MF

DES MACHINES. *8i

tous Ica plans qui touchent la sphère du rayon B*', suivant le petit cercle BSD (fig. 4 d). font le mime angle avec le plan de ce cercle, et que cet angle est égal à celui que la droite bd fait avec la droite BZ perpendiculaire àu rayon B»'. Ayant mené la tangente SP au cercle BS</, et la perpendiculaire d P à cette tangente , le plan mené par la droite d P, perpendiculairement au plan du cercle BSaf, contient un triangle rectangle Pdy, dans lequel le point est l’intersection de la droite H</V et du plan tangent à la sphère au point S; abaissant de ce point S la perpendiculaire SR sur Baf, et menant parle point R la parallèle R Y à BZ,Ie triangle RdY sera égal au triangle P dy, car le côté P d est égal à la perpendiculaire SQ, abaissée du point S sur la droite llt/V ; SQ = R d, et l’angle dVy est égal à l’angle M Y ; donc , dy — dY ; d’où il suit que le point Y est (fig. 46) l’intersection de la droite Hi/V et du plan qui touche la sphère du rayon B a>' au point S. Ce point Y est donc, sur la figure 46, un point de la tangente à l’épicycloïdc sphérique; mais la projection de Y sur la figure 4a, est Y*; donc la droita M'Y' est la tangente demandée. Elle passe par le point T, intersection des traces BT, YT des plans tangens aux deux sphères des rayons B«', Ba>, dont chacun doit, d’après ce qui précède, contenir celte tangente.

Suivant la construction (art. aa, pag. 377) de l’épicycloïde sphérique, tous les points de cette courbe projetée (fig. 4a) en G'a'M', soqt situés sur des cercles horizon taux, qui seraient décrits par le cercle abcd...v (fig. 4a), BMD (fig. D), BS d (fig. 4 d), en tournant autour de la verticale A (fig. 4a), AII (fig. 4 b) ; donc , si l’on suppose que l’épicydoïde sphérique tourne autour de la même verticale, axe des deux cônes droits, tous les points de l’épicycloïdc mobile passeront successivement par ce cercle, fixe dans la position BMD (fig. D) et BS d (fig. 4 d).

37. Ayant élevé par le pokit d (fig. 4 b) la perpendiculaire dïi. au diamètre B d, qui rencontre la droite Aa»' en un poinUlI, ou a considéré (art. a 5) ce point comme le sommet d’un cône qui a pour base l’épicycloïdc sphérique décrite par un point de la circonférence du diamètre 1W ; supposons que ce cône tourne autour de la verticale Aa»'H, l’épicycloidc sphérique engendrera une portion de la surface sphérique du rayon a»'B , et en la considérant dans une position telle , qu’elle passe par un point du cercle BMD (fig. D) ou BSt/ (fig. 4 d), la tangente à l’épicycloïde menée par ce point, rencontrera (art. a6) la droite Ht/V; donc le plan, mené par cette tangente et par la droite HrfV, touchera, dans toutes scs positions,

jSj TlUlTÉ

le cône f picyclb.de mobile; et quelle que soit l’arête de contact, le plan normal ou cftnc suivant cette arête , passera par la droite fixe HB,

De la tangente à l’épicycloide sphérique ralongée ou raccourcie.

a 8 . Ayant rapporté la figure 4 en figure 5, pl. a , et ayant marque dans l’une et l’autre les mêmes points des memes lettres, soit s (fig. 5, fig. d) le point de l’épicycloïde ralongée , à laquelle il s’agit de mener une tangente. Celte courbe est tracée sur une sphère dont le centre est en (fig. b ) , et dont le rayon est égal à la distance du point a> au point i; donc, la tangente au point s est, dans on plan perpendiculaire à ce rayon, mené par le point s; de plus, le point s tend, ainsi que le point S de l’épicycloïde ordinaire, à tourner autour du point B ; donc, le plan sX, tangent à la sphère dont le centre est en B , et qui a pour rayon B s, contient encore la tangente à l’épicycloïde au point j; donc, cette tangente est h droite intersection de deux plnnstangens à deux sphères, dont les centres et les rayons sont donnes; elle a pour projection (fig, 5 a) la droite*/». On * conslr. ira de la même manière la tangente à l’épicycloWe raccourcie.

