TRAIT

Ungent, suivant l’arête menée par le point iS, le plan qui passe j)ar lès droites Sd et Hd; mais la droite SB (fig. [^a^ est perpendiculaire à ce plan; d’où il suit que le plan, qui est normal au cône épicydoidal suivant l’arête menée par le point S de l’épicycloïde, passe par la droite BII, suivant laquelle les cônes droits qui ont sommet commun eti H, et des hases circulaires, l’une du rayon AB du cercle fixe, et l’autre du diamètre BB' du cérele mobile, se touchent.

Construction géométrique -de la tangente à l'èpicycloïde sphériqtie. Fig.

aq.'La tangente à l’êpic>'cloîde sphérique au point S (Fie. 4, fig. l^") est dans le plan tangent à la sphère, dont le centre est en B (fig. 4Ô), et dont le rayon est RS ; or, ce plan tangent a pour trace sur le plan de la fig. 4*, la droite IWV; donc, 1’interseCtion.de cette droite et du plan tangent à la seconde sphère du rayon »'B mené par le point S, est un des points de là tangente. Pour construire èe point, remarquons que tous les plan^qui touchent la splièrc dont le centre est en i»', et du rayon « B, suivant le petit cercle B&/ (fig. 4rr/), font le même angle avec le plan de ce cercle, et que cet angle est égal à celui que la droite Rf fait avec la droite BZ perpendiculaire au rayon B» . Ayant mené ( fig, t\d) la tangente SP au cercle BSd, et la perpendiculaire JP k cette tangente, le plan mené par la droite JP, perpendiculairement au plan du cercle BSJ, contient un triangle rectangle Vefy,dans laqiiel le point/ est Fintersection de la droite HJV et du plan tangent à la sphère au point S; abaissant de ce point S la perpendiculaire SR sur'BJ, et menant plir le point R la parallèle RY à le triangle RJY sera égal au triangle PJ^'j c»r le côté PJest égal à la perpendiculaire SQ abaissée du point S sur la droite HJV; SQ = RJ, et 1 angle JP/ est égakrà l’angle JRY;^onc, djrz=zdY; d’où il suit que le point Y est (fig. 4Ô) l’intersection <le la droite HJV et du plan qui touche la sphère du rayon u B au point S. Ce point Y est donc, sur la figure 4^, un point de la tangente à l’épicycloîdc sphérique; mais la projection de Y sur la figure 4a, est Y'; donc la droite M'Y' est la tangente demandée. Elle passe par le point T, intersection «les traces UT, VT des plans tangens anx deux sphères des rayons SB, nB, dont chacun doit ( art. ay,- page 354)

contenir cette tangente

Ces traces sont respectivement perpendiculaires aut projections AM', BM (fig. 4a) des rayons des deux sphères, menés par le point do l’épicyçloïde dont M est la projection snr le plan de la fig. 4<*- point U d'«;

laMraèe UT est 4 l’intersection de deux tangentes MU, BU (fig. l^ D') an cercle BMD.

» Suivant la construction (art. a5) de l’épicycloïde sphérique, chaque point de cette courbe projetée (fig. l\a) en G'a'M'jU,est situé sur l’un des cercles horizontaux décrits par le cercle (fig. 4«), BMD (fig. 4D'),

BSrf (fig. qui tourne autour de la verticale A (fig. 4®), AH (fig. 4^); donc , si l’on supptose que l’épicycloïde sphérique tourne autour «le la mênae verticale, axe de l’un des deux cônes droits, tous les points de l’épicy*

. cloîde mobile passeront successivement par ce cercle, qu’on suppose fixe dans la positiôii BMD (fig. 4Ii') et BS</ (fig. l\d). <■

» 3o. Ayant élevé par le point <1 (fig. 4ô) la perpendiculaire «iH au diamètre . Bà, qui rencontre la droite Am' en un point H, on a considéré (art. afi) ce point comme le sommet d’un cône qui a poui^aSc l’épicycloïde sphérique ^ décrite par un point de la circonférence du diamètre Bzf; supposons que ce cône épicycloidal tourne autour de la verticale Au'H, l’épicycloïde sphér rique engendrera une portion de la surface spliérique du rayon u'B, et en la considérant dans une posit'ion telle, qu’elle passe par un point du cercle .fixe BDM(fig.4D') ou BSzf la tangente à l’épicycloïde menée par ce

point,- rencontrera (art. a8) la droite Ib/V;doDC le plan, mené par celte tangènte et par la droite touchera le cône épicycloidal mobile; et quelle que soit l’aréte de contact , le plan normal au cône suivant cette arête, passera par la droite fixe HB. ,

De la tangente à Vépicydoîde sphérique ralongêe ou raccourcie.

