est la posilioif du cercle iqobile correspondant aux points m et m' de ces épicycloïdes. Nous nommerons alongement du rayon a'T, la droite TN ou Mm, dont on augmente ce rayon, pour avoir le point générateur de l’épicycloïde ralongée.

18. Étant donnes le centre A et le rayon AB (fig. a) d’un cercle fixe, la longueur du rayon aB d’un cercle mobile, et le point m d’une épicycloïdc ralongée décrite par un point connu du cercle mobile , la position de ce dernier cercle correspondant au point m, esl déterminée. En efièt, le centre a de ce cercle est, dans cette position , le sommet d’un triangle, qui a pour côtés connus A/n, ma, aA; le premier est la distance du point rn au centre du cercle fixe; le second est le rayon rulongé qui détermine , sur le plan du cercle mobile , le point décrivant de l’épicycloïde ralongée; et enfin, le troisième est égal à la somme des rayons du cercle fixe et du cercle mobile ; d'où il suit que le cercle mobile , dont le

î 7 6 TRAITÉ

centre a est dans la position correspondante au point m , touche le cerdc fixe en un point B, intersection du cercle fixe et du côtéAa d’un triangte connu A ma.

Ayant décrit du point a, comme centre, une circonférence du rayon am, qui coupe la droite A a au pointât, la partie B p de cette droite est évidemment égale à l'alojigement m\ I du rayon Am , qui contient le point générateur m de l’épieycloïdc ralongéc N Im.

Ce rayon ma coupe le cercle mobile du rayon aB au point M; développant l’arc B.V 1 de ce cercle, et prenant un arc BT du rayon AB, et d’une longueur égale a celle de l’arc BM, le rayon ANTn contiendra le sommet N de Pépieycloïde décrite par le point N ; ce sommet est en un point N tel que TN = Mm = Bju.

De la tangente à Pépieycloïde plane.

if). VMTX (fig. 3 , pi. 2) étant Pépieycloïde décrite par un point du cercle mobile BMD, qui roule sur le cercle fixe FBT, 011 propose de construire la tangente à cette courbe en un point quelconque M . La position du cercle mobile, qui correspond au point M, étant connue , ce cercle touche le cercle fixe en un point B; or , le point M tend à décrire un cercle dont le point de contact B est le centre : donc la droite BM est une normale à Pépieycloïde, et la perpendiculaire Ml>, à la droite BM, est la tangente demandée; d'où il suit qu’aprés avoir déterminé la position du cercle mobile, qui correspond au point quelconque M d’une épicycloïde, la tangente MD en ce point passe toujours par l’extrémité B du diamètre du cercle mobile , mené par le point de contact rie ce ce?cle mobile , et du cercle fixe (voyez la Correspondance sur l’École Polytechnique , tome II, p. 29.)

Les normales aux épicycloïdes ralongéc et raccourcie, menées par les points m, m 1 (fig. a), qui sont situés sur le rayon am'Mrn, et la normale au point M de Pépieycloïde ordinaire, concourent au point B, extrémité du diamètre du cercle mobile, qui passe par le point de côntact de ce cercle mobile et du cercle fixe; d’où il suit que les perpendiculaires aux droites Bot, Bot', menées par les points m, m!, sont les tangentes aux deux premières épicycloïdes.

De V épicycloïde sphérique (pl. 2, chap. II, fig. 4 ).

ao. Deux cônes droits ont même sommet, et se touchent; ce sommet est le centre d’une sphère qui coupe les deux cônes suivant deux

cercles C, C' dont les plans comprennent entre eux un angle égal à l'angle des axes des cônes. On suppose que l’un de ces cônes roule sur la surface de l’autre en la touchant continuellement; un point quelconque du cône mobile décrit dans l'espace une courbe, à laquelle on a donne le nom d tpiçydoide sphérique; elle est en effet tracée sur une sphère, qui a pour rayon la distance constante du point générateur de la courbe, au sommet commun des cônes droits.

Des projections de répicycloide sphérique ( pl. 9 , fig. 4 ).

31. Le rapport connu de la circonférence à son rayon, détermine les longueurs absolues des circonférences du cercle fixe C et du cercle mobile C', dont l’un des points décrit Pépicycloïdc. Ayant divisé la longueur de la circonférence mobile en un certain nombre de parties égales, chaque partie de cette division correspondra à une partie égale sur le cercle lise. Considérant le cercle mobile dans sa prenrière position, on abaissera de chacun de scs points deux perpendiculaires j l’une sur sa tangente, menée par le point où il touche le cercle fixe; l’autre, sur sou diamètre perpendiculaire à cette tangente. Lorsque le point de contact des deux cercles changera, la tangente commune et le diamètre, qui lui est perpendiculaire, changeront aussi de position et deviendront des axes mobiles, dont la position à chaque instant sera connue j les projections des deux perpendiculaires, abaissées d’un point du cercle mobile sur ces axes, se couperont en un point qui appartiendra à la projection de l’épicycloVde. Au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme l’intersection de deux coordonnées rectangulaires , on pourrait le regarder comme l’intersection de l’une de ces coordonnées et d’un rayon du cercle mobile ; les projections de ces deux dernières droites détermineraient encore un point de b projection de Pépicycloïde.