De l’usage des épicycloïdes planes pour transmettre te mouvement circulaire d’un point qui tourne autour d’une axe, à un autre point qui tourne autour d’un second axe parallèle au premier.

39 . On donne deux axes parallèles et deux points, dout les distances à ces axes soient invariables. L’un des points tourne autour du premier axe, et on demande que l’autre point tourne autour du second axe, de manière que les arcs parcourus dans le même temps, par ces deux points, soient de même longueur? .

Les moyens connus pour obtenir ce mode de transmission du mouvement circulaire, sont fondés sur les propriétés de l’épicycloïde plane, qui donnent Tes solutions suivantes de la question proposée :

Première sôluffon. Ayant mené un plan perpendiculaire aux deux axes donnés, soient A et O (pl. a, fig. 6 ) les points d’intersection de ces axes et du plan; joignant ces points par la droite OD, divisons-la en deux parties AB,BO, qui soient entre elles dans le rapport des distances données des deox points aux axes de rotation A et O, et décrivons de ccs points A, O comme centres, avec les rayons AB,BÔ, les cercles B, B*, B*... et c, c\ dk.. 'qui se touchent au point B. Soit BCM l’épicycloïde plane que le point de contact B engendre, lorsqu’on fait tourner le second cercle cc'c"... sur le premier BB'B" .. . . Cela posé, qu’on imagine,

V, une règle droite OB, mobile autour du centre O, et à l’extrémité de cette règle un arrêt, tel qu’uue pointe d’acier très fine , en saillie sur la règle; a*, une autre règle AB, droite de A en B, et courbée, à partir du point B, suivant l'épidpcloïde BCM ; le systém^lc ces deux règles, qui roulent l’une sur l’autre , de manière que le plan intérieur delà première s’applique sur le plan supérieur de la seconde, constitue une Machine, élémentaire, qui résout la question proposée. En ofîcl, supposons que la régie courbée ABCM ait tourné autour du point A, et qu’elle soit arrivée dans la position AB”C"//j", qui coupe le cercle Bc'c"... mobile autour du centre O au point c"; l’arc Bc'c 1 ' sera de même longueur que l’arc BB'B''. l’our le démontrer, supposons qu’un cercle d’un diamètre B"D", égal au diamètre BD du cercle Bc'c 7 . . . D, touche le cercle BB'B" au poiut B", et qu’il roule sur ce cercle jusqu’à ce que le diamètre B"D" ait pris la position BD, le point de contact B" décrira l’epicj cloïde B"c"m"; or, on aura le point c" de cette courbe, situé sur le cercle Bc'c", on prenant l’arc Bc'c" de même longueur que l’arc BB'B"; donq l’épicycloïde coupe le fccrcle du rayon BD, mobile autour du centre O, en uu point c", tel que l’arc Bc'c" est égal en longueur à l’arc BB'B"; niais l’épicycloïdc BCM, en tournant autour du point A, pousse la règle UB par l’arrêt fixé en B, et lui fait prendre la position OC"; donc» deux arcs quelconques BB", Bc", décrits dans le même temps autour des centres A et O , soûl de même longueur.

Concevons maintenant que les deux points donnés soient lied invariablement l’un à l’axe de rotation A, et l’autre à l’axe O ; leurs vitesses angulaires seront respectivement les mêmes que celles du point B ; et comme leurs distances aux axes de rotation A et O sont, par hypothèse , s dans le rapport des rayons AB, BO, il s’ensuit qu’ils décriront dans le # même temps des arcs égaux.

En supposant la règle BO et l’épicycloide BCM fixées ail rayon AB, transportées sur lu figur» 1 , pl. 1 , en 1W et Rî, celte figure fait vqir les deux parties AaS, de la Machine élémentaire, qui se coupent an point S.

Si l’on voulait exécuter un modèle de celte Machine, on pourrait former la règle S d de deux lames |>arallèles réunies aux extrémités par l’axe de rotation d, et par l’axe d’une petite poulie S, dont la gorge serait pressée par l’épicycloïde aS.