3t. Ayant rapporté la Fio. 4 en F*®- 5, pl. a, eT ayant marqué dans Tune et l’autre les mêmes points des mêmes lettres, soit r( fig. 5 d)M point de l’épicycloîde ralongée, à It^uelle il s’agit de mener une tangente. Cette courbe çst tracée sur une sphère dont le centre est en u (fig. 5ô), et ' dont \ê rayon est égal à la distance du point >i' au point s; donc, la tangente au point s est dans un plan perpendiculaire k ce rayon , mené par le points; de plu», le point s tend, ainsi que le point S de l’épicydoïde ordi- . »(ûre, à tourner autour du point B ; donc, le plan .rX , tangent k la sphère . • • dont le centre est en B, et qui a pour rayon Br, contient encore la tangentcj à l’épicycloide au point s; donc, cette tangente est la droite intorsectioii deux plans tangens à deux sphères, dont les centtes et les rayons sont dom ' né» ; elle a pour projection (fig. Sa) la droite x/«. On construira de la même manière la tangente ^répicycloide raccourcie. . ... -.r. ,

De l'usage des êpûycloïdes planes pour transmettre le mouvement circulaire d’un point qui tourne autour d’un axe, à un autre point qui tourne autour ' d’un second axe parallèle au premier.

3a. On donne deux axes parallèles et deux points, «dont les distances à ces axes soient invariables. L’un des points tourne autour du premier axe , et on demande que l’autre point tourne autour du second axe, de manière que les arcs parcourus dans le même temps, par ces deux points, soient de même longueur? ‘ ^ ^ •

Les moyens connus pour obtenir ce mode de transmission duenouvpment circulaire, sont fondés sur les propriétés de l’épicycloïde plane, qui donnent les solutions sui<-a|^es de la question proposée :

33. Première solution. Ayant mené un plan perpendiculaire aux deux axes donnés, soient A et O (pl. a, lîg. 6) les points d’intersection de ces axes et du plan ; joignant ces points par la droite OD, divisons*la en deux parties AB, BO, qui soient entre elles dans le rapport des distances données des deux points aux axes de rotation A et O, et décrivons de ces points A, O comme centres, avec les rayons AB, BO, les cercles B, B’, B'... etc, c, c*..: qui se touchent au point B. Soit BCM l’épicycloïde plane que le point de contact B engendre, lorsqu’on fait tourner le second cercle oc'c". . , sur le premier BB'B*. /. . Cela posé, qu’on imagine, i® une règle droite OB, mobile autour du centre O, et à l’extrémité de cette règle un arrêt, tel qu’une pointe d’acier très-fme, en saillie sur la règle; a* une autre règle AB, droite de A en R, et courbée, à partir du point B, suivant l’épicycloîde BCM ; le système de ces deux règles, qui roulent l’une sur l’autre de manière 'que le plan inférieur de la première s’applique sur le plan supérieur de la seconde, constitue une Machine élémentaire qui résout la question proposée. En effet, supposons que la règle courbée ABCM ait tourné autour du point A, et qu’elle soit arrivée dans la position AB’c’m”, qui coupe le cercle Bc'c’ ... au point c*; l’arc Bc'c’ sera de même longueur que l’arc BB'B’. Pour le démontrer, supposons qu’un cercle d’un diamèti^ B'D’, égal au diamètre BD du cei*cle Bc'c". . . touche le cercle BB B' au point B', et qiv’il ^ itrâle sur ce cercle jusqu’à ce que le diamètre B'D' ait pris la position BD, ^le point de contact B' décrira l’épicycloide H’c’m’; or, on aura le point e' K de cette courbe, situé sur le cerole Bc'c', en prenant l’arc Bc'c* de même longueur que l'arc BB'B'; donc l’épicycloïdè coâpe le cercle du rayon BD, mobile autouy du centre O, en un point c", ^telque l’arc Bc'c' est égal en longueur

Digitizetfby Googli

DES MACHINES. SSg

à l'arc BB B": mais l’épicycloide BCM, eu tournant autour<lu point A, pousse la règle OB par l’arrêt 6xé en B, et lui fait prendre la position OC'; donc, deux arcs quelconques BB", Bc’, décrits dans le même temps autour des centres A et O, sont de même longueur.