as. Soient ( pl. a , fig. 4 a ) AaB le cercle fixe , a' a Parc de ce cercle égal en longueur à la demi - circonférence abcefghkv du cercle mobile, mine (tig. 4c ) l’angle du plan de ces deux cercles mesuré dans un pian Im , perpendiculaire à leur intersection, et leur laugcntc commune al.

Ayant divisé la circonférence abc...v du cercle mobile en plusieurs parties égales, on abaisse des points de division b, c, e, f... des perpendiculaires sur le diamètre aOt>, qui correspond au point de coulact a des deux cercles fixe et mobile. Soit ag un arc du cercle üxc, égal eu

a 7 8 TRAITÉ

longueur à l'arc abce/g du cercle mobile; lorsque les points g cl g 1 se confondront, les coordonnées du point a, par rapport au rayon O®, seront égales aux coordonnées#?”, l'a, du point g, par rapport au rayon Oa. C’est d’après cette considération que l’on construit les points tels que G', de la projection du l’épicycloïdc sphérique sur le plan de la base circulaire du cône fixe. Le centre O du cercle mobile, et le point# de ce cercle se projettent sur lu droite In du plan Imn en des points pet i, tels que /p — aO, et h — ai"-, ils se projettent sur le plan du cercle fixe, l’un en un point p' du rayon O a ; l’autre en un point G de la perpendiculaire. abaissée du point g sur la tangente commune al-, la distance Gl de ce second point au rayon Oa est G I = gl'. Prenant #T = al et J’G' = IG , le poiut G' est un des poiuts de lu projection de l’épicycloïde sphérique. On peut encore construire ce poiut de plusieurs manières , en obscrv ant que les droites AG et AG' sont les rayons d’un même cercle ; que les points p' et r sont sur la même circonférence décrite du point A comme centre; que le triangle rectangle alG est égal au triangle rectangle g'I'C, et enfin, que les deux triangles ap' G, p ' GO sont respectivement éguux aux triangles g'rG' cl ;G 'o. (Le point u est l’extrémité du l’arc O o décrit Ou point A comme centre, avec AO pour rayon).

• sa. En même temps que le point a du cercle abede. ■ . décrit une épicycloïdc sphérique, tous les points du plan de ce cercle décrivent d’autres courbes , qu’on nomme épicycloïdcs sphériques ra/ongées ou raccourcies, selon que les points de ce plan sont en dehors ou en dedans de la circonférence abede. . .y.

Soit (fig. 5, pi. a) un cercle mobile abegv (fig. 5a). Le point a de ce cercle décrit une épicycloïdc sphérique , et le rayon oa décrit une surtbee réglée ; le mouvement de ce rayon est déterminé par la condition que l’une de ses extrémités décrit un cercle, tandis que l’autre extrémité a décrit une épicycloïdc ordinaire, dont une branche se projette (fig. 5a) en a'M'; les deux poiuts k cl k! de ce rayon oa, l’uu en dehors de la circonférence abedv, et l’autre en dedans, décrivent les épicycloïdcs ralongéc et raccourcie , dont les branches se projettent sur le plan du cercle fixe, suivant nm/pqnr et m'n'r '. Considérant le rayon mobile oa, dans une position telle, qu’il se projette (fig. 5a) suivant la droite q"M\ les trois points M', m , m! de cette droite appartiennent, le premier, à la projection de l’épicydoïdo sphérique ordinaire ; le second, à 1a projection de l’épicycloïde rulongée, et le troisième, à la projection de l’épicycloïde raccourcie. Toutes ces épicycloïdcs, décrites jwr les djflurcns points

DES MACÏÏTNES. - 379

d’un meme rayon, sont tracées sur des sphères concentriques, qui ne diffèrent que par la grandeur des rayons. Le centre commun est le point d’intersection des axes des deux cônes droits , qui ont pour base les cercles fixe et mobile.

Un point quelconque d’un#épicycloïde ralongée ou raccourcie esle sommet de l'angle du quadrilatère gauche, qui n pour côtés les distances connues de ce point aux centres des cercles fixe et mobile, et les deux rayons de ces cercles menés par leur point de contact.

De la tangente à l' épicycloide sphérique.

a»». Ayant décrit la projection a'M' (pi. a, fig. 5, fig. 5a) de l’épicytloïde sphérique , on demande la taVigente en un point M' de cette projection.