3<>. Seconde solution. Ayant mené un plan perpendiculaire uux deux axes donués, soient AetD(pl. a, fig. 6) les points d’inluweclion de, ces lies Ql du plau ; joignant ces poiuls par la droite AD , divisons -la en deux par-

i84 TRAITÉ

tics AB, BD, qui soient entre elles dans le rapport des distances données des deux points aux axes de rotation A et D,et décrivons de ces points A, D comme centres et avec les rayons AB, BD, les cercles BB'B"...,Bc'c"... qui sc touchent au poin^. Soit BCM l’épicycloïde plane que le point B engendre lorsqu’on fait tourner le cercle Bc'c"D du diamètre BD- sur le cercle BB'B"... du rayon AB.

Cela posé, qu’on imagine, i\ une régie droite DB, mobile autour du centre D, et une autre règle AB, courbée à partir du point B, suivant l’épicycloïdc BCM ; le système de ces deux régies, dont les bords glissent l’un sur l’autre, de manière que la courbe BCM presse continuellement le rayon DB, constitue une seconde Machine élémentaire qui résout la question proposée.

En eflèl , supposons que l’épicycloïde BCM soit arrivée dans la position BY'/h", et qu’elle coupe le cercle Bc'c"... au point c", les arcs BB", Bc" seront de même longueur, et le point c" sera (art. 19 ) le point de coutact du rayon De" b' 1 et de l’épicycloïde BY'm"; or, le rayon Dd’b" coupe le cercle du rayon BD au point b", tel que l’arc B 6 " de le cercle est de même longueur que l’arc Bc" d’un rayon double , puisque ces deux arcs mesurent deux angles BDc”è", BOc", dont l’un est moitié de l’autre; mais ces arcs BB", B A", décrits dans le même temps autour des axes A etD r sont proportionnels aux arcs décrits par les deux points donnés, fixés invariablement uux mêmes axes; donc, ces derniers arcs, parcourus dans le même temps , sont aussi de même longueur.

Dessinant à part (Kg. a, pl. 1 ) la règle ilS 1 et l’épicycloïde aS, dont sc compose la seconde Machine élémentaire , qui résout la question proposée, on peut considérer ces deux parties comme deux rainures traversées par une goupille qui glisserait dans le sens de la- règle S'S d, en même temps que la courbe aS tournerait autour de l’axe de rotation A.

5i. Ayant décrit du point A(pl a, fig.- 6 ), comme centre, avec Ac"pour rayon, l’arc c"ft, qui étoupe l’épicycloïdc BM au point u , la portion d’épicycloïdc Bu fait tourner le rayon BD autour du point Dd’un angle BI)c"è"; donc , si du point D , comme centre avec De" pour rayon , on décrit l’arc c"t, qui coupe la droite BD au point ► , la portion B» do rayon B est touchée par la courbe B/a , tandis quece rayon passe de la position primitive BD, à la position b" D.

5a. Troisième solution. Soient AB et O'B les rayons de deux cercles BB'B"... et B/3'C'..., 1 %itués dans le même plan, et tangens l’un à l’autre en B. Ayant tracé un troisième cercle quelconque du rayon OB, qui

DES MACHINES. s85

touche les deux premiers en B, on conçoit que ce cercle roulant successivement sur les cercles des rayons BA et BO', le point de contact J5 engendre deux épicycloïdes BM, BN. Maintenant, si l’on admet que ces épicycloïdes soient fixées l’une sur le cercle du rayon AB, l’autre sur le cercle du rayon O'B, et qu’elles tournent eu même temps que ces cercles, les vitesses absolues de rotation seront encore égales. En effet , supposons les épicycloïdes BM et BN dans les positions B'V"/n"' et elles auront, par construction , un point commun cf" sur la circonférence Bc"'D du diamètre BD, et une tangente commune c"'D; or, les deux arcs BB''', B/3’" des rayons AB, O'B sont égaux en développement, à l’arc Bc"' du rayon OB; donc, les vitesses absolues, mesurées par ces arcs, sont égales.