ConceTons maintenant que les deux points donnés soient liés invarialilement l’un à l’axe de rotation A, et l’autre à l’axe O; leurs vitesses angulaires seront respectivement les mêmes que celles des deux points qui , partant du même point B, décrivent l’un l’arc BB B’. . . et l’autre l’arc Bo’c'... et comme leurs distances aux axes de rotationA et O sont, par hypothèse, dans le rapport des rayons AB, BO, il s’ensuit qu’ils décriront dans le même temps des arcs égaux.

En supposant que la règle BO et l’épicycloïde BCM fixée au rayon AH (fig. 6, pl. a), soient transportées sur la fig. t (pl. i , chap. a), en Bc/ et Br, cette ligure représentera la Machine élémentaire qui résout la question proposé. Cette Machine se compose de deux parties AaS, ciS qui Articulent au point S. La règle dS est formée de deux lames parallèles réunies par un axe de rotation d, et par l'axe d’une petite poulie de friction S, dont la gorge est pressée par l’épicycloïde Bs transportée en aS. , •

34. Seconde solution. Ayant mené un plan perpendiculaire aux deux ■ axes donnés, soient A et D (pL a, fig.6) les fioinls d'intersection de ces axes et du plan ; joignant ces points par la droite AD, divisons-la en deux parties AB, BD, qui soient entre elles dans le rapport des distances données des deux poinu aux axes de roution A etD; partageons la droite BD en deux parties égales BO,OD, et des points A, D,0 comme centres avec les rayons AB, BD, BO, décrivons les cercles BB'B’... Bé'é’... BcV''.., qui se touchent au point B. Soit BCM l’épicycloide plane que le point B engendre, lorsqu’on fait tourner le cercle Bc cD du diamètre BD sur le cercle fiBB'.., du rayon AB.

Cela posé, quVin imagine i« une règle droite DB, mobile autour du centre D, et une autre règle AB, courbée è partir du point B suivant l’épicycloide BCM; lorsque cette seconde règle tournera, l’épicycloïde BC.M pressera la première règle DB, et le système des deux règles constituera nme Machine élémentaire qui résoudra encore la question proposée.

En effet, supposons que l’épicycloïde BCM soit arrivée dans la position B'c'm*, et qu’elle coupe le cercle Bc'e'... au point.»*, les arcs BB', Bc' seront de même longueur, et le point e' sera (art. ao) le point de contact du rayon Dc'^’ et de l’épicycloïde B’c'm'; or, le rayon Dc’é' coupe le cercle du rayon BD au point ô*, tel. que l’arc B^’ de ce cercle ,.d'iin rayon double de cehii

fv'. .'

36p . TRAITÉ • , ’

de* l'are Bc*, est de niénie longueur que ce dernier, paisc)u«.ces deiUrare*^ m'esureiit deux angles BOc", dont l\in est nioitiq de l'autre; maisdes

arcs BB', hb’ , décrits dans le iiiéme temps autour des axes A et D, sout pro> pqrtionnels aux arcs décrits par les detuc points donnés, fixés invariablement aux mêmes axes; donc, ces derniers arcs, parcourus dans le même temps, sout aussi de même longueur.

Dessinant à part (fig. a, pl. i) la règle dS et l'épicycloide «S, dont se' compose la ^confie Macbine élémentaire qui résout la question proposée^ OH peut considérer ces deux parties comme deux rainures traveasées par une goupille qui glisserait dans le-sens de la règle SS</, en même temps que la courbe oS, égale à l’épicycloïdc fiCM(fig. 6,pl. a), tournerait autour, de l'axe 4^ rotation A.- *

3ô. Ayant décrit du point A {pl. a, fig 6), comme centre, avec Ac* pour rayon, l'arc qui coupe l’épicycloïde BCM au point /u, la portion d'épicycloïde fait tourner le rayon BD autour du point D d'un angle donc si du point D, comme centre, avec De* pour rayon , on décrit l'arc c V, qui coupe la droite UD^u point la portion B> du rayon BD est touchée par la cpi^ü B/<, tandis que ce rayon passe de la position primitive BD, à la position b ü.

