TR.\1TÉ

faisait par l’élément de contact de ces deux cercle?. La con.struction de ces mécanismes étant une application des propriétéi géométriques des • lignes connues sous le nom d' épicychïiles planes et sphériques, nous allons d'abord exposer les propriétés de ces courbes. , *

De ré'pifjdotde plane; description de cette courbe a, chap. Tl):

17. lorsque deux cordes qtti se touchent sont dans un même plan, et que l’un des dèux roule sur l’autre sans cesser de. le toucher, un point quelconque du cerdc mobile décrit une courbe qu’on nomme épic^xloide

plane.. 1

’ Soit A (fig. a,pl. a) le centre d’un .cercle 6xe, et .AB son rayon. Un cerdc mobile du rayon Ba roule sur le cercle fixe;' T est le point do con-, tact de ces. deux cercles dans leur première position, Ixirsque le cercle mobile arrive en BMD, le point T «le ce cercle s’est transporté en un |>oint M du cercle BMI), tel que l’arc BM du rayon B A est ^ même Ir/ngueur que l’arc BT da rayon BA ; cette condition détermine pour cliaqiie position du- cercle mobile le point de l’épicydoïde décrite par le* point origine de la rourbe.

Des épitytloides planes ralongées et raccourcies.

•18. Taudis que le cercle mobile roulo sur le cercle fixe, le centre du premier cercle décrit une circonférence qui a son centre au point A ( fig. 1 , pl. a ), et dont le rayon est égal à la somme des deui rayons .AB etBo. La première position de ce centre étant eu a, sur le prolongement du rayon AT, on augmente ou l’on diminue le rayon o'T da cercle mobile, 'd’une quantité TN ou Tn ; dans le même temps «jue le point T décrit une épicycloîde ordinaire TM, les jxiints N et n,-raobiles avec le rayon oT, décrivent des courbes N/N mv, iitn e ^u on nomme, 1 upe épicycloîde ralongée, l’autre épicycloîde raccourcie- Soit uM l’une des positions du jaÿon aT du cercle mobile; portant sur oM la droite M/n =:TN, et^la ' droite Mw' =T«, les poinU m et m appartiennent l’un à l’épicyclorde • ralongée, et Tautre à l’épicycloîdc raccorurcie. BMD est la position du cercle mobile correspondant aux points m et m' de ces^picycloïdes. Nous Bommei’ons alohgement du rayon a T, la droite TN ou M//i, dont o,n augmente ce rayon , pour avoir le point générateur de l’éi>icycloide mlongée. ... - ^ . ■S'- , .

19. Etant donnés le centre A et le rayon AB ,(fig.’a ) d’un cercle Axe, la longueur du rayon aB d’un cercle rnobile, et le point m (l’une épicyclüîde ralongée décrite par un point connu du cercle mobile, la position de ce dernier cercle correspondant au point m est déterminée. En effet, le centre a de ce cercle est, dans cette position, le sommet d’un triangle, qui a pour pùtés connus A/n, tna, ak\ le premier est la distance du point '■ m au centre du cercle Axe; le second est le rayon ralongé qui détermine, sur le plan du cercle mobile, le point déerÎTant de l’épicycloîde ralongée; ut eu Au, le troisième est égal à la somme des rayons du cercle Axe et du cercle mobile.; d’où ib suit que le cercle mobile, dont le centre a est dans la position correspondante au point m, touche le cercle Axe en un point B , intersection du cercle Axe et du côté An d’un triangle connu \ma.

Ayant décrit du point a comme centre , une drcontérence du rayon atit, qui coupe la droite Ka aü point la partie Bjk de cette droite est évidemment égale à l’aiongemmt mhl du rayon A/», (qui contient le point géné-. rateur Ai de l’épicycloïde ralongée Nô/i.

^ Ce rayon ma coupe le cercle mobile du rayon oB au point M ; djiveloppant l’arc BM de ce cercle, et prenant un 'afc BT du rayon- AB, et d’une, longueur égale à celle «le l’arc BM , le rayon ANT/i contiendra te sommet M de l’épicycloide décrite par le point N; ce sommet est en un point N, ‘'tel que TN = M//J = B/u.