Quatrième solution. Soient A cl O (fig. 7 , pl. a) les points d’intersection des axes de rotation et d’un plan peqiendiculaire à ces axes. On divise la droite OA en deux parties AB, OB, qui soient entre elles dans le rapport connu des perpendiculaires, abaissées des points donnés sur les axes de rotation, et par le point B on mène une droite quelconque cBc'. Des points A et O, comme centres avec les perpendiculaires Ac, Oc' abaissées de ces points sur la droite cBc', on décrit les deux cercles cDrf, rfrfl)'; enveloppant ces cercles des parties CB, c'B de leur tangente commune , le point B décrira les deux développantes rfB , d! B , qui ont pour normale commune au point B , la droite cBc'. Supposons maintenant les deux développantes fixées l’une à l’axe A, et l’autre à l’axe O; le mouvement de rotation imprimé à l’une se communiquera à l’autre; elles se toucheront constamment en un point de la droite Bc', et les arcs telsquc r/D, rf'D', parcourus dans le même temps par les deux points delef des cercles cDrf, c'd D', seront de même longueur. En effet , admettons que le point d du cercle d\)c ait tourné d’un arc quelconque rfD ; les développantes «/B, d B prendront les positions DB', B' EK, qui se touchent * nécessairement au point B' de la droite cBri, tangente aux deux cercles cDrf, et les arcs rfD, d D' de ces deux ocrclcs décrits dans le

même temps , seront de même longueur que la droite BB', puisqu’on a ;

arc rfD = cB — cB' = BB' = c'B' — c'B = c'D' — c'd = arc rf'D'.

H y a une infinité d’autres couples de développantes, telles que rfB, rf'B, qui satisferaient aux conditions tiu problème, car la droite cBc*, menée par le point B, est arbitraire ; mais pour chaque couple, les deux développantes qui sont tangentes l’une à l’autre , ont pour normale au point

a 86 . TRAITÉ

de contact tel que B', une droite tangente à deux cercles dont les rayons sont proportionnels aux droites donuées AB , BO.

De l'usage des épioycloides sphériques, pour transmettre le mouvement circulaire d'un point qui tourne autour d'un axe, à un autre point qui tourne autour d'un second axe qui fait un angle avecle premier.

34. On donne (fig, 3, pl. î) deux axes A»', a>'«, qui 8e coupent au point u', et deux points M, m, dont les distances ML, ml à ces axes, soient invariables ; l’un des points M tourne autour «le l’axe A»', et on demande que l’autre point m soit lié au premier par uu mécanisme tel, que les arcs parcourus dans le meme temps par les deux points donnés, soient de même longueur.

Première solution. Soit pris dans l’angle Ka>'<e( fig. 4, pl. î ) des axes de rotation, un pointB tel, que les perpendiculaires BA, Ba, abaissées de ce point sur ces axes, soient dans le rapport des distances des points, donnés aux mêmes axes; le point B en tournant, décrit deux cercles des rayons BA, B», situés sur une sphère du rayon bal. Soit aSa' l’épicycloïde décrite 6ur cette sphère , par un point du cercle du rayon B», et supposons qu’invariablcnient fixée à l’axe de rotation A«', elle tourna avec cet axe ; dans une position quelconque , elle coupera le cercle générateur BST en un point S, extrémité du rayon a>S. Admettons que ce rayon soit une régi# mobile autour du centre a, et qu’une pointe saillante fixée en S , entre dans une rainure d’une forme telle , qu’en négligeant son épaisseur, elle se confonde avec l’épicycloïdc sphérique aSa'.

Cette: Règle et sa rainure composent tout le mécanisme qui satisfera * aux conditions du problème. En cflèjt, supposons que l’origine de l’épicycloïde d’abord en B, sur le cercle du rayon AB, ait passé en a; autrement, que ce point B ait tourné de i'arc Ba autour de l’3xe A a', l’épicycloïde rainure aura entraîné la pointe saillante de B en S, et la règle aura passé de t»b en &S; mais par ta construction de l’épicycloïde sphérique (art. ai et as), les deux arcs Ba, BS sont de même longueur, et parcourus dans le même temps; donc les arcs parcourus dans le même temps, par les points M et m (fig. 3) autour des axes \ u', u'u, sont aussi de même longueur.