. 36. Troisième soUttion. Soient AB et O'B ( fig. 6, pl. a) les rayons de deux . çérdes BB B*...et B|8'C*...,situésdansle même plan, et tangens l'un à l’autre eu. B. AyaiU tracé un troisième cercle quelconque du rayon OB, qui touche les deux premiers en B, on conçoit que ce cercle roulant successivement,' extérieurement sur le cercle du rayon BA, et intérieurement sur le cercle du rayon ’BO, le point de contact B engendre deux épicycloïdes BM, BN. Maiuteuaqt, ji l'ou admet que ces épicycloïdes soient fixées l'une sur le cercle du rayon AB, l’autre sur le cercle du rayon O B, et qu'elles tournent en meme temps que ces cercles, les vitesses absolues de rotation seront encore égales. En effet, supposons les épipycloides BM et^N dans les positions B c tn’ et 0’e"n', elles auront, par construction , un point commuu cT sur la circuuférciyce Bc"D du diamètre BD, et une tangente commune c '^D; or, les deux arcs BB ', B^'* des rayons AB, O B sont^aux en développement au troisième arc Bc'" du rayon OB; donc, les vitesses de rotation, ipesurées par^ deux premiers arcs, sont égales.

37. Quatrième solution. Soient A et O (fig. 7, pl. a) les points d'intersection des axes de rotation et d'uii plan perpendiculaire A ces axes. Ou divise' la droite OA en deux parties AB, OB, qui soient entre elles dans Je rapport' Çotum des perpendiculaires abaÎMées des points donnés sur les axes de

D^tized by t,

A Aê-

' DES MACHINES. ' 36ï^

rotation, et par le point fi, on mène une droite quelconque cfic'. Des points A et Q) comme centres, avec les petqiendiculaircs Ac, Oc' abaissées de ces points sur la droite cfic', on décrit les deux cercles cDc/, c'd'D'i envelop>>‘ pant ces cercles des parties CB, c'B de leur tangente commune, le point B décrira les deux développantes dB, d'h, qui ont pour normale commune au point fi la droite cfic'. Supposons maintenant les deux développantes fixées l^lne à l’axe A, et l’autre à 'l’axe O; le mouvement de rotation imprimé à l’une se communiquera à l’autre ; elles se toucheront constamment en un point de la droite fie', et les arcs tels que dU,d'ï)', parcourus dans le même terops par les deux points d et d’ des cercles cDd, cd"D', seront de même longueur. En effet, admettons que le point d du cercle dDc ait tourné d’un arc quelconque dD: les développantes dh, d' B' prendront les positions DB', B'D',qui se touchent nécessairement au point B' de la droite cfic', tangente aux deux cercles cDd, c'd"D', et les arcs dD, d'D' de ces deux cercles décrits dans le même temps, seront de même longueur que la droite lifi', puisqu’on a : '

arc dD = cB — cB' = BB'=c'B’ — c'B=c'D' — c'd =arc d'D'.

Il y a une infinité d’autres couples.. de développantes, telles que dh, dh, qui satisferaient aux conditions du problème, car la droite cBc’, menée par le point B, est arbitraire; mais pour chaque couple, les deux développantes qui sont tangentes l’une à l’autre, ont pour normale au point de contact tel que B', une droite tangente à deux cercles dpnt les rayons sont proportionnek aux droites données AB , BO.

De l’usage des épicjrcloides sphériques, pour transmettre le mouvement cit^ culaire d’un point qui 'tourne autour d’un axe, à un autre point qui tourtte autour d’un second axe , faisant avec le premier un angle donné.