De la tangente à Vépicyelolde plane. ■

•„ 90. VMTX f Ag. 3, pl. a) étant l’épicycloîâe décrite par un point dii cercle mobile BMD, qui roule sur le cercle Axe FlfT, on propose de construire la tangente à cette courbe en un point quidconque M. I.h'i position du cercle mobile qui correspond au )K)int M étant connue, ce cercle touche le cercle Axe en un point B; or le point M tend à-décrire un cercle dont le point de contact U est le centre: donc la droite RM est une normale à l’épicycloîde , et la perpendiculaire MD à la droite BM, est la tangente demandée; d’où il suiUqu’après avoir déterminé la position du cercle mobile qui correspond ait point quelconque M d'une épicycloïde, la tangente MD eu ce point passe toujours par l’extrémité B du diamètre du-;, cercle mobile, mené par le point de contact di; ce cercle mobile, et du , cercle Axe. •

I.es normales aux épicycloïdes ralongée et raccourcie , menée par les points m, /n‘(Ag. a)', qtii sont situés sur le rayon am'Mm, et la normale

Mr

35o i .TRAITÉ. ^

ap point 51 de Jéptcycloïde ordinaire, concourent au point D, exti'émit^ <Ui diamètre du cercle mobile, qui passe par le point de contact de ce cercle mobile et du cercle fixe; d'où il suit que les perpendiculaires aux droites Bm , Brn, menées par les points m, tri, sont les tangentes aux deux premières épicycloïdcs.

Cas particulier de l'èpUjcloïde plane. '

ai. Lorsque le cercle mobile, qui roule sur le cercle fixe, est d’un, rayon infini, auquel cas d devient yne ligne droite, l’épicycloïde plane se ' di^nge en une dévdoppante du cercle fixe. Si le rayon du cercle fixées! infini, répicycloïde devient une çydbù/e.

Le cercle mobile peut rouler ou # l’extérieur ou à l’intérieur du cerclefixe; dans ce dernier cas, si le cercle mobile a pour diamètre un rayon " .du cercle fixn, Tépicycloîde. devient une ligne droite; cette droite est le ’ (bamèlre du cercle fixe qui passe par le point où il est touché par le cercle mobile considéré dans sa première position. En effet, soit B ( fig. i , pl. %, ' chap!. II ) le point ou le cercle mobile, dans sa première position AHKB. touche le cercle ^e BEFG; dans une autre position quelconque ACD, il touche le cercle fixe en D, et prenant l’arc DC de même longueur que l'aroBD, le point C, extrémité de l’arc DC, sera un^ des points de In ligné ’ décrite par le jioint mobile B du cercle AHKB; ce point C sera sur le diamètre BF. En’effet, qu'on suppose un moment qu’il soit en C' hors de ce diamètre ; l’angle BAD a pour mesure ou l’arc BD entier, ou la moitié de l are CD; -or, cet arc CD est d’un rayon moitié de-celui de l’arc BD; donc, pour qu’il soit en degrés, double de l’arc BD, il fout que ces deux arcs soient de même longueiu-; mais l’arc DC est, par construction, de même longueur que lare DB; donc les deux arcs DC, DC, qui appartiennent au même cercle sont égaux, et les points C et C se confondent; d’où il sui)t quel’épicyclorde décrite par le point B du cercle mobile AHBK.se réduit à la ligne droite BAF.

Pendant que le cercle mobile a passé de l^ position AHB à la position AH D, et.que le centre de ce cercle a décrit l'arc OO', moitié de l’arc BD,

|e point B s’est avancé sur le diamètre BF de BC, sinus verse de l’arc BD, double du sinus verse de l’art OO'. Ces propriétés donnent la solution du .>* problème suivant : ^ .

^fati^ormer le mouvement circulaire <Tun point P, en un mouvement ■

. rèft<tigt‘e altern'atif d'un autre point P', de manière que l'an de cercle et

la> portion de droite parcourus dans le même temps par les deux points P, ?■, soient dans le rapport de la longueur de l'arc dév^oppé au double du sinus 'verse de cet are.

On n'-sout cette question, ^ moyen de la Machine suivante que l'on doit à Withe , mécanicieA anglais.