35. Deuxième solution. Soient AU, H d (fig. 5, pl. i) les axes de rotation, B uu point pris dans l’angle de ces axes tel, que les perpendiculaires BA*lk/, abaissées de ce poiul sur les axes, soient dans le rapport des distances données MJL, ml (fig. 5). Sur Bd, comme diamètre, et dans

un plan perpendiculaire à l’axe Ud, décrivons le cercle BS d. Ayant élevé par le centre u lu perpendiculaire au plan de ce cercle, qui coupe l’axe Ail au point a 1 , ce point est le centre d’une sphère du rayon m'B, qui contient les deux cercles des rayoos BA , B<w. Supposons que le second «le ces cercles engendre, sur la sphère du rayon ai' B, l’épicycloidc sphérique aSa 1 invariablement fixée à l’axe AH; par le point S, où celle courbe rencontre le cercle bSd, imaginons une règle dSS\ mobile autour du centre d; enfin, considérons celle règle et l’épicycloïde sphérique, comme deflx rainures traversées par une tige droite inflexible HSK, qui est mobile sur le point H comme centre. Ces trois parties composent tout lejnécanismc qui satisfait à la question proposée.

En effet, admettons que l’origine B de l’cpicycloïde ait tourné de l’arc B a-, elle aurn entraîne avec elle la règle de afB en <2SS', et la tige HSK de HB en IIS. Dans ce mouvement, la tige décrira un cône dont le sommet est en H sur l’axe de rotation AH, et dont la base est l’épicycloïde sphérique; le point B, distant de l’axe H d de B<ï, décrira, dans le plan perpendiculaire à cet arc , l’axe BS' ; le problème sera résolu si l’on prouve que cet arc est de même longueur que l’arc B a décrit, dans le même temps, autour de l’axe AH. Pour le démontrer, il suffira de remarquer que, par la construction de l’épicycloïde, l’arc Ba du rayon BA est égal à l’arc BS du rayon Ba; or, ce second arc est de même longueur que l’arc BS' du rayon B d, double de Ba; ,d’où il suit que les arcs BS', Ba , décrits dans le même temps au moyen du mécanisme proposé , sont de même longueur.

56. Troisième solution, déduite de la précédente. A la simple rainure épicycloïde, fixée invariablement à l’axe AH, substituons le cône épi— cyclnïde , dont le sommet est en H, et dont la base est l’épicycloïdc sphérique oSa' ; mettons à la place de la régie dSS', on plan triangulaire S' J Je/, • mobile autour de la droite H d, comme charnière, et supposons qu’il soit constamment applique contre le cône; le cône épicycloïde, en tournant autour deTaxc AH, pressera et fera tourner le plan SHrf; il sera touché par ce plan dans toutes ses positions , et la droite de contact, telle que HS, passera successivement sur ce même plan de IIS' vers l\d.

La communication du mouvement se Cuit de la même manière que dans la seconde solution (art. 55 ); d’où il suit que les arcsBa, BS', parcourus dans le inéinc temps, seront encore égaux; il 11 e s’agit donc que de démontrer que le plan mobile S'Hrf autour de la droite fixe II/, sera, dans toutes ses positions, tangent au cône épicycloïde mobile.

Pour le prouver , menons le plan tangent à ce cône suivant Farête HS; ce plan passera par le sommet Iletparla tangente à répicycloïdc,aupointS; or, toutes les tangentes à cette épicycloïde mobile, par les points où elle rencontre le cercle fixe BSt/, coupent cette droite (art. a6); donc le plan tangent au cône, suivant l’arête HS, passera par deux points de la droite H d, et par conséquent par la droite entière; d’ou il suit que le plan HS't/, mobile sur l’axe de rotation H/f, comme charnière, est, dans toutes ses positions, tangent au cône épicycloïde, en supposant que ce cAne, qui tourne autour de l’axe de rotation AH , communiqué par pression, un mouvement de rotation au plan.

37. Considérons les cercles des rayons AB, B d, «comme deux roues sans épaisseur c, c\ qui tournent autour des axes AH, t/H ; le cône épicycloïde, fixé sur la roue c, est une dent de cette roue, et le plan triangulaire, mobile autour de l’axe H d et fixé sur la roue c', est le flanc de cette roue; en faisant tonrner te première roue c , sa dent presse le flanc de la seconde roue c', et deux points, pris sur les circonférences de ces roues , parcourent dans le même temps des arcs de même Ion» gueur.