38. On donne (6g. 3, pl. i ) deux axes «’, «u, qui se coupent au point

U, et deux points M, m, do'nt les distances ML, ml à ces axes soient invariables ; l’un des points M tourne autour de l’axe An', et on demande que l’autre point m soit lié au premier par un naécanisme tel, que les arcs parcourus dans le même temps par les deux points donnés, soient de même longueur. ^ .■, ■

Première solution. Soit pris dans l’angle Am» ( vu en perspeefive fig. 4 « pl. I ) des axes de rotation un point B tel , que les perpendiculaires BA, B«, abaissées de ce poinUsur ces axes, soient dans le rapport des distances

36a " TRAITÉ

des pointa donnés aux mêmes axes; le point D en toiimaiit décrit deux cercles des rayons'BA, lio, situés sur uue sphère du rayon I)»'. Suit aSa l’épicycloide décrite sur cette sphère par un point du cercle du rayon B«, et supposons qu'invariablement 6xée k l’axe de rotation Am, elle tourne avec cet axe; dans une position quelconque, elle coupera le cercle générateur BST en un point S, extrémité du rayon wS. Admettons que ce rayon soit une règle mobile autour du centre «, et qu’une pointe saillante fixée en S, entre dans une rainure d’une forme telle, qu’ea négligeant son épaisseur, elle se confonde avec l’épicycloïde sphérique aSa.

Cette règle et sa rainure composent tout le mécanisme qui satisfera aux conditions du problème. En effet, supposons que l’origine de l’épicycloïde d’abord en B, sur le cercle du rayon AB, ait passé en a; autrement, que ce |)oint B ait tourné de l’arc Ha autour de l’axe A«, l’épicycloïde rainure aura entraîné la pointe saillahte du rayon wS de B en S, et la règle aura passé de «B en «S ; mais par la constmetion de l’épicycloîde spliérique (art. a4 et a5), les deux arcs Ha , BS sont de même longueur, et parcoiinis dans le même temps; donc les arcs parcourus dans le même temps, par ^ . les points M et in (fig. 3) autour des axes A«', m'm, sont aussi de même ’ longueur.

3ç). Üeuxièmi solution. Soient AH, Hrf, les axes de rotation (vus en perspective fig. 5, pl. i); B un point pris dans l'angle de ces axes tel, que les perpendiculaires BA, Hd, abaissées de ce point sur les axes, soient dans le rapport des distances données ML, ml (fig. 3). Sur Ih/, comme diamètre, et dans un plan perpendiculaire à l’axe Hd, décrivons le cercle BS<f. Ayant élevé par le centre u la perpendiculaire mm' au plan de ce cercle, qui coupe l'axe AH au point*', ce point est le centre d’une sphère du rayon w’B ou m'd, qui contient les deux cercles des rayons BA, Bu. Supposons que le second de ces cercles engendre, sur la sphère du rayon m'B, l’épicycluide sphérique aSa‘ invariablement fixée à l’axe AU; par le points, où cette courbe rencontre le cercle BS<f, imaginons une règle dSS, mobile autour du centre d; enfin, considérons cette règle, la circonférence BS<f fixée à l’axe de rotation Hd, et l’épicycloide sphérique, comme trois rainures traversées par une tige droite inflexible HS^, qui est mobile sur le poiut H comme centre^ Ces quatre parties composent tout le mécanisme qui satisfait à la «question proposée.

£n effet, admettons que l’origine B de l’épicydoïde ait tourné de l'arc Bb ; elle aura entraîné avec elle la règle de nfB en'dSS, et la tige HSK de MB en HS. Dans ce mouvement, la tige décrinrun cône dont le sommet

est en II sur i’axe de rotation AH, et dont la base est l’épicycloïde spiié* tique; le point B, dont la distance de l’axe IW est décrira dans le plan perpendiciüaire à cet axe, l’arc BS’ ; le problème sera réSolu si l’on prouve que cet arc BS' est de ménae longueur que l’arc Ba décrit, dans le même temps, autour de l’axe AH. Pour le <}^moiitrer, il suffira de remarquer que, par la construction de J’épicycloïde, l’arc Ba du rayon BA est égal à l’arc BS du rayon B«; or, ce second arc est de même longueur que l’arc BS' d’un rayon Bd double de B«; d’où il suit que les arcs BS', Ba , décrits dads le même temps au moyen du mécanisme proposé, sont de même longueur.