Description de la Macltine de Wiüte, représentée sur le tableau pl. , , à la case 5'A, série 5**“ ou O, et dessinée sur une plus grande échelle y pl. a, cbap. a, fig. O et ^

aa. Cette Machine dessinée en élévation et profil, fig. a et b, pl. a, chap. a, se compose de deux roues, l’une CD, C'D! ( fig. a et b), dentée intérieurement; l’autre cd ( flg. a), d’un diamètre égal au rayon de la , première, dentée extérieurement. Un axe A'B' (fig. b), supporté par un poteau EF, EF', est dirigé vers le centre A ( fig.. a) de la grande roue. Ace premier axe, qui porte la manivelle B'M', est fixé un second axe coudé /ba, dont le petit côté àb parallèle à A'B', sert d'axe à la roue cd. Lorsque la manivelle B M" tourne , l’extrémité a de l’axe coudé fba décrit un cerclé dont le centre est sur l’axe ^A'B'; la petite roue ed engrène la grande roue fixe CD; et comme elle peut rouler k frottement libre sur le côté ab de l’axe coudé , nn point quelconque de sa circonférence tourne autour du point A, en sens contraire de son centre a.

n résulte de ce double mouvement que le point' ( I, I' ), de la petite roue, situé à 1 origine du mouvement sur la verticale passant parle centre A de la grande roue CD, ne s’écarte pas de cette verticale, pendant que le centre a de la petite roue décrit une circonférence autour du point A. •Ayant fixé au point (1)1 ) de la petite roue un boulon qui traverse une bielle IK, I K , un point quelconque de cetteibiellc aura un mouvement rectiligne alternatif, tel qu’il décrira une^ligne droite double en longueur du diamètre de la petite roue, pendant que le centre de cette roue fora une demi-révolution autour de l’axe de la grande roue fixe.

Les deux points désignés dans l’énoncé du problème précédent |>ar les lettres P et P , sont respectivement sur la Machine le centre a de la petite roue (fig. a) et le point de suspension I de la bielle IK.

Lorsque j ai fait exécuter le modèle de cette Machine, pour mon conrs à 1 Ecole polytechnique, AVilhe, qui demeurait alors il Paris, a profité de cette occasion pour faire Connaître son système de roues dentées, dans lequel les dents sont remplacées par des filets hélices; il a appliqué ce système aux deux roueii cylindriques de.la Madiiiie.

■ TBAITE

Le n)êule luudulc (ait voir l'usage du volant manivelle V©, V'O', qui est fixé sur l’axe de rotatioii A, A'B' (fig. a et 6); la force motrice est appU; • quée à la poignée , M' de ce volant. ^ v :

De rèpicjrchide sphérique { p^a, clttp. Il , tig. 4)-

, a3. Deux cônes droit» ont même sommet, et se touchent; ce sommet est le centre d’une s(>hère qui coupe les deux cônes^uivant deux cercles, dont les pljns comprennent entre eux un angle.égâl à l'angle des axes dcscènes. On suppose que l’un de ces cqnes roule sur la surface dé l’autre en la touchant, continuelleraêntj un point quelconque' du cône mobile décrit dans l’espace tioe courbe, à laquelle ou'a donné le nom d' épicycloîde sphérique; elle est en effet tracée sur une sphère, qui a pour rayon la distance Qonstantr du poirft générateur d,e la courbe » au sommet corommi 'des 'cônes droit». ■ " , ^

Des projections <h V épurpcloide sp/iêrique, pl. a. Fie. 4^

( pl. a, fig. 4i. fig. 4*, fig- 4c, 4 fig- 4^, fig- 40, fig- 40 ).

a4- Soient C et C le» cercles dlntersection de deux pônes, l’un fixe et -Vautre ihobile, parla sph^ quia pour centre le sOmmet-commun de ces cônes. Le rapport connu de la circonférence à son fttyon détermine les longueurs absolues des circonférences du cercle fixe'C et du'cercic mobile C. Ayant divisé la longueur de la circonférence itiobilo en un certain nombre de parties égales , chaque partie de cette division correspondra à ime partie égale sur fe cercle fixe. Considérant le cercle mobile' daiis«a première position, on ubaisséra de cliacun de,ces point» deux perpendiculairés, -l’une sur »a tangente, menée par le point où il fouche le cercle fixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire k cel^ tangente. Lorsque le point de contact des deux cercles C et C, qui engendre l'épicycloïde sphérique, changera de position , la tangente commune et le diamètre qui lui est perpendiculaire tourneront autour de l’axe du cône fixe, et deviendront des axes mobiles dont les diverses positions seront connues; on verra (article suivant ) que pour chaque position de ces axes, les projections sur un plan quelconqué des deux perpendiculaires, abaissées d’un point déterminé du cercle mobile sur ces mêmes axes, se couperont en un point qui appartiendra à la projection de ■ l’épicycloïde sur le raetnè plan. Au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme (’hi-