38. Examinons (pl. a, fig. 4 a, 46, 4 d) les projections orthogonales des lignes vues en perspective (pl. 1 , fig. 6). AB et Bt/ (fig. 46) sont les rayons des roues ou cercles c, c', d BV l’angle de leurs plans, et B leur point de contact. L’épicycloïde sphérique, dont l’origine est en a' (fig. 4a) sur le cercle c , coupe le cercle c' au point M', R, (lig. 4a et 46), et le cercle du diamètre B d (fig.Acf) au point S. L’aréle de contact de la dent et du flanc se projette en AM' (fig. 4a) , en BR (fig. 46) et en S'Stf (fig. 4 d). La position de cette arête , par rapport à la droite Ht/ (fig. 46) , varie en même temps que la position du cône épicycloïde, qui tourne avec le cercle ou 1a roue c. Tandis que ce cône tourne autour de l’axe AH (fig. 6) d’un arc a ' B (fig. 4a), le plan du flanc tourne autour de H d (fig. 46) , d’un arc égal à celui qui mesurel’angleSt/B (fig. 4 d). Donc, si du point t/commecentre avec dS pour rayon, on décrit l’arc Si, qui coupe la droite </B au point s tel que Bi=SS', la portion du flanc passant par l’axe Ht/, sur laquelle la portion du cône épicycloïde glisse , est comprise cotre les deux droites menées du point H (fig. 46) aux pointai et B (fig.4t/). L’augle de ces deux droites comprend 1a portion utile du flanc , qui correspond à la portion du cône épicycloïde, dont les arêtes extrêmes se projettent (fig. 4a) en A a', AM', Ainsi , connaissant l’arc a'B décrit par un point quelconque*#' du cône épicycloïde autour du premier axe de rotation AH (fig. 46), on conclut

DES MACHINES. a*)

la grandeur de l’arc épicyeloïde qui sert de base au cône, l’arc décrit par un point quelconque du flanc autour du second axe Ilrf de rotation, et l’espace angulaire de ce liane, sur lequel glisse le cône épicyeloïde.

3c). Lorsque le cône épicyeloïde tourne autour de l’axe de rotation AH (fig. 4, fig. 46) , chacun des points de (‘épicyeloïde sphérique qui lui sert de base, décrit un cercle autour de cet axe; ainsi, le point de l’épicycloïde, dont les points M' et R situés sur la droite MVI1 , sont les projections sur les ligures 4a et 46, décrit un cercle quia pour rayon AM' (fig. ta), et qui se projette (fig. 46) en f\\p. Donc, si l’on décrit l’arc de cercle M'/z du point A comme centre, avec AM' pour rayon, et si l’on prend Vf — Rtt, fUp sera l’angle de l’axe AH et de l’arétc qui se projette en AM' (fig. a). Dans toutes les positions du cône épicyeloïde , cette arête fait, ai'ec l’axcde rotation AH, unanglc constant, puisque le cône lui-même tourne aulourdc cet axe. Connaissant cet angle , on peut conclure la grandeur de l’arc que le cône qui a pour base la portion d’cpicycloïdc correspondant à cet angle , fuit décrire à un point quelconque du flanc. Eu cflèt, soit pHf, cel angle ramené dans le plan des deux axes de rotation HA , H d (fig. ‘*6); 11/ étant la longueur counue de l’arête extrême du cône épicyeloïde , la perpendiculaire fP , abaissée «lu point / sur l’axe AH , est le rayon du cercle décrit par l'extrémité de l’arête autour de cet axe ; le plan de ce cercle coupe le plan du cercle générateur de l’épicycloïdc, suivant la droite RS (fig. 4 d). Donc , joignant les (joints S et d par une droite, le flanc a d'abord pour trace, sur la figure 4rf, la droite Su’, et ensuite la droite B d-, donc il a tourné d’un angle égal à Sdü ou SV/B.

Des engrenages de la série n* 3 ou RC (art. 35, chap. 1"), qui changent te mouvement circulaire continu, en mouvement rectiligne continu, et réciproquement.

4o. Les Machines élémentaircsdc cette série que nousconsidércrons, ont pour objet de transformer le mouvement rectiligne d’un point en un mouvement circulaire d'un autre point, et réciproquement; en satisfaisant à cette condition que la ligne droite et l’arc de cercle, parcourus dans le même temps par les deux points , soient de même longueur.

Première solution. Soient BB'.B'B", B , 'B"’... (fig. 8, pl. a) les parties d’une droite BB'", qu’un point B de celte droite parcourt successivement; et B6', b'b", b" b'"... les arcs de même longueur que le point B, extrémité du rayon OB, doit parcourir dans les mêmes temps.