40f Troisième solution, déduite de la précédente. Aux rainures fixées invariablement aux axes .1H, Hd (art.'Sq), substituons le cône éplcycloïdal, dont le sommet est en H, et dont la base est l’épicjcloïde sphérique aSa'; mettons à la place de la règle dSS, un plan triangulaire S lid, mobile autour de la droite Hd, comme charnière, et supposons qu’il soit constamment appliqué contre le cône; le cône épicydoidal , en tournant autour de l’axe AH, pressera et fera tourner le plan SHcf; il sera touché par ce plan dans toutes ses positidhs, et la droite de contact, telle que HSé, passera successivement sur ce même plan de HS’ s'ers H</.

La communication du mouvement se fait de la même manière que daiia la seconde solution (art. 3q ); d’où il suit que les arcs Ba, BS', parcourus dans le même temps, seront encpre égaux; il ne s’agit donc que de démontrer que le plan mobile S'Hef autour de la droite fixe Hd, sera, dans toutes ses positions, tangent au cône épicydoidal mobile.

Pour le prouver, menons le plan tangent à ce cône suivant l’arète HS; ce plan passera par le sommet H et par la tangente à l’épicydoîde au point S ; ot, toutes les tangentes â cette épicydoïde mobile , par les points où elle rencontre le cercle fixe BSrf, coupent la droite Hd (art. ag); donc le plan tangent au cône, suivant l’arête HS, passera par deux points de la droite Hd, et par conséquent par la droite entière ; d’où il suit que le plan HS'<f, mobile sur l’axe de rotation Hd comme charnière, est dans toutes ses positions, tangent au cône épicydoidal, en supposant que ce cône, qui tourne autour de Taxe de rotation AH, communique par pression un mouvement de rotation au plan.

4 II Considérons les cercles des rayons .AB, Bd ( fig. 5, pl. * ) comme deux roues sans é|>aisseu'r'(c),'(c'), qui tournent autour des axes AH, dH; le cône épicydoidal fixé sur la roue (c) est une dent de cette roue ; le plan triangulaire, mobile autour de l’axe Hd, et fixé sur la roue (c"), est le

flanc de cette roue; en faisant tourner la première roue (c), ^ dent presse le flanc de la seconde roue (c ), et deux points, pris sur les circonfSrences de ces roues , parcourent dans le même temps des arcs de meme longueur. • ' ‘ ' ‘ ^

4a. Examinons (pl. a, Fig. 4) ies projections orthogonales des' lignes vues en perspective (pl. i,fig. 5). AB et B</(flg. 4A) sont les rayons des roues ou cercles (c), {c*), <fBV l’angle de leurs plans, et B leur point de contact. L’épicyclo'ide sphérique, dont l’origine est en a' (fig. 4a) sur le cercle (c), coupe le cercle (c’) au point M’, R, (fig. 4» et 4^}> et le cercle du 'diamètre B</ (fig. 4^ au point S. L’aréte de contact de la dent et du flanc se ■projette en AM' (fig- 4o)'> en HR (fig. 4A) et en S’Sd (fig. l^d). La position de cette arête, par rapport à la droite Md (fig. 4A), varie en même temps que 'la position du cône épicycloîdâl , qui tourne avec le cercle ou la roue (c). Tandis que ce cône tourne autour de l’axe AH (fig. 4ô) d’nn arc o'B (fig. 4a), le plan du flanc tourne autour de Hd (fig. 4Ô), d’un arc égal à celui qui mesut-e l’angle (fig. 4<0- Donc , si du point d comme centre avec <iS pour rayon, on décrit l’arc qui coupe la droite au point s tel que Rc — la (k>rtion du flanc passant par l’axe Md, sur laquelle la portion du cône épicycloîdâl glisse, est comprise entre les déux droites HB, H.i (fig. 4Ô.) L'angle de ces deux droites comprend la portion utile du flanc, qui correspond a la portion du ccme épicycloîdâl, dont les arêtes extrêmes se projettent (fig. 4a)' en Aa', AM’. .Ainsi , connaissant l’arc de cercle a'B décrit par le point d du cône épicycloîdâl autour du premier axe de rotation AH (fig. 4^)t on conclut la grandeur de l’arc d’épicydoîde correspondant qui sert de base au cône, l’arc de cercle décrit dans le même temps par un point quelconque du flanc autour du second axe lie/ de rotation, et l’espace angulaire de ce flanc, sur lequel le cône cpicyclbîdal a glissé.