- . J Jt l

tcrsecûou de <l^ux coordonnées rectangulaires, on pourra le regarder comme l’intersection de l'tine de ces coordonnées et d’un rayon du cercle inobiiei les projections de ces deux dernières droites détermineront en* core un point de la projection de l’épicycloide sphérique.

aS. Soient ( pl. a, lig. 4« ) AoB le cercle fixe, aa l'arc de ce cercle égal en longueur à la demi-circonférence abcefghkv ( fig. 4D ) du cercle mobile, nmk ( fig. 4c ) l'angle des plans de çes deux cercles, mesuré dans un plan //», perpendiculaire à leur tangente commune al, suivant laquelle ces deux plans se coupent. <

Ayant divisé la'cii'conféreDce abc.,.v ( fig. 4D ) du cercle mobile en plusieurs parties égales, on abaisse des points de division b, c, e,-/... des perpendiculaires sur le diamètre oDe, qui correspond «u point de contacta des deux cercles fixe et mobile. Soit ag fig, 4a, un arc du cercle fixe, égal en longueur à l’arc abcefg du cercle mobile; lorsque les points g et g se confondront, les coordonnées du point a, par rapport au rayon Og, serrent égales aipc coordonnées gC, i'a ( fig. 4D) du* point g, par rapport au rayon Oa. C’est d’après cette considération que l’on construit les points tels que C de la projection de l’épicycioide sphérique sur le plan de la base circulaire du cône fixe. I<e centre, O du cercle mobile, et le point ^ de ce cercle«c projettent sur la droite 4»( fig. 4c) du plan en des points ^ et I , tels <^ue Ip = aO , et li = ai"; ils se pmjettcnt su *e plan du cercle fixe (fig. a), r un en un point p du rayon Oa , l’autre en un point G de la. perpendiculaire , abaisse du point g sur la tangente commune àl; la distance Gljde ce second point au rayon Oa est égal à gi. Prenant gV =al et l'G' = IG, le point G’ est un des points de la projection de l’épic}xioïdc sphérique sur le planthi cercle fixe oa'B(fig. 4<*). On peut encore construire ce point G' de plusieurs manières, en observant que rarcOo(fig. 4D) a pour pix^eçtion ( fig. 4« ) l'arc concentrique p'r; que les droites AG et AG' sont le.s rayons d’un même cercle; que le triangle rectangle alG esf égjil an triangle rectangle g l’G , et enfin, que les deux triangles ap G, p GO sont respectivement égaux aux triangles g rG' et rC o.

a6. En même temps que le point a du cercle ahede... fig. 4D décrit une épicycloîde ^hérique, tous les points du plan de ce cercle décrivent d’autres courbes, qu’on nomme épicycloides sphériques ralongées ou raccourcies, selon que les points de ce plan sont en dehors ou en dedans de la circonférence abcde...y.-

Soit (Fie. 5, pl. aj un cercle mobile abegv (fig. 5D). Le point a de ce cercle décrit fine épicycloide spbérique, et le rayon Oa décrit une surface

354 • TRAriî

réglée; le mouvement de ce rayon est détenniné par la condition que Tune de ses extrémités o décrit ime circonférence, tandis que l’autre extrémité a décrit une épicycloïde ordinaire, dont une branche se projette (fig. 5fl)” en a'M’. Les deux points k et k de ce rayon oa, l’un en dehors de la cir* conférence aéfctif , et l'autre en dedans, décrivent les épicycloîdes ralongée et raccourcie, dont les branches se projettent sur le plan du cercle fixe, suivant nmlpqnr et m'a'r. Considérant le rayon mobile oa dans «ne position telle qu’il se projette (fig. 5a) suivant la droite o'M’ww', les trois points M", m, m de cette droite âppartiennentj le premier, à la projection de l'épicycloide sphérique ordinaire; le second, à la projection de l’épicycloïde ralongée , et le troisième , à la projection de l’épicycioïde raccourcie. Toutes ces épicycloîdes , décrites par les différèns points d'un même rayon, sont tracées sur des sphères concentriques, qui- ne diffèrent que par la grandeur des rayons, et dont le centre commun est te point d’intersection w' des axes (fig. 5^) des deux cônes droits, qui ont pour bases les cercles fixe et mobile désignés par les lettres C et C. ,

Un point quelconque d’une épicycloïde ralongée ou raccourcie est le sommet de l'angle du quadrilatère gauche qui a pour côtés les distances connues de ce point aux centres des cercles tangens C, C, et les deux rayons de ces cycles , menés par le point de contact.