Soit BMD (fig. 5, fig. D) la position du cercle mobile, lorsque le point M de ce cercle, générateur de l’épicycloïde , se projette en M'; alors le cercle mobile touche le cercle fixe au point B. Par ce point B de contact et par les centres des deux cercles, on conçoit un plan vertical ABV (fig. Btr), dans lequel l’angle t/BV est égal à celui des plans des deux cercles. La verticale .W, ligne des pôles du cercle fixe, et la droite ua>’, perpendiculaire sur le milieu ai du diamètre B d du cercle mobile, se rencontrent en un point a»'; or, ce point ùJ est le centre de la sphère du rayon <n'B, sur laquelle est tracée l’épicycloïde sphérique , décrite par le point B; d’on il suit que la tangente à cette courbe, en un point quelconque , est dans le plan tangent à la sphère du rayon e»'B, mené par le même point; mais le point générateur (fig. D) de l’épicycloïdc , en passant de la position M à une position infiniment voisine, ne quitte pas la sphère dont le centre est en B, et dont le rayon est BM ; donc le plan tangent à cette sphère contient encore la tangente à Pépicycloïdc au point M ; donc cette tangente est l’intersection de deux plans qui louchent deux sphères, dont les centres et les rayons sont connus.

Le plan tangent à la sphère du rayon BM, est perpendiculaire à ce rayon BM (fig. D) ou au rayon BS (fig. d), (cette figure d étant le cercle mobile, qui est couché sur le plan de lu fig. 5b, après avoir tourné autour de son diamètre Bt/, comme charnière); donc le plan tangent a pour trace sur la figure (t/), la droite St/, et sur la figure (5 b) la droite Ut/V perpendiculaire à B d. Cette droite Ht/V étant perpendiculaire nu plan du cercle mobile, élevé par le point D (fig. D), et ce point étant l’extrémité du diamètre BD, qui est mené dans le plan du cercle mobile'

,<Sr:

par !e point B, où ce cercle touche le cercle fixe , on conclut la proposition suivante :

Si pour un point quelconque M (fig. D) d’une épicycloïdc sphérique, on conçoit le cercle mobile HMD, auquel ce point appartient, la droite MD, qui loucherait l’épicydoïdc qu’on obliendfcùl dans le cas où les deux cerclés, l’un fixe cl l’autre mobile, seraient dans le même plan, est la projection de la tangente à lcpioycloïdc sphérique sur le plan du cercle mobile BM D, quelle que soit d'ailleurs l’inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport au premier, , a5. 11 suit de ce théorème, que si pour un point quelconque S (fig. 4, fig. d ) d’une épicycloïdc sphérique, on conçoit, i*. le cercle mobile sur lequel ce point se trouve; a*, le diarfletre de ce cercle, dont une extrémité est au point de contact de ce cercle et du cercle fixe ; 3*. la perpendiculaire élevée par l’autre extrémité de ce diamètre , perpendiculaire au plan du cercle mobile; cette perpendiculaire et la tangente au point S de l'épicycloide sphérique se coupent en un point, dont la distance au plan du cercle mobile dépend de la position du point S de l’épicycloide sphérique. .'Ainsi, soient BSrf (üg. 4, iig. d) une position du cercle mobile, S le point de l’épicycloïde sphérique qui est sur ce cercle, et Bi/ le diamètre qui passe par le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile; la tangente à l’épicycloide sphérique au point S, passera par la droite rf(fig. d) perpendiculaire au plan du cercle mobile BScf; donc, si l’on prolonge cette perpendiculaire jusqu’à ce qu’elle rencontre en H la ligne des pôles A»II du cercle fixe, et si l’on regarde ce point H comme le sommet d’un cône qui a pour base l’épicycloide sphérique décrite par le point S du cercle mobile BS<7, ce cône aura évidemment pour plan tangent, suivant l’arête menée par le point S, le plan qui passe par les droites S d et H d ; mais la droite SB (art. a 4) est perpendiculaire à ce plan; d’où il suit que le plan, qui est normal au côhc épicycloïdc suivant l’arête menée par le point S de l'épicycloide, passe par la droite BH, suivant laquelle les cônes droits qui ont un sommet commun en fl , et des bases circulaires, l’une du rayon AB du cercle fixe, et l’autre du diamètre BB' du cercle mobile , se touchent.

a6. La tangente à l’épicycloide sphérique au point S (fig. 4, fig. d) est dans le plan tangent à la sphère, dont le centre est en a' (fig. 4i), et dont le rayon est a»'B; or, ce plan tangent a pour trace sur le plan de la fig. 5 b, la droite H dV; donc, l’intersection de cette droite et du plan tangent est un des points de la tangente. Pour construire ce point, remarquons que

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