Ayant fuit tourner le cercle du rayon OB sur la droite BA, le poiut B • 3t

ugo TRAITE

nnra décrit la cycloïde BM. Supposons que cette conrbe soit invariablement fixée à la droite ABB'B", de manière que cette droite, ayant un mouvement rectiligne BB'B". . . , la cycloïde glisse sur le rayon OB et l’oblige à tourner autour du point O, en s’appuyant sur une pointe saillante fixée à l’extrémité B de ce rayon.

Lorsque le point B de la droite AB aura décrit la droite BB'', la cvcloïde B.\f, transportée parallèlement à elle-même en B'W', aura amené l’extrémité B du rayon OB en un point c", tel que l’arc Bc" seru de même longueur que la droite BB"; car si l’on suppose que la cycloïde B "m" a été engendrée par un cercle du rayon OB, qui touchait ta droite AB au point B", il est évident qu'on aurait le point c" de cette cycloïde, en faisant l’arc Bc" de même longueur que la droite BB"; d’ou il suit que les droites BB’, BB", BB'"... sont respectivement égalesauxarcsBri, Bc", Bc'"..., et par conséquent les ares Bc*, c'c", cV". .. parcourus dans le même temps que les droites correspondantes BB', B'B", B"B'"..., sont de meme longueur que ces droites.

4i . Deuxième solution. Supposons que les arcs B//, b' b", b" b'"... de la circonférence d’un rayon BD= s BO, soient parcourus par le point B de cette circonférence , dans le même temps qne le point B de In règle A B parcourt les droites respectivement égales BB', B'B", B"B'"..., on concevra facilement une Machine élémentaire formée, i*. d’une réglcABB", et d’une cycloïde BM engendrée par le cercle du rayon BO, moitié du rayon donné BD; a*, d’une seconde règle DB, mobile autour du centre D.

La cycloïde, en s’avançant parallèlement a elle-même dans la direction ABB'..., pressera le rayon DB; et en la considérant dans la position elle aura pour normale au point c", la droite Bc", et pour tangente la droite Dc"qui, prolongée, coupe lerercle Bb'b"b”’au point b" ; or (art. 1 4), l’arc Bc" du rayon OB, est «le même longueur que l’arc B b" d’un ravon double; il est aussi égal eo longueur à hi droite BB”;donc, cette droite BB" et l’arc B b" sont de même longtieur ; d’où il suit que la cycloïde qui , dans toutes ses positions, presse la règle mobilcautourdu centre D, est tangente à celte même règle, de manière que le point de contact, d’abord à l’extrémité BdurayonBD, est enc", lorsque la règle arrivedans la position De"/)".

os. Nous avons considéré le cas où le mouvement rectiligne d’un point se transforme en un mouvement circulaire d’un autre point; proposonsnous maintenant de résoudre la question inverse. Un point décrit successivement les arcs BB', B'B", B "B"'... d’un cercle du rayon AB (fig. g); on demande que le point B de la règle CB, parcoure dans le même temps les droites Bc', c'c", d'd”... de même longueur que tes arcs.

mmm

DES MACHINES. aqi

Soit(fig. f), pl. a)BM la développante dur.ercledu rayon AB; onia suppose invariablement fixée à cerayon, qui est mobile autour du centre A.

La règle Cc'c"... , maintenue par des coulisses, se meut dans le sens de sa longueur, de manière que le point B de cette règle parcoure In droite Bc'c''...; la développante presse une pointe saillante fixée au point B de la règle CB, et Tait parcourir à ce point des droites Bc', c'c", d'd "... , respectivement égales en longueur aux arcs BB', B'B"... En effet, il est évident que la développante BM , transportée avec le rayon AB en B "m", coupe la droite CBc” en un point c" tel, que l’arc BB N du rayon AB est de même longueur que la droite Bc”; mais oti a, par la même raison , Bc'sr: arc BB'; donc arc BB'= Bc', arc B'B''=c'c", arc B"B'"=:c"c'"...

Si l’on suppose que la règle Cc'c". . soit terminée à la droite BD, perpendiculaire a la partie Bc'c" de cette règle..., la développante BM sera, dans toutes ses positions B'c'/ra', BY7/i"..., tangente à la droite BD, qui prend les positions correspondantes dd\ c u d'..., et le point de contact sur cette droite ne variera pas.