De la tangente à V épityxlaide sphérique.

ay. Ayant décrit la projection aM'/x ( pl. a, fig. 5a) de l’épicyçloïde sphérique , on demande la tangente en un point,M‘ d^ cette projection.

Soit BMD ( fig. 5D') la position du cercle mobile, lorsque le point M de ce cercle , générateur de l’épicycloide , se projette en M' ; alors le cercle mobile touche le cercle fixe au point B. Par ce point B de contact et par Yes centres des deux cercles, on conçoit un plan vertical ABV (fig. 54), dans lequel l’angle i/BV est égal li edui des pians des deux cercles. La ver- ‘ ticale Am’, ligne des pôle» du cercle fixe, et la droite mm', perpendiculaire sur le milieu m du diamètre Bd du cercle mobile, se rénoqotrent en un point m' ; or. Ce point m' est le centre de la ^hère du rayon m'I^ sur laquelle est tracée l’é|Hcycloïde sphérique décrite par le point R; d’où il suit que , la tangente à eette courbe, en un point quelconque, est dans le plan tangent à la sphère du rayon mené par le même point; mais le point * générateur de Fépicyclolde qtd passe de Imposition M(fig. 5D'), à une position infiniment voisine, ife quitte pas la sphère dont le centre est eii

B, et dont le rayon e»t BM; donc le plan tangent à cette sphère contient encore la tangente à l’épicycloïde au point M ; donc celte tangente est IW tersection de deux plans qui totichent deux sphères , dont les centres et les rayons sont connus. . ^

plan tangent k là sphère du rfl^n BM est perpendiculaire à ce rayon BM ( fig. 5D' ), ou ati rayon BS ( fig. 5d) , (cette figure Sd étant le cercle mobile, qui est couché sur le plan de la fig. Sb, après avoir tourné autour de son diamètre hd, comme charnière ) ; dorib le plan tangent a pour trace sur la' figure {Sd) la droite Sd, et sur la fig. {Sb) la droite HdY perpendiculaire à Bd. Cette ilroite n</V étant perpendiculaire'^au plan du cercle mobile, élevé par le point D ( fi^ 5D'), et ce point étant l’extrémité du diamètre BD, qui est mené dans le plan du cercle mobile par le point B, où ce cercle touche le cercle fixe, on conclut la pmposir tien suivante :

Si pour un point quelconque M ( fig. 5D' ) d'une épicycknde sphérique, on conçoit de cercle mobile BMD auquel ce point appartient, la droite MD, qui toucherait l’épicycloïde qu’on obtiendrait dans le cas où les deux cercles, l’un fixe et l’autre mobile, seraient dans le même plan, est la projection de la tangente à l’épicycloïde sphérique sur le plan du cercle mobile BMD, quelle que soit d’ailleurs l’inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport au premier.

a8. Il suit de ce théorème, que si pour un point quelconque S(Fig. 4, fig. /fd) d’une épicycloïde sphérique, on conçoit, i® le cercle mobile sur lequel ce point se trouve; a* le diamètre de ce cercle, dont une extrémité est au point de contact de ce «ftrcle et du cercle fixe ; 3® la perpendiculaire élevée par l'autre extrémité de ce diamètre, perpendiculaire au plan du cercle mobile; cette perpendiculaire et la tangente au point S de l’épicycloïde spitérique se coupent en un point, dont la distance au plan du cercle mobile dépend de la position du point S de l’épicycloïde spliérique. Ainsi, soient BS<f ( fig. /fd) une position du cercle mobile, S le point de l’épicycloïde sphérique qui est sur ce cercle , et Brf le diamètre qui passe par le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile; la tangente à l’épicycloide sphérique au point S, passera par la droite perpendiculaire .•m plan du cercle mobile BS</,qui se projette en d, fig. Sd; donc, si l’on prolonge cette perpendiculaire , jusqu’à ce qu’elle rencontre en H la ligne des pôles A«'H du cercle fixe, et si l’on regarde ce point H comme le sdVnmet d’un" cône qui a pour base l’épicycloide sphérique décrite par le point S du cercle mobile BSrf, c« cône épîcycloïdal ain-a évidemment pour plan

■Ht'