- 43.- Lorsque le cône épicycloîdâl tourne autour de l’axe de rotation

AH (fig. 4Ô); cliacun des points de l’épicycloîde sphérique qui lui sert do base décrit un cercle autour de cet axe; ainsi, le point de l’épicycloïdc, dont les points M' et R situés sur la droite M'»R sont les projections sur les plans des figures 4a et %b, décrit un cercle qui a pour rayon AM' (fig. 4**), et qui se projette (fig. 4^) *0 sRy- Donc, si du point A comme centre, avec AM pour rayon, on décrit l’arc de cercle M'/*', qui coupe la droite ABD au point ft', et si l’on prend /*'î=R7r, çH<s sera l’angle de l’axe AH, et de l’arête ^ui se projette en AM'(lig. a). Dans toutes les positions du cône épicycloîdâl, cette' arête fait, avec l’axe.cle rotation AH, un angle constant, puisque le cône lui-raéme tourne autôur de cet axe. Connaissant cet angle, on peut

^ ^ DES MACWINES. , 365

.conclure la grandeur de l’arc de cercle que le cône, qui a pour base la portion d’épicycloide correspondant 4 cet angle, fait décrire à un point quelconque du flanc. £n effet, soit «tdif, cet angle ramené dans le plan des deux axes de rotation HA, Hrf (fig. 4^)i I» longueur connue deJ’arête

extrcinc di^ôiie épicycloidal, la perpendiculaire (<f, abaissée ctt point ç sur l’axe AH, e«'le rayon du cercle décrit par l’extrémjté de l’aréte autour de cet axe; le plan de ce cercle coupe le plan du cercle générateur de l’épicydoïde, suivant la droite RS (fig. Donc, joignant les points S et rf par une droite, le flanc a d’abord pour trace, sur la figure 4^, la droite Sd, et ensuite la droite Brf; donc il u tourné d'un angl% égal à S<fB ou S'dB.

Des engrenages de la' série n° 3 ou RC du toô/cuu (pl. i, chap. I"), yw' changent le mouvement circulaire con^nu , en mouvement rectiligne continu , et réciproquement. ^

44- Machines élémentaires de cette série que nous considérerons, ont pour objet de transformer le mouvement rectiligne d’un point en un mouvement circulaire d’un autre point, et réciproquement; en satisfaisant à cette condition, que la ligne droite et l’arc de cercle, parcourus dans le même temps par les deux points, soient de même longueur.

Prémière solution. Soient BB", B B", B”B"'... (fig. 8, pl. a) les parties d’une droite BB ", qu’un point B de cette droite parcourt successivement ; et Bô', b'b'\ b''b".:'\es arcs de même longueur que Ip point B, extrémité du raybii OB, doit parcourir dans les mém^ temps.

Ayant fait tourner le cercle du rayon OB sur la droite BA, le point B aura décrit la cytloïde BM. Supposons que cette courbe soit invariablement fixée à la droite ABB'B', de manière que cette droite, ayant un mouvement rectiligne BB B’...,la cycloïde glissé sur le rayon OB et l’oblige à tourner autour du point O, en s’appuyant sur une pointe sailRnte fixée à l'extrémité U de ce rayon.

Lorsque le point B de la droite AB aura décrit la droite BB’’, k cycloide BM, transportée parallèlement 4 elle-raéme en B m", aura amené l’extrémité B du rayon OB en un point <r, tel que l’arc Bc’ sera de même longueur que Iskdroite BB'î car si l’on suppose que la cycloïde B’pi* a été engendrée par un cercle du rayon OB, qui touchait la droite AB au pçint^B’, il est évident qu'on, aurait le point c’' de cette cycloide, en faisant l’arc Bc* de même longueur qne la droite BB”; d’où il suit que les droites BB', BB‘, BB '"..;* . sont respectivement égales aiu arcs Bc , Bc’, Bc”'...» et par conséquent les '’

3<3|S^ , . IJlilTÉ -. - /•

arcs Bc‘, c<'V cV' ... parcoiiias daâs.le m^ê t«nips<]iie Ifes droitea'ôorrés^ pondantes QB', B B% B B"'..., sont. de^DémeloDguMirqu0«çs'ditbitës.. ,*